Analyse numérique : Intégration numérique

Analyse numérique :
Intégration numérique
Pagora 1A
Chapitre 4
8 février – 11 mars 2013
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
1 / 67
Plan
1
Introduction
2
Intégration par méthode de Monte-Carlo
3
Formules de Newton-Cotes
Bases
Newton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4
Formules composites
5
Formules de Gauss
Bases
Un exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
2 / 67
Introduction
Plan
1
Introduction
2
Intégration par méthode de Monte-Carlo
3
Formules de Newton-Cotes
Bases
Newton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4
Formules composites
5
Formules de Gauss
Bases
Un exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
3 / 67
Introduction
Description du problème
On cherche à estimer la valeur numérique de
Z
b
f (x) dx
I =
a
avec :
a et b deux réels (a < b).
f fonction mal connue mais ne disposant pas de singularité sur [a, b].
exemple : f (x) =
√1
x
Analyse numérique (Pagora 1A)
intégrable sur [0, 1] mais possède une sigularité en 0.
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
4 / 67
Introduction
Méthode classique : primitive
Lorsqu’on connait une primitive de f (noté ici F ) sur [a, b], on peut
calculer directement I .
Z b
I =
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
√
exemple : F (x) = 2 x est une primitive de f (x) =
Z
I =
0
Analyse numérique (Pagora 1A)
1
√1
x
sur [0, 1], on a donc
√
√
1
√ dx = 2 1 − 2 0 = 2
x
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
5 / 67
Introduction
Problème
La plupart des fonctions f ne disposent pas d’expressions analytique pour
leurs primitives même dans le cas de fonctions s’écrivant très simplement.
exemples :
Z
1
2
e −x dx
0
Z
π/2 p
1 + cos2 x dx
0
Z
1
cos(x 2 ) dx
0
Solution : utiliser des méthodes numériques.
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
6 / 67
Introduction
Exemple concret intégration numérique
Dans le cas du traitement du signal, on peut vouloir connaitre la valeur
moyenne f˜(t) d’un signal f sur [0, t].
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
7 / 67
Introduction
Exercice : valeur moyenne d’une fonction f
Soit f une fonction intégrable sur [a, b], quelle est sa valeur moyenne ?
En déduire l’expression de f˜ d’un signal f sur [0, t].
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
8 / 67
Introduction
Exercice (correction)
Soit f une fonction intégrable sur [a, b], quelle est sa valeur moyenne ?
En déduire l’expression de f˜ d’un signal f sur [0, t].
Notons fmoy la valeur moyenne de f sur [a, b]. fmoy doit vérifier l’égalité :
Z
b
Z
fmoy dx =
a
b
f (x) dx
a
Z
donc
(b − a)fmoy =
b
f (x) dx
a
Z b
1
et
fmoy =
f (x) dx
b−a a
Z
1 t
˜
f (x) dx
d’où l’expression de
f (t) =
t 0
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
avec t > 0
8/02 - 11/03/2013
9 / 67
Intégration par méthode de Monte-Carlo
Plan
1
Introduction
2
Intégration par méthode de Monte-Carlo
3
Formules de Newton-Cotes
Bases
Newton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4
Formules composites
5
Formules de Gauss
Bases
Un exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
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Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
10 / 67
Intégration par méthode de Monte-Carlo
Bases de la méthode de Monte-Carlo
Objectif : calculer
Z
I =
f (x) dx
Ω
avec Ω ∈ Rn de volume V connu, c’est à dire on connait la valeur exacte de
Z
V =
dx
Ω
Comment faire : on tire aléatoirement de manière uniforme des valeurs
xi ∈ Ω, i = 1, . . . , N et on approche l’intégrale par
I ≈ QN =
N
V X
f (xi )
N
i=1
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Intégration numérique
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11 / 67
Intégration par méthode de Monte-Carlo
Exercice
Écrire un programme Scilab permettant d’estimer l’intégrale de
[0, 1] par la méthode de Monte-Carlo avec pour entrée N.
1
1+x 2
sur
Pour rappel, la fonction rand(n,m) retourne une matrice de taille n × m
contenant des nombres aléatoires de loi uniforme compris entre 0 et 1.
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12 / 67
Intégration par méthode de Monte-Carlo
