Utilisation des intégrales premières en Mécanique. Exemples et

S´ebastien Bourdreux
Agr´egation de Physique
Universit´e Blaise Pascal - Clermont-Ferrand
Utilisation des int´egrales premi`eres
en m´ecanique.
Exemples et applications.
septembre 2003
Correcteur : Pascal DELLOUVE

TABLE DES MATI ` ERES 2
Table des mati`eres
1 Conservation de la quantit´e de mouvement 4
1.1 Th´eor`eme de la quantit´e de mouvement : RFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Relativit´egalil´eenne ................................. 5
1.3 Cas des syst`emes mat´eriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Quelques exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Reculd’unfusil................................ 7
1.4.2 Etude de la chute libre d’un corps dans l’air . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.3 Etude de la propulsion d’une fus´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.4 Collisions entre objets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Le moment cin´etique 9
2.1 Th´eor`eme du moment cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Aspects importants du moment cin´etique en physique . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Exemples simples d’utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Enastrophysique ............................... 11
2.3.2 Disque en rotation autour d’un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.3 Deux disques embray´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.4 Mouvement d’une toupie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Cas des syt`emes mat´eriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Exemple classique : le pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Exemple fondamental : le mouvement `a force centrale . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 L’´energie m´ecanique 16
3.1 G´en´eralit´es ...................................... 16
3.2 Th´eor`eme de l’´energie m´ecanique - Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Mouvement conservatif `a un degr´e de libert´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Retour `a l’exemple du pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5 Retour au probl`eme de champ de force centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Application : le r´egulateur `a boules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

TABLE DES MATI ` ERES 3
Niveau : 1er Cycle Universitaire
Pr´erequis : travail, puissance et moment d’une force en m´ecanique du point et des syst`emes
PFD, th´eor`eme de l’´energie cin´etique
Introduction
Le principe fondamental de la dynamique permet de d´ecrire tous les syst`emes de la m´ecanique
classique, dont il est la pierre angulaire.
R´esultante cin´etique (quantit´e de mouvement), moment cin´etique et ´energie sont
n´eanmoins des grandeurs universelles, concernant les syst`emes macroscopiques aussi bien que
les syst`emes microscopiques (du photon `a l’Univers) ; ces grandeurs se conservent dans cer-
tains cas, que nous allons expliciter, et sont couramment appel´ees int´egrales premi`eres du
mouvement en raison des ´equations diff´erentielles du premier ordre qu’elles fournissent, `a
la diff´erence d’autres lois comme le PFD (2`eme ordre). De mani`ere g´en´erale, une int´egrale
premi`ere du mouvement est une ´equation reliant la norme des vecteurs position et vitesse sans
faire intervenir l’acc´el´eration d’un syst`eme donn´e.
Nous allons voir comment utiliser ces trois objets dans la r´esolution des probl`emes de la
m´ecanique newtonienne.

1 CONSERVATION DE LA QUANTIT ´ E DE MOUVEMENT 4
1 Conservation de la quantit´e de mouvement
1.1 Th´eor`eme de la quantit´e de mouvement : RFD
La quantit´e de mouvement se d´efinit pour un point mat´eriel de masse m et de vitesse v
dans un r´ef´erentiel R par ~
P=m ~v (1)
et pour un syst`eme de points - on parle alors de r´esultante cin´etique - par
~
P=Z Z Zτ ρ~v dτ =M ~vc(2)
si ~vcest la vitesse de son centre de masse 1et M la masse totale.
De mani`ere g´en´erale, tout syst`eme mat´eriel de l’Univers exerce sur un point mat´eriel M non
inclus dans ce syst`eme une force repr´esent´ee, dans un r´ef´erentiel galil´een R, par l’ensemble d’un
point M et d’un vecteur ~ F.
Exemples : forces de gravitation, ´electromagn´etique, nucl´eaire...
La loi fondamentale de la dynamique dicte que
Par rapport `a un r´ef´erentiel galil´een R, le mouvement d’un point mat´eriel M de
masse m soumis `a plusieurs forces dont la somme est P~ Fsatisfait `a la relation
d~p
dt =X~
F
Dans un r´ef´erentiel galil´een, la d´eriv´ee par rapport au temps de la quantit´e de mou-
vement d’un point mat´eriel est ´egale `a la force qui lui est appliqu´ee.
Notons bien que si ~p est d´ecrite dans une autre base que celle de R, il faudra ´ecrire
(d~p
dt )R= (d~p dt )R0+ωR0/R×~p
Notons enfin que cette loi met en ´evidence le caract`ere inertiel de la masse m de M.
Pour un syst`eme isol´e, qui n’est soumis `a aucune interaction, cette grandeur se conserve au
cours du temps, comme le montre le PFD. De tels syst`emes sont difficiles `a mettre en ´evidence
de mani`ere simple ; cependant, la conservation de cette grandeur nous est d´emontr´ee tous les
jours, si l’on consid`ere
– le dispositif de ceinture de s´ecurit´e : le but est d’annuler la quantit´e de mouvement du
corps lors du freinage, en la transf´erant sous forme de force dont l’application est r´eduite
en temps par l’´elasticit´e et en intensit´e par la surface de la ceinture
– le recul d’une arme `a feu (cf. exemple)
– le principe de rappel par corde en escalade
– etc
La conservation de la quantit´e de mouvement proc`ede d’un principe d’invariance, par transla-
tion, dans l’espace. Ceci signifie juste que, si rien n’agit sur le syst`eme consid´er´e - soit s’il y a bien
(approximativement) invariance de l’environnement par translation -, la grandeur p se conserve.
1Le r´ef´erentiel du centre de masse d’un solide, not´e R*, est le r´ef´erentiel en translation par rapport `a R dans
lequel on satisfait ~ P∗= 0

