Physique Numérique

Physique Numérique
Badis Ydri
Departement de Physique, Faculté des Sciences, Université d’Annaba,
Annaba, Algerie.

2physique numérique, ydri et al.

Contents
Introduction et Références 3
Partie I 7
1 Algorithme d’Euler- Résistance d’Air et Projectiles 7
1.1 Algorithme d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Désintégration Radioactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 La Résistance de l’Air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 CodedeFortran............................. 12
1.5 Mouvement d’un Projectile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Algorithmes d’Euler-Cromer et de Verlet-Oscillateur Harmonique 17
2.1 PenduleSimple ............................. 17
2.2 Algorithme d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Algoritme d’Euler-Cromer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Algorithme de Verlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Intégration Numérique 21
3.1 Approximation Rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Méthode des Trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Approximation Parabolique oú la Régle de Simpson . . . . . . . . . 23
3.4 Erreurs.................................. 25
4 Algorithmes de Newton-Raphson et Interpolation 27
4.1 Méthode de Dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Algorithme de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 MéthodeHybride............................ 29
4.4 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5 Interpolation Spline Cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.6 Méthode des Moindres Carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4physique numérique, ydri et al.
5 Travaux Pratiques 35
5.1 Algorithme d’Euler- Resistance d’Air . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Mouvement des Projectiles Sous l’Effet de la Résistance de l’Air . . 36
5.3 Oscillateur Harmonique-Algorithmes d’Euler-Cromer et de Verlet . 37
5.4 Intégration Numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.5 Algorithmes de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Partie II 45
6 Le Systéme Solaire-Les Méthodes de Runge-Kutta 45
6.1 Le Systéme Solaire: Le Probléme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2 Algorithmes de Euler et de Euler-Cromer . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.3 L’algorithme de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3.1 LaMéthode........................... 47
6.3.2 Example 1: L’Oscillateur Harmonique . . . . . . . . . . . . 49
6.3.3 Example 2: Le Systéme Solaire . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.4 Les lois de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.5 Loi de l’Inverse Carré et Stabilité des Orbites . . . . . . . . . . . . 53
6.6 Unités Astronomiques et Conditions Initiales . . . . . . . . . . . . . 54
6.7 Précession du Périhélie de Mercure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7 Le Chaos: Pendule Chaotique 57
7.1 Equation du Mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 Algorithmes Numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.3 Chaos .................................. 61
7.3.1 Effet Papillon:Sensibilité aux Conditions Initiales . . . . . . 61
7.3.2 Section de Poincaré et Attractors . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3.3 Bifurcations: Doublement de Période . . . . . . . . . . . . . 63
7.3.4 Rapport de Feigenbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.3.5 Brisure Spontanée de Symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8 Dynamique Moléculaire 67
8.1 Introduction............................... 67
8.2 Le Potentiel de Lennard-Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.3 Unités, Conditions aux Limites et Algorithme de Verlet . . . . . . . 69
8.4 Applications Physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.4.1 GazDilué ............................ 72
8.4.2 La Transition de Fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

physique numérique, ydri et al. 5
9 Travaux Pratiques 75
9.1 Algorithme de Runge-Kutta - Le Systéme Solaire . . . . . . . . . . 76
9.2 La Précession du Périhélie de Mercure . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.3 Le Pendule Chaotique et l’Effet Papillon . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.4 Sections de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.5 Chaos par Doublement de Période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.6 Diagrammes de Bifurcation et Brisure Spontanée de la Symétrie . . 86
9.7 Dynamique Moléculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Partie III 93
10 Nombres (Pseudo) Aléatoires et Marche Au Hasard 93
10.1 Nombres Aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10.1.1 Générateur Congruentiel Linéaire . . . . . . . . . . . . . . . 93
10.1.2 Tests Statistiques des Nombres Aléatoires . . . . . . . . . . 94
10.2 Systémes Aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10.2.1 Marches Aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.2.2 Équation de Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.3 Les générateurs des Nombres Aléatoires RAN 0,1,2.........101
11 Intégration Monte Carlo 105
11.1 Intégration Numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.1.1 Approximation Rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.1.2 Approximation du Point Médian et Intégrales Multidimen-
sionnelles ............................106
11.1.3 Les Sphéres et les Boules dans dDimensions . . . . . . . . . 108
11.2 Intégration de Monte Carlo: Échantillonnage Simple . . . . . . . . . 109
11.2.1 La Méthode de Rjet: "Hit or Miss" . . . . . . . . . . . . . . 110
11.2.2 La Méthode de l’Échantillon Moyen . . . . . . . . . . . . . . 110
11.2.3 Echantillon Moyen dans les Dimensions Supérieures . . . . . 110
11.3 Le Théorème Central Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
11.4 Erreurs de Monte Carlo et Déviation Standard . . . . . . . . . . . 113
11.5 Distributions de Probabilités Non Uniformes . . . . . . . . . . . . . 116
11.5.1 La Méthode de Transformation Inverse . . . . . . . . . . . . 116
11.5.2 La Méthode de Rejet de Von Neumann . . . . . . . . . . . . 118
12 Échantillonnage d’ Importance, Algorithme de Metropolis et Mod-
éle d’Ising 119
12.1 L’Ensemble Canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
12.2 Échantillonnage d’ Importance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120