Exercice (correction)
Voici un exemple de solution :
function QN = integraleMC(N)
QN = 0 ;
for k = 1:N
u = rand(1,1) ;
QN = QN + (1./N).*(1./(1 + u.*u)) ;
end
endfunction
On vient de donner un algorithme permettant de calculer
Z 1
1
dx = arctan(1)
2
0 1+x
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Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
13 / 67
Intégration par méthode de Monte-Carlo
Vitesse de convergence de la méthode
La méthode converge vers le bon résultat
lim QN = I
N−→∞
Cependant sa vitesse de convergence est très lente (il faut que N soit très
grand pour avoir un résultat convenable). En effet, on note
N
1 X
f¯N =
f (xi )
N
i=1
et
lim f¯N = fmoy valeur moyenne de f
N−→∞
N
2
σN
1 X
(f (xi ) − f¯N )2
=
N −1
et
i=1
La variance de QN vaut
Var(QN ) =
Analyse numérique (Pagora 1A)
2
lim σN
= σ 2 ∈ R+
N−→∞
2
V 2 σN
N
Intégration numérique
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14 / 67
Formules de Newton-Cotes
Plan
1
Introduction
2
Intégration par méthode de Monte-Carlo
3
Formules de Newton-Cotes
Bases
Newton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4
Formules composites
5
Formules de Gauss
Bases
Un exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
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15 / 67
Formules de Newton-Cotes
Bases
Plan
1
Introduction
2
Intégration par méthode de Monte-Carlo
3
Formules de Newton-Cotes
Bases
Newton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4
Formules composites
5
Formules de Gauss
Bases
Un exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
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16 / 67
Formules de Newton-Cotes
Bases
Interpolation et intégrale
On peut approcher une fonction quelconque f par un polynôme P. Comme
f (x) est proche de P(x), on a :
Z
f (x) ≈ P(x) =⇒
b
Z
f (x) dx ≈
a
b
P(x) dx
a
Avantages :
les polynômes sont faciles à intégrer.
cette méthode est utilisable même si on ne connait que des valeurs de
f puisqu’on peut alors construire le polynôme P d’interpolation de f
sur ces valeurs.
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Intégration numérique
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17 / 67
Formules de Newton-Cotes
Bases
Formules de quadrature de type interpolation
Soient (xi , yi = f (xi )), i = 0, . . . , n, n + 1 points d’interpolation tel que
a ≤ x0 < x1 < . . . < xn ≤ b.
b
Z
Z
b
f (x) dx ≈
I =
a
Z
P(x) dx =
a
a
b
n
X
yi `i (x) dx
i=0
Posons
Z
In =
a
b
n
X
yi `i (x) dx =
i=0
n Z
X
i=0
avec
Z
wi =
b
yi `i (x) dx =
a
n
X
wi f (xi )
i=0
b
`i (x) dx
a
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18 / 67
Formules de Newton-Cotes
Bases
Définition : formule de quadrature
On approche l’intégrale par
Z
b
f (x) dx ≈ In (f ) =
I (f ) =
a
n
X
wi f (xi )
i=0
avec :
xi , i = 0, . . . , n, noeuds ou points d’intégration.
wi , i = 0, . . . , n, poids de la formule de quadrature.
On définit l’erreur comme étant
R(f ) = I (f ) − In (f )
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Intégration numérique
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19 / 67
Formules de Newton-Cotes
Bases
Définitions et théorème
Définition : Une formule de quadrature est dite exacte sur un ensemble V
si pour tout f de V
R(f ) = 0
Définition : Une formule de quadrature est dite de degré de précision n
si elle est exacte pour x k , k = 0, . . . , n et non exacte pour x n+1 .
Théorème : Une formule de quadrature à n+1 points est exacte sur
l’ensemble des polynômes de degré au plus n si, et seulement si, c’est une
formule de type interpolation à n+1 points.
Remarque : Une formule exacte sur l’ensemble des polynômes de degré au
plus n est de degré de précision au moins n.
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Intégration numérique
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20 / 67
Formules de Newton-Cotes
Bases
Exercice
Trouver A0 et A1 tels que :
Z 1
f (x) dx = A0 f (−1) + A1 f (1) + R(f )
−1
et vérifier que cette formule de quadrature est de degré de précision 1.
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Intégration numérique
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21 / 67