1 CONSERVATION DE LA QUANTIT ´ E DE MOUVEMENT 5
Compte tenu du caract`ere irr´ealiste de l’hypoth`ese du point mat´eriel isol´e, la propri´et´e
de conservation de la quantit´e de mouvement peut sembler de peu d’int´erˆet. On observera
toutefois que cette loi de conservation reste tout `a fait valable dans une situation o`u le point
est dit pseudo-isol´e, d´efinie par le fait que l’on a
X~
F=~ 0
en pr´esence d’interactions qui se compensent pour donner une r´esultante nulle. L’exemple le
plus proche est certainement le cas des mobiles autoporteurs `a coussins d’air utilis´es dans tout
le secondaire.
1.2 Relativit´e galil´eenne
La loi fondamentale de la dynamique est invariante par changement de r´ef´erentiel galil´een.
Comme les acc´el´erations d’entraˆınement et de Coriolis, dans la composition des mouvements
entre deux r´ef´erentiels galil´eens Ret R0, sont nulles, il vient
X~
F=m ~aA/R=m ~aA/R0
Ainsi, aucune exp´erience de m´ecanique ne permettra de distinguer deux r´ef´erentiels galil´eens
entre eux. C’est bien ce que l’exp´erience courante nous apprend : dans un v´ehicule, se d´epla¸cant
`a vitesse (vectorielle) constante par rapport au sol terrestre, il est impossible de d´eceler notre
´etat de mouvement (sauf regard par une fenˆetre). Seules les modifications occasionnelles de
cette vitesse, dans un virage ou au cours d’un freinage, sont d´etectables. Ce r´esultat essentiel a
´et´e per¸cu tr`es tˆot par Galil´ee, et r´esum´e par la phrase ” le mouvement ( rectiligne et uniforme)
n’est rien ”.
Cette invariance de la loi fondamentale lorsqu’on change de r´ef´erentiel galil´een est appel´ee la re-
lativit´e galil´eenne. Dans ce contexte, le r´ef´erentiel de Copernic, souvent utilis´e comme r´ef´erentiel
galil´een, n’est qu’un excellente r´ealisation d’un r´ef´erentiel galil´een parmi d’autres. L’invariance
galil´eenne d´epasse le cadre de la m´ecanique newtonienne, puisqu’en 1905 Einstein la g´en´eralisa
`a tous les ph´enom`enes physiques, ce qui permit de r´esoudre l’important probl`eme de la consta-
tation exp´erimentale de l’invariance de la vitesse de la lumi`ere dans le vide.
La chute libre des corps dans le voisinage de la surface terrestre a ´et´e ´etudi´ee et analys´ee
compl`etement par Galil´ee. C’est lui qui le premier a montr´e que deux corps, suffisamment
denses pour pouvoir n´egliger l’influence de l’air, lˆach´es d’une mˆeme hauteur sans vitesse initiale,
arrivent en mˆeme temps au sol.
C’est lui aussi qui montra l’influence des conditions initiales sur la nature de la trajectoire
du mouvement d’un corps : elle est rectiligne lorsque le corps est abandonn´e sans vitesse et
parabolique lorsqu’il est lanc´e avec une vitesse initiale perpendiculaire `a la verticale du lieu.
Dans ce contexte, il est instructif de citer le c´el`ebre probl`eme pos´e par Galil´ee dans le Dialogue
des deux mondes : quel est le point de chute d’un boulet abandonn´e au sommet du mˆat vertical
d’un voilier, qui se d´eplace `a vitesse (vectorielle) constante par rapport au r´ef´erentiel terrestre,
lorsqu’on n´eglige l’influence de l’air ? Comme le r´ef´erentiel du bateau a les mˆeme propri´et´es
que le r´ef´erentiel terrestre et que, dans ce dernier, tout corps abandonn´e sans vitesse a une
trajectoire verticale, la r´eponse est ´evidemment le point situ´e au bas du mˆet. On montre qu’en
r´ealit´e on doit ajouter au poids du corps un terme de force de Coriolis dont l’influence peut ici ˆetre
n´eglig´ee ; cette chute, ind´ependante de la masse, n’est vraie qu’en l’absence de forces de frottements
dues `a l’air.