10. Exercices supplémentaires Pour la section 3 Exercice 3.9. Soit a

86 ABRAHAM BROER
10. Exercices supplémentaires
Pour la section 3
Exercice 3.9.Soit a, b, c, d 2Foù Fest un corps quelconque. Si ad bc 6=0dans F, alors l’inverse
de ab
cd
est-il donné par
1
ad bc db
ca
!?
Exercice 3.10.(i) Montrer qu’il n’y a pas de solution à l’équation x2+x+1=0 dans F2
(ii) ni à l’équation x3+2x+1=0dans F3,
(iii) mais qu’il y en plus d’une à x2+x+1=0dans F4.
Attention : si le corps est fini, il est possible de vérifier si chacun des éléments du corps vérifie
l’équation proposée.
Exercice 3.11.Soit
A=0
B
@
101
110
011
1
C
A
une matrice sur le corps Fet où 0et 1dénotent le neutre pour +et ⇥respectivement. Calculer
det Apour (i) F=Q,(ii)F=F2et (iii) F=F3.
Exercice 3.12.(i) Énumérer tous les vecteurs de l’espace vectoriel F3
2des vecteurs à trois composantes
sur le corps F2. Attention : il y en a un nombre fini !
(ii) Soit pun nombre premier. Combien de vecteurs contient l’espace vectoriel F2
psur le corps Fp?
(iii) Quelle est la dimension de l’espace vectoriel F2
p? Attention : pour répondre à cette question, il
est impératif de revoir les définitions de dimension et de base vues dans le cours d’algèbre linéaire.
Exercice 3.13.(i) Résoudre, sur F2, le système linéaire
x+y=0 et y=1.
(ii) Résoudre sur F3le système
x+z=0
x+y=1
y+z=2.
Exercice 3.14.(i) Montrer que le produit de matrices triangulaires supérieures et l’inverse d’une
matrice triangulaire supérieure inversible sont triangulaire supérieures. Attention : pour l’inverse,
se remémorer l’algorithme pour calculer l’inverse par équivalence-ligne : (A|I)⇠(I|A1).
(ii) L’ensemble B(n, F)des matrices triangulaires supérieures inversibles dont les éléments de ma-
trices sont dans Fforment un groupe.
(iii) Combien d’éléments contient B(3,F2)? et B(2,F3)?etB(n, Fp)si pest premier ?

INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GROUPES MAT 2600 87
Pour 4.1
Exercice 4.20.Est-ce que les sous-ensembles suivants sont des sous-groupes de GL(n, R)? (Atten-
tion : il faudra vérifier que (a) le neutre, (b) le produit de deux éléments du sous-ensemble et (c)
l’inverse d’un élément du sous-ensemble appartiennent tous au sous-ensemble.)
(i) Les matrices de la forme ✓10ab
01cd
0010
0001
◆dans GL(4,R).
(ii) Les matrices de la forme 10ab
01cd
ef10
gh01
!dans GL(4,R).
(iii) Les matrices de GL(n, R)dont les élément mij sont nuls lorsque ijest un nombre impair.
(Les diagonales non nulles alternent avec les nulles, la diagonale principale pouvant être non nulle.)
(iv) L’union des ensembles des matrices triangulaires supérieures et des triangulaires inférieures.
(v) Les rotations {1,⇢,⇢2,...,⇢
n1}du groupe diédral Dn.
(vi) Les réflexions {1,,⇢,⇢
2,...,⇢ n1}du groupe diédral Dn.
(vii) Le sous-ensemble des entiers pairs de (Z,+).
Exercice 4.21.À la section 2, deux homomorphismes ont été construits dont le domaine est le groupe
symétrique : L:Sn!GL(n, R)et sg : Sn!R⇥. Identifier, pour ces deux homomorphismes, leurs
noyau et image en précisant de quel groupe ils sont des sous-groupes.
Exercice 4.22.VRAI ou FAUX. Soit Hun sous-groupe de G.
(i) Si Gest abélien, Hest abélien.
(ii) Si Gest non abélien, Hest non abélien.
(iii) L’ordre d’un élément h2H(vu comme élément de H) est égal à son ordre comme élément de
G.
(iv) Si :G!Kest un isomorphisme, alors Het le sous-ensemble (H)<Ksont isomorphes.
(v) L’ordre d’un sous-groupe d’un groupe infini est infini.
(vi) L’ordre d’un sous-groupe d’un groupe fini est fini.
(vii) Soit gun élément de Gd’ordre k.Alorshgiest un sous-groupe de Gd’ordre ket isomorphe
au groupe cyclique Ck(voir l’exercice 1.6).
Exercice 4.23.(i) Soit a2Get soit le sous-ensemble CG(a)={g2G;ga =ag}. Montrer que
CG(a)est un sous-groupe de G. (Ce groupe est appelé le centralisateur de adans G.)
(ii) Soit Aun sous-ensemble de G(pas nécessairement un sous-groupe de G). Montrer que NG(A)=
{g2G|gag12A, pour tout a2A}est un sous-groupe de G. (Ce sous-groupe est appelé le
normalisateur de Adans G.)
Solution de (i) : cet exercice ressemble beaucoup à la vérification qu’un sous-ensemble est un sous-
espace vectoriel. Vous avez fait de nombreux exercices du genre dans le cours d’algèbre linéaire. Pour
le cas présent, 1est dans CG(a)puisque la condition ga =ag est vérifiée pour g=1:1a=a=a1.
La seconde étape consiste à vérifier que l’ensemble proposé est fermé sous la multiplication. Si
get hsont dans CG(a), c’est donc que ga =ag et ha =ah. Alors leur produit gh satisfait
(gh)a=g(ha)=g(ah)=(ga)h=a(gh). Donc gh 2GC(a). Reste à vérifier que l’inverse d’un