Formules de Newton-Cotes
Bases
Exercice (correction)
C’est une formule de type interpolation à 2 points donc exacte sur
l’ensemble des polynômes de degré au plus 1. D’où :
Z 1
f (x) = 1 , R(f ) = 0 ⇐⇒
1 dx = A0 + A1 = 2
−1
Z
1
f (x) = x , R(f ) = 0 ⇐⇒
x dx = −A0 + A1 = 0
−1
On obtient A0 = 1 et A1 = 1 donc
Z 1
f (x) dx = f (−1) + f (1) + R(f )
−1
Cette méthode par construction est au moins de degré de précision 1.
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
22 / 67
Formules de Newton-Cotes
Bases
Exercice (correction)
Montrons que cette formule de quadrature est de degré de précision 1.
Pour
f (x) = x
2
Z
1
f (x) dx =
−1
2
6= A0 f (−1) + A1 f (1) = 2
3
donc R(f ) 6= 0 et la formule de quadrature est de degré de précision 1.
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
23 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes fermé
Plan
1
Introduction
2
Intégration par méthode de Monte-Carlo
3
Formules de Newton-Cotes
Bases
Newton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4
Formules composites
5
Formules de Gauss
Bases
Un exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
24 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes fermé
Généralités
Pour obtenir les formules de Newton-Cotes fermé, on interpole f aux point
suivants
xi = a + ih
i = 0, . . . , n
avec
h=
b−a
n
On a donc x0 = a et xn = b et on construit les formules de quadratures de
la façon suivante :
Z
b
f (x) dx ≈ (b − a)
a
(n)
wi f (xi )
i=0
avec
(n)
wi
Analyse numérique (Pagora 1A)
n
X
=
1
b−a
Z
b
`i (x) dx
a
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
25 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes fermé
Cas n = 0, formule des rectangles
Le seul point est soit a, soit b.
b
Z
f (x) dx ≈ (b − a)f (a)
a
b
Z
f (x) dx ≈ (b − a)f (b)
a
C’est la formule des rectangles qui est
exacte uniquement pour les polynômes de
degré 0 (ie. les constantes).
Si f est C 1 sur [a, b] alors il existe ξ ∈]a, b[
tel que
R(f ) = ±
(b − a) 0
f (ξ)
2
+ si a, − si b
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
26 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes fermé
Cas n = 1, formule des trapèzes
Les points d’interpolation sont x0 = a et x1 = b.
(1)
Exercice : Trouver la formule des trapèzes en calculant w0
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
(1)
et w1 .
8/02 - 11/03/2013
27 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes fermé
Cas n = 1, formule des trapèzes
Correction :
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
28 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes fermé
Cas n = 1, formule des trapèzes
Correction :
(1)
w0
(1)
w1
b
1
=
b−a
Z
1
b−a
Z
=
a
1
`0 (x) dx =
b−a
Z
1
b−a
Z
b
`1 (x) dx =
a
b
1
x −b
dx =
a−b
2
b
x −a
1
dx =
b−a
2
a
a
donc la formule des trapèzes est
Z
b
f (x) dx ≈
a
Analyse numérique (Pagora 1A)
1
(f (a) + f (b))
2
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
29 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes fermé
Cas n = 1, formule des trapèzes
La formule des trapèzes est exacte pour les polynômes de degré au plus 1
et est de degré de précision 1.
Si f est C 2 sur [a, b] alors il existe ξ ∈]a, b[ tel que l’erreur R soit
R(f ) = −
Analyse numérique (Pagora 1A)
(b − a)3 00
f (ξ)
12
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
30 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes fermé
Cas n = 2, formule de Simpson
a+b
et x2 = b.
2
La formule de Simpson qui est exacte pour les polynômes de degré au plus
2 vaut
Z b
a+b
(b − a)
f (a) + 4f
+ f (b)
f (x) dx ≈
6
2
a
Les points d’interpolation sont x0 = a, x1 =
Si f est C 4 sur [a, b] alors il existe ξ ∈]a, b[ tel que l’erreur R soit
R(f ) = −
(b − a)5 (4)
f (ξ)
2880
La formule de Simpson est de degré de précision 3.
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
31 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes fermé
Cas n = 2, formule de Simpson
Exercice : montrer que la formule de Simpson est de degré de précision 3.
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
32 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes fermé
Cas n = 2, formule de Simpson
