Les gaz parfaits quantiques

3)
Problème à basse température
Rappel de l’amphi 4
µ
¶
V
5
S(T )
= N ln
+
k
N λ3T
2
Physique statistique (PHY433)
λT = √
h
2πmkT
Amphi 5
L’entropie du gaz classique devient négative à basse température !
Les gaz parfaits quantiques
Gilles Montambaux
Mécanique quantique
On a un problème ! si
27 février 2017
1
2
Physique statistique
Le gaz parfait à plus basse température…
λT = √
h
2πmkT
Mécanique quantique
Monde macroscopique
Décrire le comportement macroscopique d’un grand nombre de constituants
microscopiques N~1023
?
a
λT
Et si ces constituants sont indiscernables?
Fermions
classique
quantique
kT ∗ ∼
h̄2
ma2
3
Bosons
rôle essentiel sur la thermodynamique
4
Atomes froids, condensation de Bose
Pourquoi y a-t-il des métaux, des isolants,
des semi-conducteurs ?
Suprafluidité, supraconductivité
Propriétés magnétiques :
Physique du rayonnement :
Exemple : la spintronique
rayonnement solaire, effet de serre
rayonnement cosmologique 3K
Physique stellaire :
naines blanches, étoiles à neutrons
lasers
5
Physique statistique
6
Capacité thermique d’un gaz diatomique
Pour un système isolé à l’équilibre,
tous les microétats accessibles sont équiprobables
vibration
Ensembles « canoniques »
Retrouver les lois de la thermodynamique classique
Comportement microscopique de systèmes connus (gaz parfait)
Systèmes simples :
Raréfaction atmosphère
Systèmes à deux niveaux
Élasticité entropique
Vibrations des solides
Adsorption
Capacité thermique des gaz
(gel des degrés de liberté)
Paramagnétisme
rotation
translation
?
~3K
~3000K
Problème classique, th. équipartition
Problème quantique, gel des degrés de liberté
Message :
Les gaz parfaits quantiques
Pour savoir si un problème est classique ou quantique,
il faut comparer
Thermodynamique d’un ensemble de
particules identiques indiscernables
kB T
à l’énergie caractéristique du problème.
Principe de Pauli
9
Le principe de Pauli
postulat de symétrisation
contraint la symétrie des états quantiques des particules indiscernables
cf. amphi 7, PHY430, Manuel Joffre
« Particules identiques en physique quantique »
10
* Le principe de Pauli * impose des conditions sur la nature des états quantiques
* conditionne la répartition des niveaux d’énergie
* et donc la thermodynamique
:
Bosons
fonction d’onde à N particules
particules de spin entier, photons…
symétrique par l’échange de deux particules
Fermions
particules de spin ½ entier, électrons, protons, neutrons…
antisymétrique par l’échange de deux particules
11
12
* Le principe de Pauli * impose des conditions sur la nature des états quantiques
* conditionne la répartition des niveaux d’énergie
Les gaz d’atomes légers sont « plus quantiques »
* et donc la thermodynamique
Un gaz d’électrons est « plus quantique » qu’un gaz d’atomes
* Quand ces effets quantiques deviennent-ils importants ?
Le caractère quantique augmente avec la densité
Lorsque la longueur thermique de de Broglie
entre particules :
est de l’ordre de la distance
T∗
Ordres de grandeur
ρ ∼ 1025 m−3
10−3 K
T > Tliq.' 90K
classique
liquide
ρ ∼ 1028 m−3
0.1K
T > Tsol.' 54K
classique
liquide
ρ ∼ 1028 m−3
1K
basse T
quantique
ρ ∼ 1029 m−3
104 K
O2 gaz
ou, ce qui est équivalent, si la température est de l’ordre de l’énergie cinétique typique
densité
e−
T ambiante
quantique
Les électrons libres d’un métal constituent un gaz de fermions « très quantique »
« Statistiques quantiques »
Quand et comment ces effets quantiques se manifestent-ils ?
Les Fermions ont tendance à s’éviter :
principe d’exclusion de Pauli
Les Bosons ont tendance à se condenser dans le même état
Comportement du gaz parfait à basse température ?
Fermi-Dirac
1926
?
1926
F
?
B
Bose-Einstein
15
1924
1925
Système à 2 niveaux, une particule
Energie moyenne
Importance de l’indiscernabilité
U (T) ?
1) Deux particules, deux niveaux
2) Deux particules, spectre quelconque
3) N particules
Fonction de partition canonique
17
Système à 2 niveaux, deux particules discernables
Energie moyenne
U (T) ?
La fonction de partition se factorise
Système à 2 niveaux, deux bosons indiscernables
Energie moyenne
U (T) ?
La fonction de partition ne se factorise plus
Fonction de partition canonique
20
Système à 2 niveaux, deux fermions indiscernables
Energie moyenne
U (T) ?
Système à 2 niveaux, deux particules (résumé)
(sans spin)
Energie moyenne
U (T) ?