88 ABRAHAM BROER
élément g2CG(a)est aussi dans CG(a).Maissigsatisfait ga =ag, il suffit de multiplier à gauche
et à droite par g12Gpour obtenir g1(ga)g1=g1(ag)g1et donc, après simplification,
ag1=g1aet donc g12CG(a).AinsiCG(a)est un sous-groupe de G.
Pour 4.2
Exercice 4.24.Soit Gun groupe et soient deux éléments s, t 2Gd’ordre respectif 2et 3qui
commutent st =ts.Alorsh{s, t}icontient nécessairement un élément d’ordre 6.
Exercice 4.25.VRAI ou FAUX.
(i) Le sous-groupe de Snengendré par {(1,2),(2,3),...,(k1,k)}avec knest isomorphe à Sk.
(ii) Le sous-groupe h{1}idu groupe (Z,+) est Zlui-même.
(iii) Le groupe (Q\{0},⇥)peut être engendré par un ensemble fini de générateurs.
(v) Si Hest un sous-groupe de G,alorshHi=H.
Exercice 4.26.(i) Soit Gun groupe abélien et Gfini ={g2G;|g|<1}.AlorsHest un sous-groupe
de G.
(ii) Soit Q/Zl’ensemble des classes d’équivalence sous la relation ⇠suivante : p
q⇠r ss’il existe
n2Ztel que p
q=r s+n. Montrer que ¯
p
qˆ
+¯
r
s=p q+r sest une opération bien définie sur Q/Zet que
(Q/Z,ˆ +) est un groupe.
(iii) Soit SO(2,R)le groupe des matrices orthogonales 2⇥2de déterminant 1. Montrer que
SO(2,R)fini et (Q/Z,ˆ +) sont isomorphes.
Pour 4.3
Exercice 4.27.(i) Calculer le sous-groupe dérivé de D3.
(ii) Même exercice pour Dn. (Si vous n’avez pas utilisé les relations entre ⇢et (voir l’exercice 1.7),
alors il est temps de le faire !)
Exercice 4.28.Le groupe Gest abélien si et seulement G0={1}.
Exercice 4.29.Soit k2G0un élément du groupe dérivé de Get soit g2Gun élement quelconque
de g.Alorsgkg12G0.
Exercice 4.30.VRAI ou FAUX.
(i) Si H<G,alorsH0<G
0.
Pour 4.5

INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GROUPES MAT 2600 89
Exercice 4.31.VRAI ou FAUX. Soit H<G.
(i) Si Gest abélien, alors gH=Hgpour g2G.
(ii) Si Hest abélien, alors gH=Hgpour g2G.
(iii) Soit Cple groupe cyclique d’ordre ppremier, Gun groupe et :Cp!Gun morphisme. Alors
ker =Cpou est injectif.
Exercice 4.32.Énumérer les translatés à gauche de Sn/Altnet ceux de Dn/hioù Dnest le groupe
diédral à 2nélements et est la réflexion 10
01.
Exercice 4.33.Montrer que :C⇥!R⇥défini par (a+ib)=a2+b2est un morphisme et décrire
l’ensemble des translatés C⇥/ker .
Exercice 4.34.Soient Het Kdeux sous-groupes de Get soit, pour g2G, l’ensemble HgK
défini par {hgk2G|h2Het k2K}. Cet ensemble est appelé le double translaté de g. Soit
la relation g1⇠g2si g1appartient au double translaté Hg2K.Est-ceque⇠est une relation
d’équivalence ?
Exercice 4.35.Soient Het Kdeux sous-groupes finis de Gdont les ordres sont relativement premiers.
Alors H\K=1.
Exercice 4.36.Soit H<Get soit la relation entre éléments de Gdéfinie par a⇠bsi b1a2H.
(i) ⇠est une relation d’équivalente.
(ii) Décrire les éléments de G/ ⇠en termes du matériel introduit dans la présente section.
Exercice 4.37.Appliquer le résultat de l’exercice 4.17 au groupe ((Z/pZ)⇥,⇥)pour démontrer le
petit théorème de Fermat : si pest premier, alors ap⌘amod ppour tout a2Z.
Pour 5.1
Exercice 5.44.VRAI ou FAUX.
(i) Tout sous-groupe d’un groupe abélien est normal.
(ii) Si KCHet HCG,alorsKCG.
(iii) Soit Gun groupe matriciel (comme GL(n, R)). Si Hest le sous-groupe contenant tous les
éléments de déterminant 1,alorsHest normal.
(iv) Soit Gun groupe matriciel (comme GL(n, R)). Si Hest le sous-groupe contenant tous les
éléments de déterminant 1ou 1,alorsHest normal.
(v) h⇢iCDn.
(vi) AltnCSn.
(vii) V4CS4.
(viii) Soit :G!Hun isomorphisme entre deux groupes. Si NCG,alors(N)CG.
Exercice 5.45.Soit O(n)le groupe des matrices orthogonales n⇥net soit SO(n)son sous-groupe
constitué des matrices de déterminant +1. Vrai ou faux : le produit direct {+1,1}⇥SO(n)est
isomorphe à O(n).

90 ABRAHAM BROER
Pour 5.9
Exercice 5.46.VRAI ou FAUX.
(i) Si Get Hsont isomorphes, alors leurs facteurs simples sont isomorphes deux à deux.
(ii) Le produit des ordres des facteurs simples d’une suite de décomposition de Gest l’ordre de G.
(iii) Il existe une permutation ⇡2Sstelle que les sous-groupes maximaux Giet Kides deux suites
de décomposition (D1) et (D2) apparaissant dans l’énoncé du théorème de Jordan-Hölder soient
isomorphes deux à deux : Gi'K⇡(i).
Exercice 5.47.Obtenir une suite de décomposition des groupes diédraux D3,D8et D15 et identifier
leurs facteurs simples. Suggestion : commencer en pensant à la symétrie des polygones réguliers :
est-ce que les rotations dans Dnforment un sous-groupe normal ? maximal ?
Pour 6.1
Pour 6.2
Exercice 6.17.L’émergence du théorème de Lagrange — Soit f:Fn!F(n1) une fonction
polynômiale à coefficients dans un corps F.Soit2Snet fla fonction Fn!Fdéfinie par
f(x1,x
2,...,x n)=f(x(1),x
(2),...,x (n)). Enfin soit Ff={f|2Sn}. (Par exemple, si
f(x1,x
2,x 3)=(x1+x2)x3,alorsFf={(x1+x2)x3,(x1+x3)x2,(x2+x3)x1}.)
(i) Si g2F
fet ⌧2Sn,alors⌧⇤g=g⌧1définit une Sn-action sur Ff.
(ii) Montrer que le nombre de fonctions distinctes dans Ffdivise n!.
Note : c’est parce que Lagrange (1736–1813) a démontré l’énoncé (ii) qu’on lui accorde la parternité
du théorème de Lagrange (théorème 4.1) et ce, même si la notion de groupe a émergé des travaux
postérieurs de Galois (1811–1832).
Pour 9.5
Exercice 9.8.Lesquelles des relations binaires suivantes sont des relations d’équivalence ?
(i) X=Qet x⇠ysi et seulement si x=y.
(ii) X=Ret x⇠ysi et seulement si il existe q2Qtel que x=y+q.
(iii) X=Rn\{0}et v⇠wsi et seulement si il existe r2Rtel que rv =w.
(iv) X=Snet ⇠⇡si et seulement si il existe ⇢2Sntel que ⇢⇢1=⇡.
Exercice 9.9.Identifier l’ensemble X/ ⇠des classes d’équivalence pour les questions (i), (iii) et (iv)
de l’exercice précédent.