Exercice : montrer que la formule de Simpson est de degré de précision 3.
La formule de Simpson est exacte pour les polynômes de degré au plus 2
donc elle est de degré de précision au moins 2. D’autre part,
b
b 4 − a4
b−a 3
=
b + ab2 + a2 b + a3
4
4
a
!
a+b 3
b−a 3
b−a
3
3
a +4
+b
=
b + ab2 + a2 b + a3
6
2
4
Z
x 3 dx =
La formule de Simpson est de degré de précision au moins 3.
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
33 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes fermé
Cas n = 2, formule de Simpson
Pour x 4 , on obtient
Z b
b 5 − a5
b−a 4
=
b + ab3 + a2 b2 + a3 b + a4
x 4 dx =
5
5
a
et
b−a
6
a4 + 4
a+b
2
4
!
+ b4
=
b−a
5b4 + 4ab3 + 6a2 b2 + 4a3 b + 5a4
24
Les deux quantités ne sont pas égales donc la formule de Simpson est de
degré de précision 3.
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
34 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes fermé
Quelques formules de Newton-Cotes fermé
n
1
2
3
4
5
6
nom
trapèzes
Simpson
Simpson 3/8
Boole
Weddle
Analyse numérique (Pagora 1A)
(n)
w0
1
2
1
6
1
8
7
90
19
288
41
840
(n)
w1
1
2
4
6
3
8
32
90
75
288
216
840
(n)
w2
1
6
3
8
12
90
50
288
27
840
Intégration numérique
(n)
w3
1
8
32
90
50
288
272
840
(n)
w4
7
90
75
288
27
840
(n)
w5
19
288
216
840
(n)
w6
41
840
8/02 - 11/03/2013
35 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes ouvert
Plan
1
Introduction
2
Intégration par méthode de Monte-Carlo
3
Formules de Newton-Cotes
Bases
Newton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4
Formules composites
5
Formules de Gauss
Bases
Un exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
36 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes ouvert
Généralités
Pour obtenir les formules de Newton-Cotes ouvert, on interpole f aux point
suivants
xi = a + (i + 1)h
i = 0, . . . , n
avec
h=
b−a
n+2
et on construit les formules de quadratures de la façon suivante :
Z
b
f (x) dx ≈ (b − a)
a
n
X
(n)
wi f (xi )
i=0
avec
(n)
wi
=
1
b−a
Z
b
`i (x) dx
a
Contrairement aux formules de Newton-Cotes fermé, les points
d’intégration ne sont jamais a et b.
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
37 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes ouvert
Cas n = 0, formule des rectangles
Exercice : Trouver la formule des rectangles pour Newton-Cotes ouvert et
montrer qu’elle est de degré de précision 1.
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
38 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes ouvert
Cas n = 0, formule des rectangles
Correction :
(0)
w0
1
=
b−a
Z
a
b
1
`0 (x) dx =
b−a
Z
b
dx = 1
a
La formule des rectangles est donc :
Z
b
f (x) dx ≈ (b − a)f
a
a+b
2
Montrons que cette formule est de degré de précision 1.
Z b
a+b
I (1) =
dx = (b − a)
I0 (1) = (b − a)f
= (b − a)
2
a
La formule est donc de degré au moins 0 (car R(1) = I (1) − I0 (1) = 0)
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
39 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes ouvert
Cas n = 0, formule des rectangles
Z
I (x) =
a
b
b 2 − a2
x dx =
2
I0 (x) = (b − a)f
a+b
2
= (b − a)
a+b
2
La formule est donc de degré au moins 1 (car R(x) = I (x) − I0 (x) = 0)
Z b
b 3 − a3
1
I (x 2 ) =
x 2 dx =
= (b − a)(b2 + ab + a2 )
3
3
a
2
1
a+b
a+b
I0 (x 2 ) = f
= (b − a)
= (b − a)(b2 + 2ab + a2 )
2
2
4
R(x 2 ) 6= 0, donc le degré de précision est bien 1.
Si f est C 2 sur [a, b] alors il existe ξ ∈]a, b[ tel que l’erreur R soit
R(f ) =
Analyse numérique (Pagora 1A)
(b − a)3 (2)
f (ξ)
24
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
40 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes ouvert
Quelques formules de Newton-Cotes ouvert
n
0
1
2
3
nom
rectangles
trapèzes
Milne
-
Analyse numérique (Pagora 1A)
(n)
w0
1
1
2
2
3
11
24
(n)
w1
1
2
- 13
1
24
Intégration numérique
(n)
w2
2
3
1
24
(n)
w3
11
24
8/02 - 11/03/2013
41 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes ouvert
Quelques propriétés pour terminer
Pour une formule de Newton-Cotes associée à une valeur impaire de n.
Si f ∈ C n+1 ([a, b]), alors il existe un réel Kn et ξ ∈]a, b[ tel que l’erreur R
commise sur la valeur de l’intégrale soit
R(f ) =
Kn
(b − a)n+2 f (n+1) (ξ)
(n + 1)!
A noter que :
Kn < 0 si Newton-Cotes fermé
