REFLEXION ET TRANSMISSION

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REFLEXION ET TRANSMISSION
PLAN DU SUJET
I.
•
Réflexion et transmission en optique et en mécanique quantique
•
Exemples : sauts d’indice et de potentiel
•
Ondes évanescentes et réflexion totale
OPTIQUE ONDULATOIRE
Avant d’étudier en détail la réflexion et la transmission dans le cas de la physique quantique, nous allons revoir
les principes fondamentaux de l’optique ondulatoire. Dans le cas général, une onde monochromatique plane peut
s’écrire Ψ (r , t ) = ψ (r ) ⋅ exp(−iωt ) avec ψ (r ) = A ⋅ exp(i (k ⋅ r + ϕ )) et doit absolument vérifier l’équation de
propagation des ondes ∆Ψ =
1
v2
⋅
∂2Ψ
∂t 2
. Ces formules ayant été développées lors des cours suivis pendant les
années de Deug, nous les considèrerons comme étant acquises.
I.1
LOIS DE SNELL-DESCARTES
Supposons maintenant qu’une onde monochromatique plane tombe sur un dioptre plan séparant deux milieux
v
diélectriques d’indices n1 et n2. Dans ce cas, l’onde E m1 ⋅ exp(−i (ωt − k1 ⋅ r )) est la somme de deux ondes, l’une
v
v'
transmise E m 2 ⋅ exp( −i (ωt − k 2 ⋅ r )) et l’autre réfléchie E m1 ⋅ exp(−i (ωt − k1' ⋅ r )) .
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La relation concernant les trois amplitudes se vérifie quelque soit t et quelque soit r :
k1.r = k1’.r = k2.r
k1’ – k1 = b1 N
et
k2 – k1 = b2 N
b1 et b2 ∈ R
avec N = normale au dioptre
Or, les vecteurs ki peuvent être décomposés comme k0niui et on obtient les lois de Snell-Descartes sous forme
vectorielle :
n1 (u1’ – u1) = a1N
et
n2u2 – n1u1 = a2N
Remarque : On retrouve l’optique géométrique en projetant ces relations sur le plan du dioptre ie i1’ = -i1 et
n1sin(i1) = n2sin(i2).
I.2
RELATIONS ENTRE AMPLITUDES ET INTENSITES DES ONDES INCIDENTE, REFLECHIE ET TRANSMISE
Si nous nous plaçons dans le cas d’une incidence normale, on a :
i1 = 0
k1’ = -k1
angles réfléchi et réfracté nuls
k1 et k2 de même sens
On peut représenter les champs magnétique et électrique (Cf. Maxwell – cours Deug).
Figure 20.4
Donc
Em1 + E’m1 = Em2 et
Soit
E m1 E ' m1 E m 2
−
=
v1
v1
v2
Bm1 – B’m1 = Bm2
car k x E = ω B ; v1 et v2 = célérité de la lumière dans les deux milieux
On peut désormais exprimer les facteurs de réflexion et de transmission en amplitude :
r≡
E 'm1 n1 − n2
=
Em1 n1 + n2
t≡
et
Em2
2n1
=
Em1 n1 + n2
L’intensité étant définie comme I = n |E|2, on peut en déduire les facteurs de transmission en intensité :
R≡
n1 E 'm1
n1 Em1
Remarques :
2
n −n
= r =  1 2
 n1 + n2
2
2



2
et
T≡
n2 E m 2
n1 Em1
2
2
=
n2 2
4n1n2
t =
n1
(n1 + n2 )2
•
t toujours positif
•
r positif si n 1>n2 et négatif pour le contraire (ie déphasage de π de l’onde réfléchie par
rapport à l’onde incidente)
•
Dans le cas général, r et t sont complexes sauf si les milieux é tudiés sont parfaits
•
R+T=1 mais r²+t²≠1 si pas d’absorption
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II.
PHYSIQUE QUANTIQUE
Etude qualitative d'un potentiel carré
Après cette étude succincte de l’optique ondulatoire, intéressons-nous au cas quantique. Dans ce paragraphe,
nous considèrerons des potentiels dits "carrés" et à une seule dimension. Pour simplifier le problème, on
supposera que l'énergie potentielle ne dépendant que de la coordonnée x. Après quelques rappels, on étudiera
plus en détail des cas concrets.
II.1
SIGNIFICATION PHYSIQUE
Un potentiel carré peut être décomposé en plusieurs régions où il sera constant. En réalité, le saut brusque de
potentiel entre chaque région (discontinuité) est très inférieur aux dimensions du système. Cette continuité
représentée sur la figure b assure à la fonction une réalité physique. Mais, pour une particule de faible énergie ie
de longueur d'onde associée courte, le potentiel peut être considéré comme étant carré (figure a).
Pour transposer le problème à la mécanique classique, considérons simplement que V(x) n'est autre que l'énergie
potentielle de pesanteur. La figure b représente le profil réel du terrain où se déplacerait la particule. Si on fixe
une énergie totale E de la particule alors, les domaines dans lesquels V > E sont interdits par la théorie classique
(Ec = E - V toujours positive)
Remarque : La force F(x) = - V(x)' s'exerçant sur la particule entraîne une vitesse constante dans les différentes
régions. A la frontière entre deux zones, la particule est en revanche accélérée ou ralentie par cette force.
II.2
ANALOGIE AVEC L'OPTIQUE
Pour comparer ces deux 'théories', nous nous intéressons aux états stationnaires d'une particule dans un potentiel
carré à une dimension. L'équation aux valeurs propres dans un tel cas s'écrit :
 h2 d 2

