Thermodynamique de l`atmosphère - Laboratoire de Météorologie

ermodynamique de l’atmosphère
1 Introduction
Notion de parcelle d’air
L’ a t mosph èr e es t compos é e d ’ un ensemb l e de mo lé cu l es . Pou r l a desc ri p ti on de l a
p l upa rt des ph é nom è nes ét ud ié s , l e su ivi des compo rt emen t s i nd ivi due l s des mo lé cu l es
est impossible, et on s’intéressera aux effets de comportement d’ensemble ou moyen.
O n d éfi n it pou r ce l a des pa r ce ll es d ’ a ir. Ces pa r ce ll es au r on t une d i mens i on su ffi-
samen t g r ande pou r con t en ir un g r and nomb r e de mo lé cu l es e t pou v o ir mo y enne r
leur comportement. La dimension sera en revanche petite par rapport au phénomène
cons i d éré, on pou rr a donc cons i d ér e r que l es v a ri ab l es mac r oscop i ques d ’i n térêt (t em -
p ér a t u r e , vit esse …) son t quas i men t cons t an t es à l’é che ll e de l a pa r ce ll e . L a t a ill e des
parcelles peut aller de quelques cm à 100 km suivant les applications.
L es é changes mo lé cu l a ir es a v ec l’ e xtéri eu r d ’ une pa r ce ll e son t en g é n ér a l trè s f a i b l es ;
on pou rr a donc su ivr e une pa r ce ll e qu i conse rv e r a ce rt a i nes p r op riété s . En pa rti cu li e r, l a
température et la masse volumique d’une parcelle peuvent être différentes de celles de
l’ a ir en vir onnan t ( pas d ’é qu ili b r e t he r m i que ). Pa r con tr e , l a p r ess i on à l’i n téri eu r d ’ une
parcelle s’ajuste très rapidement à celle de l’environnement (équilibre dynamique).
L es li m it es d ’ une pa r ce ll e son t a r b itr a ir es , ma i s ne co rr esponden t en g é n ér a l pas à
des barrières physiques. O n cherchera donc en général à ne pas exprimer de lois sous
des formes qui dépendraient des dimensions de la parcelle. Une façon d’y parvenir est
d’utiliser des grandeurs volumiques ou massiques.
2 Gaz parfaits
O n appe ll e gaz pa rf a it un gaz su ffi samen t d il u é pou r que l es i n t e r ac ti ons en tr e l es
mo lé cu l es du gaz so i en t n é g li geab l es . L a r e l a ti on en tr e p r ess i on , v o l ume e t t emp ér a t u r e
d’un gaz parfait s’écrit : ∗
o ù es t l e nomb r e de mo l es du gaz e t
∗
􀍸􀍮􀍸􀍮 l a cons t an t e un iv e r se ll e
des gaz parfaits 1.
1 . O n u tili se r a dans ce chap itr e l a no t a ti on
∗
pou r t ou t es l es g r andeu r s mo l a ir es , e t pou r l es
grandeurs massiques
1

L’ a t mosph èr e es t un m él ange homog è ne ( su r l es p r em i e r s 100 ) de d iffér en t s gaz .
Pour un certain volume à la température , on peut écrire pour chaque gaz :
􀐕􀐕∗
a v ec
􀐕
l a p r ess i on pa rti e ll e du gaz e t
􀐕
son nomb r e de mo l es . En f a i san t l a somme su r
tous les gaz, on obtient 􀐕∗
(on a utilisé la loi de Dalton 􀐕).
Par ailleurs, la masse totale contenue dans ce volume peut s’écrire 􀐕􀐕où 􀐕
est la masse molaire du gaz . En divisant l’équation précédente par , on obtient :
􀐕 􀐕􀐕∗
O n pose
􀏃􀐚􀔍􀏿􀔍
􀏃􀐚􀔍
l a masse mo l a ir e de l’ a ir, e t
∗
 ( cons t an t e de l’ a ir sec ,
􀍸􀍮􀍸􀍮). On a alors l’équation des gaz parfaits pour l’atmosphère :
 (1)
3 Équilibre hydrostatique
3.1 Bilan des forces
O n appe ll e é qu ili b r e h y d r os t a ti que l’é qu ili b r e des f o r ces s ’ e x e rç an t su r une pa r ce ll e
su r l a v e rti ca l e . O n cons i d èr e une pa r ce ll e d ’ a ir à une a ltit ude , d ’é pa i sseu r e t de
section . Les forces s’exerçant sur la parcelle sont :
– Son poids 
– Les forces de pression   􀏣􀐜
􀏣􀐦 
– Les forces de viscosité sont négligeables.
A p rè s d ivi s i on pa r l a masse de l a pa r ce ll e , l’é qua ti on du mou v emen t s ’é c rit :
􀍯
􀍯   (2)
A u repos, l’accélération est nulle et on obtient alors la relation de l’équilibre hydrosta-
tique :
  (3)
Ce t é qu ili b r e es t trè s b i en vérifié au x é che ll es d ’i n térêt en m été o r o l og i e . I n t e r p rét a ti on :
l a d iffér ence de p r ess i on en tr e deu x n iv eau x v e rti cau x es t p r opo rti onne ll e à l a masse d ’ a ir
(par unité de surface) entre ces niveaux.
2