Kn > 0 si Newton-Cotes ouvert
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
8/02 - 11/03/2013
42 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes ouvert
Quelques propriétés pour terminer
Pour une formule de Newton-Cotes associée à une valeur paire de n.
Si f ∈ C n+2 ([a, b]), alors il existe un réel Mn et ξ ∈]a, b[ tel que l’erreur R
commise sur la valeur de l’intégrale soit
R(f ) =
Mn
(b − a)n+3 f (n+2) (ξ)
(n + 2)!
A noter que :
Mn < 0 si Newton-Cotes fermé
Mn > 0 si Newton-Cotes ouvert
Remarque : La propriété est valable pour toutes les formules de
Newton-Cotes (fermé et ouvert) sauf Newton-Cotes fermé avec n = 0.
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
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43 / 67
Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes ouvert
Degré de précision des formules de Newton-Cotes
Exercice : déduire des propriétés précédentes le degré de précision des
formules de Newton-Cotes.
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
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Formules de Newton-Cotes
Newton-Cotes ouvert
Degré de précision des formules de Newton-Cotes
Dans le cas n pair,
R(f ) =
Mn
(b − a)n+3 f (n+2) (ξ)
(n + 2)!
Donc pour tout k < n + 2, R(x k ) = 0 et le degré de précision est au moins
n + 1. Maintenant,
R(x n+2 ) = Mn (b − a)n+3 6= 0
Le degré de précision des formules de Newton-Cotes avec n pair est n + 1.
Par un raisonnement analogue, on montre que le degré de précision des
formules de Newton-Cotes avec n impair est n.
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
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Formules composites
Plan
1
Introduction
2
Intégration par méthode de Monte-Carlo
3
Formules de Newton-Cotes
Bases
Newton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4
Formules composites
5
Formules de Gauss
Bases
Un exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
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Intégration numérique
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Formules composites
Défauts des formules de Newton-Cotes
Pour rendre l’erreur plus petite qu’une quantité donnée, la seule
possibilité avec les formules de Newton-Cotes est d’augmenter le
nombre de points d’intégration (donc le degré du polynôme
d’interpolation). Cela conduit parfois à l’apparition de comportements
peu appréciables (ex : phénomène de Runge).
A partir de n ≥ 9, les formules de Newton-Cotes deviennent instables
(c’est à dire que les poids intervenant dans les formules peuvent être
négatifs).
=⇒ Idée : approcher f par des polynômes par morceaux pour le calcul de
l’intégrale (formule composite).
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
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Formules composites
Bases
La méthode consiste à diviser l’intervalle [a, b] en r sous-intervalles de
longueur
b−a
h=
r
et d’introduire les points de subdivision
ti = a + ih
On forme
Z
b
f (x) dx =
a
i = 0, . . . , r
r −1 Z
X
i=0
ti +1
f (x) dx
ti
et l’on applique sur chaque intervalle [ti , ti+1 ] une des formules de
Newton-Cotes.
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
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Formules composites
Exercice : formule composite des trapèzes (NC fermé)
Établir la formule composite des trapèzes. En combien de points est il
nécessaire d’évaluer f pour pouvoir utiliser cette formule ?
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
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Formules composites
Exercice (correction)
On applique sur chaque intervalle [ti , ti+1 ] la formule des trapèzes (NC
fermé)
Z ti +1
h
f (x) dx ≈ (f (ti ) + f (ti+1 ))
2
ti
D’où
Z
b
f (x) dx =
a
r −1 Z
X
i=0
ti +1
f (x) dx ≈
ti
r −1
X
(f (ti ) + f (ti+1 ))
i=0
et la formule composite des trapèzes s’écrit
Z
r −1
b
f (x) dx ≈ h
a
X
1
1
f (a) +
f (ti ) + f (b)
2
2
!
i=1
On doit évaluer r + 1 fois f pour pouvoir utiliser cette formule.
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Formules composites
Erreur commise par la formule composite des trapèzes
On note R(f , [ti , ti+1 ]) l’erreur commise sur l’intǵrale de f entre ti et ti+1 .
