Un truc pour multiplier (Algèbre niveau 2)

Pourquoi ça marche?
Voici un truc pour trouver le produit de deux nombres lorsqu’on ne connaît pas
parfaitement les tables de multiplication.
Par exemple, prenons le produit de 6 par 8 (6 x 8) et plaçons sous chaque nombre son
complément.
Ce qui donne :
6
4
x
8
2
Maintenant, si on effectue la soustraction de un des deux nombres initiaux (6 ou 8) par le
complément de l’autre, nous obtenons toujours la même valeur (dans ce cas-ci cette valeur
est 4). (Puisque 6 - 2 =4 et 8 - 4 = 4)
Cette valeur devra toujours être multipliée par 10, ce qui nous donnera 40 dans ce cas ci.
À cette valeur il faudra ajouter le produit des deux compléments (4 x 2) et nous aurons le
résultat du produit initial, qui est 48 (car 4x10 + 4x2 = 48)
Ok?
Maintenant, faisons-en un autre pour voir!
Prenons 5 x 7
Ce qui nous donne :
5
5
x
7
3
Dans les deux cas la soustraction donne 2 (7 - 5 = 2 et 5 - 3 = 2), ce qui nous donnera
20. Ah! Ah! (c’est mal parti pour avoir 35!
Continuons quand même!
Si nous multiplions les 2 compléments nous obtenons….. 15!
Et 20 +15 = 35!!!
Question 1
À l’aide de l’algèbre, pouvez-vous expliquer l’algorithme?
Question 2
Est-ce que l’algorithme fonctionne pour les produits supérieurs à 100?
Question 3
Quelles sont les contraintes à respecter pour que l’algorithme fonctionne?
Solutionnaire
Question 1
À l’aide de l’algèbre, pouvez-vous expliquer l’algorithme?
Soit x et y les deux nombres
L’algorithme nous donne :
x
(10 –x)
y
(10 – y)
x - ( 10 – y) = y – (10 – x)
Donc 10 [ x – (10 – y)] + [ (10 – x) ( 10 – y)] = xy
10 [ x – 10 + y] + [ 100 - 10y - 10x + xy ] = xy
10x - 100 + 10y + 100 - 10y - 10x + xy = xy
En simplifiant les termes semblables, nous avons :
xy = xy
Question 2
Est-ce que l’algorithme fonctionne pour les produits supérieurs à 100?
Oui, à condition que les deux nombres présentent des compléments d’un même ordre de
grandeur et de l’adapter en conséquence.
Par exemple pour des produits entre 100 et 999 inclusivement :
x
(100 –x)
y
(100 – y)
x - ( 100 – y) = y – (100 – x)
Donc 100 [ x – (100 – y)] + [ (100 – x) ( 100 – y)] = xy
100 [ x – 100 + y] + [ 10000 - 100y - 100x + xy ] = xy
100x - 10000 + 100y + 10000 - 100y - 100x + xy = xy
Question 3
Quelles sont les contraintes à respecter pour que l’algorithme fonctionne?
Que les deux nombres aient des compléments présentant le même ordre de grandeur.
Pistes pour l’enseignant

Faire réaliser à l’élève l’utilité de l’algèbre pour valider des algorithmes, des lois
et des théorèmes.