3.2 Atmosphère isotherme
En utilisant l’équation (1), l’équilibre hydrostatique (3) s’écrit
 (4)
O n peu t i n té g r e r ce e é qua ti on s i on conna ît  en f onc ti on de ou . O n peu t a l o r s
séparer les variables :
Dans le cas simple où la température est constante – ou varie peu –, on obtient
􀍭􀍸􀐓􀐦/􀐄􀐆
O ù
􀍭
es t l a p r ess i on à. L a quan tité    es t homog è ne à une l ongueu r
appelée hauteur d’échelle. Elle vaut environ 7 km dans la troposphère.
3.3 Atmosphère à gradient constant
Pou r d ét e r m i ne r l es v a ri a ti ons v e rti ca l es de p r ess i on de man ièr e un peu p l us p ré c i se ,
on peut faire l’hypothèse d’un gradient vertical de constant :
􀍭
L’équation (4) s’écrit alors : 
􀍭
En intégrant entre le niveau de la mer (,􀍭) et (,), on obtient :
􀍭
􀍭 􀍭
􀍭 
􀍭􀍸􀔋
􀓼􀔻 􀍭
􀍭􀍸􀔋
􀓼􀔻
(5)
O n peu t vérifi e r que ce e v a l eu r de se ré du it à ce ll e de l’ a t mosph èr e i so t he r me quand
tend vers 0.
L’é qua ti on (5) s ’ app li que pa r e x emp l e dans l e cad r e de l’ a t mosph èr e s t anda r d , d éfi n it
pa r
􀍭
  ,
􀍭
, e t  􀍸􀍮 j usqu ’à 11 km , pu i s .
Ce e ap r o xi ma ti on es t u tili s é e dans l es a lti m ètr es des a vi ons de li gne , pou r con v e rtir 
mesu ré e en . A p l us basse a ltit ude , on u tili se p l u tôt une v a l eu r de
􀍭
v a ri ab l e ( obse rvé e
ou calibrée), mais toujours la valeur standard de .
Une deu xiè me app li ca ti on es t l e ca l cu l de l a p r ess i on r appo rté e au n iv eau de l a me r
(). O n u tili se l a p r ess i on e t l a t emp ér a t u r e mesu ré es à une s t a ti on ( en g é n ér a l
située à ) et une valeur de mesurée ou standard.
3

3.4 Équation hypsométrique
D ans l e cas g é n ér a l, on conna it p l u tôt  en f onc ti on de , l es deu x v a l eu r s pou v an t
êtr e mesu ré es s i mu lt an é men t. En i n té g r an t l’é qua ti on (4) en tr e deu x n iv eau x e t, on
obtient alors : 􀐎
􀐍􀐎 􀐍
L es v a ri a ti ons de a v ec son t trè s f a i b l es . On d éfi n it l a t emp ér a t u r e mo y enne en tr e
et :
􀐎
􀐍
􀐎
􀐍
On a alors 􀐎
􀐍􀐎 􀐍
soit : 􀐍􀐎􀐎
􀐍(6)
Ce e r e l a ti on es t appe lé e é qua ti on h y psom étri que ( du g r ec « h y pso » pou r « hau t eu r »).
4 Premier principe
4.1 Énergie interne
Un s y s tè me t he r mod y nam i que poss è de , en p l us de son é ne r g i e d ’ ensemb l e ( c i n éti que ,
po t en ti e ll e ), une é ne r g i e i n t e r ne . L e p r em i e r p ri nc i pe de l a t he r mod y nam i que é nonce
que l es v a ri a ti ons d ’é ne r g i e i n t e r ne son t é ga l es à l a somme du tr a v a il e t de l a cha l eu r
reçus : 
D ans l e cas d ’ un gaz pa rf a it, l’é ne r g i e po t en ti e ll e d ’i n t e r ac ti on des mo lé cu l es du gaz
es t n é g li geab l e , e t l’é ne r g i e i n t e r ne es t é ga l e à l’é ne r g i e c i n éti que des mo lé cu l es , qu i
dépend seulement de la température. On peut montrer que
 ∗
o ù es t l e nomb r e de deg ré s de li be rté des mo lé cu l es . Pou r un gaz ( p ri nc i pa l emen t)
diatomique comme l’air, (3 degrés de translation et 2 de rotation). D ans le cas de
v a ri a ti ons quas i- s t a ti ques d ’ un gaz , l e tr a v a il s ’é c rit  , o ù es t l a p r ess i on
du gaz.
4

O n d éfi n it l acha l eu r mo l a ir e à v o l ume cons t an t
∗
􀔀
comme l a quan tité de cha l eu r
à appo rt e r pou r chau ff e r l e gaz au cou r s d ’ une tr ans f o r ma ti on à v o l ume cons t an t
(isochore) :
∗
􀔀
􀐈
D ’ au tr e pa rt, pou r une tr ans f o r ma ti on i socho r e donc e t en r emp l a ç an t
∗
􀔀
( ne d é pend que de dans t ous l es cas ). O n en d é du it que pou r une tr ans f o r ma ti on
quelconque
∗
􀔀 et ∗ 􀔀∗
4.2 Enthalpie
Pou r l’ét ude de l’ a t mosph èr e il es t p l us s i mp l e de s ’i n tér esse r à des tr ans f o r ma ti on à
pression plutôt qu’à volume constant. On utilise donc l’enthalpie . On a
Pou r une tr ans f o r ma ti on à p r ess i on cons t an t e (i soba r e ) on a  , a v ec donn é e
par la chaleur molaire à pression constante
∗
􀐜
􀐜
D’autre part, en utilisant ∗(relation des gaz parfaits), on obtient
∗
􀔀∗
pou r une tr ans f o r ma ti on que l conque . O n en d é du it que
∗
􀐜
a v ec l a r e l a ti on
de Mayer :
∗
􀐜∗ 􀔀∗∗
4.3 Transformations dans l’atmosphère
Les résultats précédents ont montré que
∗
􀐜
5