Z ti +1
h
f (x) dx = (f (ti ) + f (ti+1 )) + R(f , [ti , ti+1 ])
2
ti
Or on a vu précédement que si f ∈ C 2 ([ti , ti+1 ]), il existe ξi ∈]ti , ti+1 [ tel
quel
1
R(f , [ti , ti+1 ]) = − h3 f 00 (ξi )
12
Maintenant, supposons que f soit C 2 sur [a, b] alors l’erreur R(f ) commise
sur l’intégrale de f entre a et b vaut
R(f ) =
r −1
X
i=0
r −1
h3 X 00
R(f , [ti , ti+1 ]) = −
f (ξi )
12
Analyse numérique (Pagora 1A)
ξi ∈]ti , ti+1 [
i=0
Intégration numérique
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Formules composites
Erreur commise par la formule composite des trapèzes
Si f est C 2 sur [a, b], alors f 00 est continue sur [a, b] et il existe un réel c tel
quel
c = max |f 00 (x)|
x∈[a,b]
On peut donc majorer |R(f )|, ainsi
|R(f )| ≤
r −1
r −1
i=0
i=0
h3 X
b−a
h3 X 00
|f (xii )| ≤
c = c h2
12
12
12
et on a
lim |R(f )| = lim |R(f )| = 0
r −→∞
h−→0
On assure bien ici que l’erreur commise sur l’estimation de l’intégrale tende
vers 0 en utilisant la formule composite des trapèzes (ceci reste vrai pour
tout autre formule composite).
Analyse numérique (Pagora 1A)
Intégration numérique
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Formules de Gauss
Plan
1
Introduction
2
Intégration par méthode de Monte-Carlo
3
Formules de Newton-Cotes
Bases
Newton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4
Formules composites
5
Formules de Gauss
Bases
Un exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
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Intégration numérique
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53 / 67
Formules de Gauss
Bases
Plan
1
Introduction
2
Intégration par méthode de Monte-Carlo
3
Formules de Newton-Cotes
Bases
Newton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4
Formules composites
5
Formules de Gauss
Bases
Un exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
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Formules de Gauss
Bases
Petit rappel
Soit une formule de quadrature
In (f ) =
n
X
wi f (xi )
i=0
Les formules de Newton-Cotes fixent les nœuds xi et utilisent des poids
assurant un degré de précision n ou n + 1.
L’idée des formules de Gauss est de choisir les nœuds pour que le degré
de précision de la formule soit le plus élevé possible.
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Formules de Gauss
Bases
Mise en forme du problème
Problème : Trouver les nœuds xi , i = 0 et les poids wi , . . . , n tel que
Z
b
f (x) dx ≈
a
n
X
wi f (xi )
i=0
On cherche donc 2n + 2 inconnues.
Idée : Chercher une formule exacte sur l’ensemble des polynômes de degré
au plus 2n + 1, soit
Z
b
k
x dx =
a
n
X
wi xik
k = 0, . . . , 2n + 1
i=0
On cherche 2n + 2 inconnues reliées entre elles par 2n + 2 équations.
Remarque : La formule obtenue est de degré de précision 2n + 1.
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Formules de Gauss
Un exemple concret
Plan
1
Introduction
2
Intégration par méthode de Monte-Carlo
3
Formules de Newton-Cotes
Bases
Newton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4
Formules composites
5
Formules de Gauss
Bases
Un exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
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Formules de Gauss
Un exemple concret
Exercice
Soit la formule de quadrature de Gauss
Z 1
I (f ) =
f (x) dx ≈ In (f ) = w0 f (x0 ) + w1 f (x1 )
−1
Établir le système d’équations reliant les poids et les nœuds. Vérifier que
√
√
3
3
x1 =
w0 = w1 = 1
x0 = −
3
3
est solution du système établi et vérifier que la formule
Z
1
f (x) dx ≈ f
−1
√ !
3
−
+f
3
√ !
3
3
est de degré de précision 3.
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Formules de Gauss
Un exemple concret
Exercice (correction)
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Formules de Gauss
Un exemple concret
Exercice (correction)
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60 / 67
Formules de Gauss
Un exemple concret
Exercice (correction)
On cherche une formule exacte sur l’ensemble des polynômes de degré au
plus 2n + 1, soit
Z b
n
X
wi xik
k = 0, . . . , 2n + 1
x k dx =
a
i=0
Ici a = −1, b = 1, n = 1. On établit le
 Z 1


