TD-PT4 : Fluides en écoulement - PCSI

Chapitre PT4: Fluides en écoulement Cours
TD-PT4 : Fluides en écoulement
1 Ecoulement dans un tuyau
Onconsidèreuntuyauindéformabledanslequels’écouleungaz.L’écoulementeststationnaire,incompres-
sibleethomogène.Onconsidèreleprofildevitesseuniformedansunesectiondutube(onnégligelaviscosité),
leproblèmeesttraitédemanièreunidimensionnel:~ v=v(x)~ ux.
1. Montrerquelechampdevitesseestuniformedanstoutletuyau.
2. Calculerlavitessed’écoulementd’ungazdansuntuyaucylindriquesi510gdecegazs’écoulentpar
demi-heureàtraversunesectiondutuyau.Lediamètredutuyauestde2,0cm etlamassevolumiquedu
gazestde7,5kg.m−3.
3. Letuyausubitunélargissementetlanouvellesectionaundiamètrede5,0cm.Calculerlavitessedu
gazdanslasectionélargie.
2 Tube parabolique
Unfluideestenécoulementstationnaire dansuneportiondetubeàprofilparabolique:(Oz)étantaxede
symétrie,lerayondelasectiondutubeestdonnéparl’équationsuivante:
R(z)=apour z < 0
R(z)= a+z2
b!pour z > 0
Figure1: Lignes de courant de l’écoulement stationnaire dans le tube parabolique
L’écoulementestincompressiblehomogèneetlacomposanteaxialevzdelavitesseestsupposéeuniforme
surunesectiondroite(z < 0etz > 0)etnedépendquedez.Onnoterav0lavitesseenO.
1. Représenterlechampdesaccélérationsàpartirdelacartedeslignesdecourant.
2. Montrerquelavitesseaxialeestdonnéepourz > 0par:
vz(z)= v0
1+ z2
ab!2
3. Montrerquelavitesseradialeestdonnéepar:
vr(r, z)= 2rzv0
ab 1+ z2
ab!3
Données :opérateursencoordonnéescylindriques,agissantsurunvecteur−→ aquelconque:
div−→ a(r, θ, z)=1
r
∂(rar)
∂r +1 r
∂aθ
∂θ +∂az ∂z
4. Onconsidèreuneparticuledefluidequi,pourz < 0,alaformereprésentéesurleschémaprécédent.
Quepeut-ondiredesonvolumelorsdel’écoulement?Décrirequalitativementl’évolutiondecetélément
defluide. 1PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015

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3 Ecoulement d’un fluide visqueux le long d’un plan incliné
Unfluide,demassevolumiqueµ,deviscositéη,estenécoulementincompressibleetpermanentlelongd’un
planinclinéd’unangleαparrapportàl’horizontale.Onsupposequelechampdesvitessesestdelaforme:
−→
v=v(x, y)−→ ux
Leprincipefondamentaldeladynamiqueappliquéàuneparticuledefluidedemassevolumiqueµs’écrit
delamanièresuivanteenfonctiondelavitesseeulériennev,appeléeéquation de Navier-Stokes :
µdτ ∂~
v
∂t +~
v.−−−→ grad~ v=d~ F
où~ v.−−−→ gradestl’opérateur: ~
v.−−−→ grad =vx
∂
∂x +vy
∂
∂y +vz
∂
∂z
1. Montrerquelechampdesvitessesnedépendquedeyets’écritsouslaforme:
−→
v=v(y)−→ ux
2. Préciseretexprimerlesdifférentesforcesquis’appliquentsuruneparticuledefluide.
3. ExprimerlapressionPenfonctiondey,h,α,µetg.
4. Exprimerlavitessev(y)enfonctiondey,h,α,µ,ηetg.
5. Calculerlavitessedébitanteàtraversunesectiondelargeur`.
6. CalculerlenombredeReynoldsdecetécoulementpourl’eauetpourl’huile.Pourquelfluidelemodèle
étudiéest-iladapté?Justifier.ηhuile =1Pl,µh≈µeau,h=1mmetα=30˚.
4 Pluie et brouillard
Déterminerlavitesselimiteatteintedansl’airpar:
1. unegouttelettesphériquedebrouillardde25µm dediamètre
2. unegouttedepluiesphériquede2.5mm dediamètre
Onferaunehypothèsequantàl’expressiondelaforcedetraînéeutilisée,etonvaliderasonexpressionà
lavuedurésultatobtenu.Ondonne:µair =1.3kg.m−3,ηair =2.10−5Pl,µeau =103kg.m−3,ηeau =10−3Pl
etCx(sphere)=0.4.
5 Ecoulement dans une cellule de Hele-Shaw
Onconsidèreledispositifdelafigureci-dessous(vuededessusetvuedecôté),appelécellule de Hele-Shaw.
2PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015

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Del’eaus’écouleentredeuxplaquestransparentesparallèlesséparéesd’unedistancea,enpassantautour
d’undisquefixedecentreO,d’épaisseuraetderayonRa,coincéentrelesdeuxplaques.L’axeOz du
disqueestperpendiculaireauxplaques,etonprendl’origineOaumilieudesdeuxplaques.Onnégligeles
forcesdepesanteur.L’écoulementestsupposéincompressibleetstationnaire.Onseraamenéàutiliserl’équation
deNavier*Stokesdéfinidansl’exercicedel’écoulementsurunplanincliné.
1. Enexploitantl’incompressibilitédel’écoulementetenraisonnantsurlesordresdegrandeur,justifierque
l’onpeutnégligervzdevantvxetvy,cequel’onferadanslasuite.Ainsi,−→ vestcontenuedansleplan
xOy danslasuiteduproblème.
2. Enraisonnantànouveausurlesordresdegrandeurs,justifierqu’onpeutfairel’approximationsuivante:
−→
∆−→ v'∂2−→
v
∂z2
3. Montrerquel’équationdeNavier-Stokesseréduità:
−−−→
gradP =η∂2−→
v
∂z2
siuneconditionsurV,R ν eta,quel’onprécisera,estvérifiée(Vcorrespondàl’ordredegrandeurde
lavitessedel’écoulement).
Montrerqu’il n’est pasnécessairequele nombre deReynolds Re=V R
νsoitfaible pour que cette
équationsoitvalable.
4. MontrerquePnedépendpasdezetexpliciter−→ venfonctiondez,a,ηet−−−→ gradP.Montrerquela
moyennespatialedelavitesse−→ vsurl’épaisseurapermetd’obtenir:
h−→ vi=−a2
6η
−−−→
gradP LoideDarcy
5. Monterquel’écoulementautourducylindrepeutêtreconsidérécommeglobalementirrotationnelentre
lesdeuxplaques.
3PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015

Chapitre PT4: Fluides en écoulement Cours
6 Résolution de problème : chute de pression dans un fluide
Déterminerledébitvolumiquedansletubedelaphotoci-dessousdanslequels’écouledel’eaudemanière
stationnaire.
Onsupposeraquesuivantlaverticalelefluidesecomportecommes’ilétaitenrégimestatique.
La réponse à cette question nécessite de l’initiative. Le candidat est invité à consigner ses pistes de recherche,
à y consacrer un temps suffisant. La qualité de la démarche choisie et son explicitation seront évaluées tout
autant que le résultat final.
4PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015