Kit de survie à l`usage de l`agrégatif

Kit de survie à l’usage de l’agrégatif.
Deuxième édition
Par les agrégatifs de l’université de Nantes 2012-2013 et 2013-2014
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Sommaire
1 Guide du routard de la BU. 8
1.1 Les touche-à-tout ........................................ 8
1.2 En algèbre ............................................ 8
1.3 En analyse ........................................... 9
2 Développements durables. 10
2.1 Algèbre. ............................................. 12
2.1.1 Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré. ............. 12
2.1.2 Algorithme des facteurs invariants .......................... 12
2.1.3 Automorphismes du groupe symétrique Sn..................... 12
2.1.4 Composantes connexes de l’ensemble des formes quadratiques non dégénérées . . 13
2.1.5 Classification des groupes abéliens finis par les caractères ............. 13
2.1.6 Classification des groupe d’ordre 12. ......................... 14
2.1.7 Classification des groupes d’ordre 30. ......................... 14
2.1.8 Classification euclidienne des coniques propres. ................... 14
2.1.9 Comptage des racines par les formes quadratiques. ................. 15
2.1.10 Critère de simplicité par les caractères. ........................ 15
2.1.11 Décomposition de Dunford. .............................. 15
2.1.12 Décomposition polaire. ................................. 16
2.1.13 Dénombrement des polynômes irréductibles sur Fq.................. 16
2.1.14 Densité des matrices diagonalisables. ......................... 17
2.1.15 Déterminant d’une matrice de Gram. ......................... 17
2.1.16 Déterminant de Cauchy. ................................ 18
2.1.17 Diagonalisation des endomorphismes normaux d’un C-espace vectoriel. ...... 18
2.1.18 Différentielle du déterminant & application à une sous-variété : SLnpRq...... 18
2.1.19 Dual de MnpKq..................................... 19
2.1.20 Ellipse de Steiner. ................................... 19
2.1.21 Ellipsoïde de John-Loewner. .............................. 19
2.1.22 Études d’anneaux. ................................... 20
2.1.23 Exponentielle et diagonalisation. ........................... 20
2.1.24 Exponentielle & matrices symétriques ou hermitiennes. .............. 20
2.1.25 Générateurs de SLnpKqet GLnpKq........................... 21
2.1.26 Générateurs du groupe orthogonal. .......................... 21
2.1.27 Groupes d’ordre pq. .................................. 22
2.1.28 Groupes de frises. ................................... 22
2.1.29 Invariants de similitude. ................................ 22
2.1.30 Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q.................. 23
2.1.31 Isométries du cube. ................................... 23
2.1.32 K-automorphismes de K(X). ............................. 24
2.1.33 Lemme de Morse à plusieurs variables. ........................ 24
2.1.34 Matrices des isométries. ................................ 25
2.1.35 Méthode du gradient à pas optimal. ......................... 25
2.1.36 Nombres algébriques. .................................. 25
2.1.37 Nombre de matrices sur Fqde polynôme caractéristique donné. .......... 26
2.1.38 Nombres de Bell. .................................... 26
2

2.1.39 Nombres de Catalan. .................................. 27
2.1.40 Nombre de partitions d’un entier en parts fixées. .................. 27
2.1.41 Points extrémaux de la boule unité de LpEq..................... 27
2.1.42 Quaternions. ...................................... 28
2.1.43 Réduction des endomorphismes autoadjoints. .................... 28
2.1.44 Réduction des endomorphismes normaux d’un espace vectoriel euclidien. ..... 29
2.1.45 Résultant de deux polynômes et applications aux matrices diagonalisables. . . . 29
2.1.46 Similitude et extension de corps. ........................... 29
2.1.47 Simplicité de An..................................... 30
2.1.48 Simplicité de SO3pRq.................................. 30
2.1.49 Sous-groupes compacts de GLnpRq.......................... 30
2.1.50 Suite de polygones. ................................... 31
2.1.51 Surjectivité de l’exponentielle dans GLnpCqet applications. ............ 31
2.1.52 Table de caractères de S4................................ 32
2.1.53 Table de caractères de A5................................ 32
2.1.54 Théorème de Brauer. .................................. 32
2.1.55 Théorème de Burnside. ................................ 33
2.1.56 Théorème de Cayley-Hamilton. ............................ 33
2.1.57 Théorème de Frobenius. ................................ 34
2.1.58 Théorème de Frobenius Zolotarev. .......................... 34
2.1.59 Théorème de Hahn Banach géométrique en dimension finie. ............ 34
2.1.60 Théorème de Kronecker. ................................ 35
2.1.61 Théorème de Molien. .................................. 35
2.1.62 Théorème de Morley. .................................. 35
2.1.63 Théorème des deux carrés. ............................... 36
2.1.64 Théorème des extremums liés. ............................. 36
2.1.65 Théorème de Sophie Germain. ............................ 37
2.1.66 Théorème de Wedderburn. .............................. 37
2.1.67 Théorème faible de la progression arithmétique de Dirichlet. ............ 37
2.2 Analyse ............................................. 39
2.2.1 Billard elliptique. .................................... 39
2.2.2 Caractérisation de la fonction Gamma. ........................ 39
2.2.3 Composantes connexes de l’ensemble des formes quadratiques non dégénérées. . . 39
2.2.4 Convergence commutative et convergence absolue. ................. 40
2.2.5 Convergence commutative et théorème de Riemann ................. 40
2.2.6 Convergence uniforme des fonctions convexes. .................... 41
2.2.7 Critère de Weyl. .................................... 41
2.2.8 Densité des fonctions continues sur r0,1snul part dérivables dans l’ensemble des
fonctions continues sur r0,1s.............................. 41
2.2.9 Deux méthodes de calcul de la gaussienne. ...................... 42
2.2.10 Dimension d’un sous-espace vectoriel fermé de l’espace vectoriel des fonctions
continues. ........................................ 42
2.2.11 Différentielle du déterminant & application à une sous-variété : SLnpRq...... 42
2.2.12 Échantillonnage de Shannon. ............................. 43
2.2.13 Ellipsoïde de John-Loewner. .............................. 43
2.2.14 Équation de Hill Mathieu. ............................... 44
2.2.15 Espace de Bergman. .................................. 44
3