1 dx = 2



−1

Z

1




x dx = 0

−1
Z 1

2


x 2 dx =


3


Z−1

1




x 3 dx = 0
−1
Analyse numérique (Pagora 1A)
système suivant
= w0 + w1
= w0 x0 + w1 x1
= w0 x02 + w1 x12
= w0 x03 + w1 x13
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Formules de Gauss
Un exemple concret
Exercice (correction)
√
3
w0 = w1 = 1
x0 = −
3
est solution du système établi précédemment.
√
x1 =
3
3
Montrons enfin que la formule est de degré de précision 3. Par définition,
elle est de degré de précision au moins 3. D’autre part, on a
Z 1
2
2
x 4 dx = 6= w0 x04 + w1 x14 =
5
9
−1
La formule est bien de degré de précision 3.
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Formules de Gauss
Formules de Gauss-Legendre
Plan
1
Introduction
2
Intégration par méthode de Monte-Carlo
3
Formules de Newton-Cotes
Bases
Newton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4
Formules composites
5
Formules de Gauss
Bases
Un exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
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Formules de Gauss
Formules de Gauss-Legendre
Polynômes de Legendre
Les polynômes de Legendre notés Pm (m entier positif) peuvent se définir
de différentes manières :
Pm (x) =
Pm (x) =
1 dm
[(x 2 − 1)m ]
2m m! dx m
2
m 1 X
m!
(x − 1)k (x + 1)m−k
2m
k!(m − k)!
k=0
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Formules de Gauss
Formules de Gauss-Legendre
Polynômes de Legendre
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65 / 67
Formules de Gauss
Formules de Gauss-Legendre
Formule de Gauss-Legendre
On veut approcher
Z
1
I (f ) =
f (x) dx
−1
Par la formule de quadrature suivante
In (f ) =
n
X
wi f (xi )
i=0
La formule de Gauss-Legendre indique de prendre pour xi la ième racine
(classée dans l’ordre croissant) du polynôme de Legendre Pn+1
(Pn+1 (xi ) = 0) et pour wi
wi =
2
0
(1 − xi2 )(Pn+1
(xi ))2
Cette formule est de degré de précision 2n + 1.
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Formules de Gauss
Formules de Gauss-Legendre
Formule de Gauss-Legendre dans le cas général
On veut maintenant approcher
Z
b
I (f ) =
f (t) dt
a
Pour pouvoir utiliser les formules précédentes, il faut tout d’abord effectuer
le changement de variable suivant
Z
Z b
b−a
a+b
b−a 1
f
x+
dx
I (f ) =
f (t) dt =
2
2
2
−1
a
et on peut utiliser la formule de Gauss-Legendre, on a
Z
a
b
n
b−a X
wi f
f (t) dt ≈
2
i=0
b−a
a+b
xi +
2
2
avec les xi et wi établis précédemment.
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