analyse complexe

D´ epartement MIDO
Notes de cours
ANALYSE COMPLEXE
Guillaume CARLIER
L3, ann´ ee 2012-2013

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Ces notes de cours constituent une introduction `a l’analyse complexe
´el´ementaire, domaine fascinant de l’analyse aux nombreuses ramifications.
Ces notes ne vous seront profitables que si vous pr´eparez r´eguli`erement et
s´erieusement les T.D.s et ne vous dispensent bien ´evidemment pas d’assister
au cours.
N’h´esitez pas `a me signaler les erreurs et les coquilles qui subsisteraient
dans ces notes. De mani`ere g´en´erale, vos suggestions sont les bienvenues,
c’est grˆace `a elles que ces notes pourront ˆetre am´elior´ees pour vos camarades
des prochaines ann´ees. J’esp`ere que ce poly vous sera utile et vous en souhaite
une bonne lecture.
G. CARLIER
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Table des mati`eres
1 Rappels et pr´eliminaires 6
1.1 Rappels sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Topologie des m´etriques, topologie de C............ 9
1.3 Rappels sur les suites et s´eries de fonctions . . . . . . . . . . . 16
1.4 Connexit´e ............................. 18
2 S´eries enti`eres 21
2.1 D´efinitions et propri´et´es premi`eres . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Op´erations sur les s´eries enti`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 D´eriv´ees .............................. 27
2.4 Exponentielle et quelques fonctions usuelles . . . . . . . . . . 30
2.5 Logarithme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Fonctions analytiques 36
3.1 D´efinitions premi`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Prolongement analytique, principe des z´eros isol´es et cons´equences 37
3.3 Th´eor`eme du module maximal et cons´equences . . . . . . . . . 41
4 Fonctions holomorphes, formules de Cauchy, primitives com-
plexes 43
4.1 D´efinitions et propri´et´es premi`eres . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Les relations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Int´egrales le long de chemins, indice . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Primitives complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5 Th´eor`eme de Cauchy et analyticit´e des fonctions holomorphes 59
5 Fonctions m´eromorphes, singularit´e et r´esidus 63
5.1 S´eriesdeLaurent ......................... 63
5.2 Fonctions m´eromorphes, pˆoles, r´esidus . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 La formule des r´esidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4 Exemples de calcul d’int´egrales par la formule des r´esidus . . . 73
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