2.2.16 Études d’équations différentielles. ........................... 44
2.2.17 Exemple d’un ensemble connexe qui n’est pas connexe par arcs. .......... 45
2.2.18 Exemple d’un (autre) ensemble connexe qui n’est pas connexe par arcs. ..... 45
2.2.19 Fonction de Lebesgue. ................................. 45
2.2.20 Formule des compléments. ............................... 46
2.2.21 Formule d’Euler Maclaurin. .............................. 46
2.2.22 Formule d’inversion de Fourier dans L1........................ 47
2.2.23 Formule sommatoire de Poisson et inversion de Fourier dans Schwartz. ...... 47
2.2.24 Inégalité de Carleman. ................................. 48
2.2.25 Inégalité de Hoeffding. ................................. 48
2.2.26 Inégalité de Le Cam. .................................. 48
2.2.27 Inégalité isopérimétrique. ............................... 49
2.2.28 Lemme de Morse à plusieurs variables. ........................ 49
2.2.29 Loi des extrêmes. .................................... 49
2.2.30 Marche aléatoire sur Z................................. 50
2.2.31 Méthode de Laplace. .................................. 50
2.2.32 Méthode de Newton. .................................. 51
2.2.33 Méthode du gradient à pas optimal. ......................... 51
2.2.34 Nombres de Bell. .................................... 52
2.2.35 Nombres de Catalan. .................................. 52
2.2.36 Nombre de partitions d’un entier en parts fixées. .................. 52
2.2.37 Nombres Normaux. ................................... 52
2.2.38 Points de continuité d’une limite simple de fonctions continues .......... 53
2.2.39 Primitives de distributions. .............................. 53
2.2.40 Processus de Galton-Watson. ............................. 53
2.2.41 Projection sur un convexe fermé et théorème de représentation de Riesz. ..... 54
2.2.42 Prolongement méromorphe de la fonction Γ...................... 54
2.2.43 Prolongement méromorphe de la fonction ζ...................... 55
2.2.44 Simplicité de SO(3) par la connexité. ......................... 55
2.2.45 Sous-groupes compacts de GLnpRq.......................... 55
2.2.46 Théorème central limite. ................................ 56
2.2.47 Théorèmes d’Abel angulaire et taubérien faible. ................... 56
2.2.48 Théorème de Banach-Steinhaus et séries de Fourier. ................ 56
2.2.49 Théorème de Borel. .................................. 57
2.2.50 Théorème de Cauchy-Lipschitz. ............................ 57
2.2.51 Théorème de convergence de Fejèr. .......................... 58
2.2.52 Théorème de D’Alembert Gauss. ........................... 58
2.2.53 Théorème de Goursat ................................. 59
2.2.54 Théorème d’inversion locale. ............................. 59
2.2.55 Théorème de l’application ouverte. .......................... 59
2.2.56 Théorème de Liapounov. ................................ 60
2.2.57 Théorème de Riesz Fischer. .............................. 60
2.2.58 Théorème de Sharkovsky. ............................... 60
2.2.59 Théorème de sélection de Helly. ............................ 61
2.2.60 Théorème des extremums liés. ............................. 61
2.2.61 Théorème des quatre sommets. ............................ 62
2.2.62 Théorème de Stampacchia. .............................. 62
4

2.2.63 Théorème de Stone. .................................. 62
2.2.64 Théorème de Tietze. .................................. 63
2.2.65 Théorème de Weierstrass par convolution. ...................... 63
2.2.66 Théorème de Weierstrass par les polynômes de Bernstein. ............. 63
2.2.67 Une équation fonctionnelle : f1ptq “ f`1
t˘....................... 64
3 Trucs et astuces. 65
3.1 Ellipse de Steiner. ....................................... 65
3.2 Études d’anneaux. ....................................... 65
3.3 Exemple d’un ensemble connexe qui n’est pas connexe par arcs. .............. 66
3.4 Inégalité de Le Cam. ...................................... 66
3.5 Formule sommatoire de Poisson et inversion de Fourier dans Schwartz sauce Nicoleau. . 66
3.6 Suite de polygones. ....................................... 67
3.7 Théorème de d’Alembert Gauss. ............................... 68
3.8 Théorème des deux carrés et l’isomorphisme de M. Gervais. ................ 68
3.9 Théorème de Frobenius Zolotarev et les astuces de M. Gervais. .............. 68
3.10 Théorème de Kronecker. .................................... 69
4 Travaux pratiques. 70
4.1 Temps de préparation. ..................................... 70
4.2 Les malles. ........................................... 70
4.3 Feuilles d’écriture. ....................................... 70
4.4 Aménagements pour les non-marchants. ........................... 71
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