TD-PT4 : Fluides en écoulement - PCSI

Chapitre PT4: Fluides en écoulement
Cours
TD-PT4 : Fluides en écoulement
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Ecoulement dans un tuyau
On considère un tuyau indéformable dans lequel s’écoule un gaz. L’écoulement est stationnaire, incompressible et homogène. On considère le profil de vitesse uniforme dans une section du tube (on néglige la viscosité),
le problème est traité de manière unidimensionnel : ~v = v(x)~
ux .
1. Montrer que le champ de vitesse est uniforme dans tout le tuyau.
2. Calculer la vitesse d’écoulement d’un gaz dans un tuyau cylindrique si 510g de ce gaz s’écoulent par
demi-heure à travers une section du tuyau. Le diamètre du tuyau est de 2, 0cm et la masse volumique du
gaz est de 7, 5 kg.m−3 .
3. Le tuyau subit un élargissement et la nouvelle section a un diamètre de 5, 0cm. Calculer la vitesse du
gaz dans la section élargie.
2
Tube parabolique
Un fluide est en écoulement stationnaire dans une portion de tube à profil parabolique : (Oz) étant axe de
symétrie, le rayon de la section du tube est donné par l’équation suivante :

pour

R (z) = a
! z<0
z2

pour z > 0
R (z) = a + b
Figure 1: Lignes de courant de l’écoulement stationnaire dans le tube parabolique
L’écoulement est incompressible homogène et la composante axiale vz de la vitesse est supposée uniforme
sur une section droite (z < 0 et z > 0) et ne dépend que de z. On notera v0 la vitesse en O.
1. Représenter le champ des accélérations à partir de la carte des lignes de courant.
2. Montrer que la vitesse axiale est donnée pour z > 0 par :
v0
vz (z) =
!2
z2
1+
ab
3. Montrer que la vitesse radiale est donnée par :
2rzv0
vr (r, z) =
z2
ab 1 +
ab
!3
−
Données : opérateurs en coordonnées cylindriques, agissant sur un vecteur →
a quelconque :
1 ∂(rar ) 1 ∂aθ ∂az
−
div →
a (r, θ, z) =
+
+
r ∂r
r ∂θ
∂z
4. On considère une particule de fluide qui, pour z < 0, a la forme représentée sur le schéma précédent.
Que peut-on dire de son volume lors de l’écoulement ? Décrire qualitativement l’évolution de cet élément
de fluide.
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PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015
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Cours
Ecoulement d’un fluide visqueux le long d’un plan incliné
Un fluide, de masse volumique µ, de viscosité η, est en écoulement incompressible et permanent le long d’un
plan incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale. On suppose que le champ des vitesses est de la forme :
−
→
→
v = v(x, y)−
ux
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule de fluide de masse volumique µ s’écrit
de la manière suivante en fonction de la vitesse eulérienne v, appelée équation de Navier-Stokes :
∂~v −−−→
+ ~v.grad ~v = dF~
µdτ
∂t
−−−→
où ~v.grad est l’opérateur :
−−−→
∂
∂
∂
~v.grad = vx
+ vy
+ vz
∂x
∂y
∂z
1. Montrer que le champ des vitesses ne dépend que de y et s’écrit sous la forme :
−
→
→
v = v(y)−
ux
2. Préciser et exprimer les différentes forces qui s’appliquent sur une particule de fluide.
3. Exprimer la pression P en fonction de y, h, α, µ et g.
4. Exprimer la vitesse v(y) en fonction de y, h, α, µ, η et g.
5. Calculer la vitesse débitante à travers une section de largeur `.
6. Calculer le nombre de Reynolds de cet écoulement pour l’eau et pour l’huile. Pour quel fluide le modèle
étudié est-il adapté ? Justifier. ηhuile = 1Pl, µh ≈ µeau , h=1mm et α = 30˚.
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Pluie et brouillard
Déterminer la vitesse limite atteinte dans l’air par :
1. une gouttelette sphérique de brouillard de 25µm de diamètre
2. une goutte de pluie sphérique de 2.5mm de diamètre
On fera une hypothèse quant à l’expression de la force de traînée utilisée, et on validera son expression à
la vue du résultat obtenu. On donne : µair = 1.3kg.m−3 , ηair = 2.10−5 Pl, µeau = 103 kg.m−3 , ηeau = 10−3 Pl
et Cx (sphere) = 0.4.
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Ecoulement dans une cellule de Hele-Shaw
On considère le dispositif de la figure ci-dessous (vue de dessus et vue de côté), appelé cellule de Hele-Shaw.
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Chapitre PT4: Fluides en écoulement
Cours
De l’eau s’écoule entre deux plaques transparentes parallèles séparées d’une distance a, en passant autour
d’un disque fixe de centre O, d’épaisseur a et de rayon R a, coincé entre les deux plaques. L’axe Oz du
disque est perpendiculaire aux plaques, et on prend l’origine O au milieu des deux plaques. On néglige les
forces de pesanteur. L’écoulement est supposé incompressible et stationnaire. On sera amené à utiliser l’équation
de Navier*Stokes défini dans l’exercice de l’écoulement sur un plan incliné.
1. En exploitant l’incompressibilité de l’écoulement et en raisonnant sur les ordres de grandeur, justifier que
→
l’on peut négliger vz devant vx et vy , ce que l’on fera dans la suite. Ainsi, −
v est contenue dans le plan
xOy dans la suite du problème.
2. En raisonnant à nouveau sur les ordres de grandeurs, justifier qu’on peut faire l’approximation suivante :
→
∂2 −
v
−−
→
∆→
v '
∂z 2
3. Montrer que l’équation de Navier-Stokes se réduit à :
→
∂2 −
v
−−−→
gradP = η 2
∂z
si une condition sur V , R ν et a, que l’on précisera, est vérifiée (V correspond à l’ordre de grandeur de
la vitesse de l’écoulement).
VR
Montrer qu’il n’est pas nécessaire que le nombre de Reynolds Re =
soit faible pour que cette
ν
équation soit valable.
−−−→
→
4. Montrer que P ne dépend pas de z et expliciter −
v en fonction de z, a, η et gradP. Montrer que la
→
−
moyenne spatiale de la vitesse v sur l’épaisseur a permet d’obtenir :
a −−−→
→
h−
v i = − gradP
6η
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Loi de Darcy
5. Monter que l’écoulement autour du cylindre peut être considéré comme globalement irrotationnel entre
les deux plaques.
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Cours
Résolution de problème : chute de pression dans un fluide
Déterminer le débit volumique dans le tube de la photo ci-dessous dans lequel s’écoule de l’eau de manière
stationnaire.
On supposera que suivant la verticale le fluide se comporte comme s’il était en régime statique.
La réponse à cette question nécessite de l’initiative. Le candidat est invité à consigner ses pistes de recherche,
à y consacrer un temps suffisant. La qualité de la démarche choisie et son explicitation seront évaluées tout
autant que le résultat final.
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