−
ϕ ( x) = Eϕ ( x)
V
+
 2m dx 2



soit
 d 2 2m

 2 + 2 ( E − V )ϕ ( x) = 0
 dx

h
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En optique, on peut obtenir une équation semblable en se plaçant dans un milieu transparent dont l'indice n ne
dépend ni du temps ni de la position spatiale. Ce milieu peut être le siège d'ondes électromagnétiques dont le
champ électrique E(r,t) est indépendant de y et de z, et de la forme :
E(r,t) = e E(x) exp(-i Ω t)
avec e = vecteur unitaire perpendiculaire à l'axe des x
E(x) vérifie l'équation
 d 2 n2Ω2 
 2 +
 E ( x) = 0
c ² 
 dx
Cette équation est analogue à celle des états stationnaires si on pose :
2m
h²
(E − V ) =
n²Ω ²
c²
On remarquera que les conditions aux limites sont identiques : ϕ(x) et E(x) et leurs dérivées partielles au premier
ordre doivent être continues en tout point.
Grâce à cette analogie, on peut faire correspondre à un problème de physique quantique un problème d'optique.
La propagation d'une onde électromagnétique de pulsation Ω dans un milieu dont l'indice n subit des
discontinuités du même type. On en déduit les paramètres optiques et mécaniques :
n(Ω) =
1
hΩ
2mc ²( E − V )
Si E > V : l'onde lumineuse avec un milieu transparent d'indice réel est de la forme exp(ikx).
Si E < V : l'indice est imaginaire pur, n² est alors négatif et la solution s'écrit exp(-ρ x). On peut ainsi faire une
analogie avec une onde évanescente.
Les résultats de l'optique ondulatoire sont transposables à la physique quantique. Mais attention, ceci n'est qu'une
analogie car les deux fonctions d'onde décrivent deux phénomènes physiques différents.
II.3
EXEMPLE - MARCHE ET BARRIERE DE POTENTIEL
Soit une particule d'énergie E, provenant des x négatifs et arrivant sur une marche de potentiel (hauteur V0)
Si E > V0 : la particule classique franchit le saut de potentiel et continue vers la droite avec une vitesse plus
faible.
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L'analogie optique propose qu'une onde lumineuse se propage de gauche à droite dans un milieu d'indice n1 tel
que
n1 =
c
hΩ
2mE
En x1, elle tombe sur un dioptre plan. L'indice pour x > x1 devient
n2 =
c
hΩ
2m( E − V0 )
Depuis le Deug, nous savons qu'une onde arrivant sur une barrière de potentiel se décompose en deux ondes :
une réfléchie et l'autre transmise. Etablissons l'analogie avec la physique quantique.
La particule aura une certaine probabilité P d'être réfléchie et 1-P de poursuivre vers la droite. Cette remarque
était interdite par la mécanique classique.
Si E < V0 : l'indice n2 de la région II est imaginaire pur, l'onde lumineuse incidente est totalement réfléchie. Il y a
accord entre physique classique et quantique. Mais, l'onde évanescente indique que la particule quantique a une
probabilité de présence non nulle dans cette région.
L'onde évanescente est mise en valeur dans le cas d'une barrière de potentiel. Pour une énergie supérieure à la
hauteur de la marche, une particule classique rebrousserait toujours chemin. Toutefois, en optique, la lame serait
d'épaisseur finie, d'indice imaginaire et plongée dans un milieu transparent. Si l'épaisseur est voisine de la porté
1/ ρ de l'onde évanescente alors une partie de l'onde évanescente est transmise dans la troisième région. La
probabilité pour que la particule franchisse la barrière est non nulle même si E < V 0. L'effet tunnel est ainsi
définit.
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II.4
PUITS DE POTENTIEL
Un puits de potentiel peut être modélisé par la figure suivante :
Pour la physique classique, quand la particule a une énergie E négative et supérieure à -V0, elle oscille dans la
région II avec une énergie cinétique telle que Ec = E + V0. Quand l'énergie de la particule est positive et que cette
dernière provient de la droite, elle subit une brusque accélération puis une décélération et continue vers la droite.
En optique, dans le cas où l'énergie est comprise entre 0 et -V0, les indices n des régions I et III sont imaginaires
alors que l'indice du milieu II est un réel. On a l'équivalence d'une lame d'air entre deux milieux réfléchissant par
exemple. Les ondes réfléchies en a et b se détruisent par interférence, sauf pour les modes propres (fréquences
permettant l'établissement d'ondes stationnaires stables).
En physique quantique, les énergies négatives sont quantifiées contrairement à la théorie classique qui permet
toutes les valeurs de E entre 0 et -V0.
Pour une énergie positive, les trois indices sont réels et tels que :
n1 = n3 =
n1 =
c
hΩ
c
hΩ
2mE
2 m ( E + V0 )
D'après ces deux équations, on peut dire que l'indice de la seconde région est supérieur à ceux des parties I et III.
Dans ce cas, on peut considérer une lame de verre dans l'air. Pour obtenir une onde réfléchie en I et transmise en
III, il faut superposer une infinité d’ondes qui proviennent de réflexions successives en x1 et x2 (interféromètre à
ondes multiples analogue à un Fabry-Pérot). Pour certaines fréquences incidentes, l’onde peut être entièrement
transmise. Pour la physique quantique, la particule a une certaine probabilité d’être réfléchie. Toutefois, pour des
valeurs particulières de l’énergie (énergie de résonance), la transmission est totale (ie égale à 1) et la probabilité
de réflexion égale à 0.
Par ces exemples, on a montré que les prédictions de la mécanique quantique peuvent différées de celles de la
physique classique, mais font apparaître le rôle primordial des discontinuités de potentiel (ie variations rapides).