Fermions
discernables
Bosons
La fonction de partition ne se factorise plus
21
Spectre quelconque, deux particules discernables
Energie moyenne
22
Spectre quelconque, deux fermions indiscernables
U (T) ?
Energie moyenne
U (T) ?
(sans spin)
Contrainte
La fonction de partition se factorise
La fonction de partition ne se factorise plus
23
24
ZF (β) ,
Spectre quelconque, deux bosons indiscernables
Energie moyenne
ZB (β)
U (T) ?
Contrainte
La fonction de partition ne se factorise plus
25
Thermodynamique de deux particules (résumé)
2 niveaux
26
Thermodynamique de deux particules
niveaux équirépartis
2 niveaux
Fermions
discernables
Fermions
Bosons
Bosons
niveaux équirépartis
Représentation d’un état à N particules identiques
: nombre de particules dans l’état
Importance de l’indiscernabilité
: états à 1 particule
c’est le « nombre d’occupation » de l’état
Un état à N particules est caractérisé par la donnée des nombres d’occupation
1) Deux particules, deux niveaux
2) Deux particules,
niveaux
3) N particules identiques
ZD (β) = z1 (β)N
ZI (β) =
ZD (β)
N!
?
NON
(oui, à la limite classique)
La séquence de ces nombres détermine l’état à N particules
Représentation d’un état à N particules identiques
30
Représentation d’un état à N particules identiques
Représentation d’un état à N particules identiques
Exemple : 3 bosons
Exemple : 3 fermions (sans spin)
état
état
particule
particule
dét. de Slater
32
Représentation d’un état à N particules identiques
: états à 1 particule
: nombre de particules dans l’état
c’est le « nombre d’occupation » de l’état
Un état à N particules est caractérisé par la donnée des nombres d’occupation
Bosons
Thermodynamique de N particules indiscernables
Fermions
Fermions
33
Thermodynamique de N particules indiscernables
34
Ensembles canoniques
Fermions
Microcanonique
Formalisme canonique ?
W (E, N )
Canonique
Contrainte :
Zc (β, N )
Découplage impossible
Energie libre
Formalisme grand-canonique
Grand canonique
Zg (β, α)
35
Grand potentiel
α = βμ =
μ
kT
α = βμ =
Bref retour sur les ensembles canoniques
Microcanonique : système isolé
μ
kT
α = βμ =
Bref retour sur les ensembles canoniques
μ
kT
Canonique : contact avec un thermostat
S
T
poids de Boltzmann
Tous les microétats accessibles sont équiprobables
S
Fonction de partition canonique
W (E, N )
Nombre de microétats (configurations) d’énergie E ( et de N fixé)
Zc (β, N ) =
X
e−βEm
m
Entropie
Énergie libre
Travailler dans l’ensemble microcanonique, c’est résoudre un problème
de combinatoire : combien y a-t-il d’états possibles d’énergie donnée
(et de nombre de particules donné) ?
37
α = βμ =
Bref retour sur les ensembles canoniques
Intérêts de la description canonique :
* On lève la contrainte sur l’énergie
* Pour un ensemble de sous-systèmes, la fonction de partition se factorise
μ
kT
Un peu plus sur le grand potentiel …
38
α = βμ =
μ
kT
À partir de la fonction de partition grand-canonique, on a introduit le grand potentiel
Grand canonique : contact avec un thermostat et un réservoir de particules
T, μ
poids de Boltzmann
On a montré que
S
cf. amphi 4, p.23-24
Fonction de partition grand canonique
Zg (β, α) =
X
et que
e−βEm +αNm
m,N
est extensif et ne dépend que d’une seule variable extensive, le volume
 ils sont proportionnels
Grand potentiel
cf. amphi 4, p.23
cf. amphi 4, p.16
Intérêts de la description grand canonique
* On lève la contrainte sur l’énergie et le nombre de particules
* Pour un ensemble de sous-systèmes, la fonction de partition se factorise
39
P V = −A = kT ln Zg
α = βμ =
Équivalence …
μ
kT
Thermodynamique de N particules indiscernables
α = βμ =
μ
kT
Fermions
Microcanonique
Formalisme canonique ?
W (E, N )
Canonique
Équivalence
Equivalence
dans la limite
de
grands
systèmes
dans la limite des grands systèmes
Zc (β, N )
Contrainte :
Découplage impossible
Formalisme grand-canonique
Grand canonique
ZF (β, α) =
Zg (β, α)
X
eαN −βE =
{nk }
X
e[n0 (α−β²0 )+n1 (α−β²1 )+··· ]
{nk =0,1}
42
41
Thermodynamique de N particules indiscernables
α = βμ =
μ
kT
α = βμ =
Facteur d’occupation de Fermi
Fermions
Grand potentiel
fkF = hnk i =
X ¡
¢
1
AF (β, α) = − ln ZF = −kB T
ln 1 + eα−β²k
β
k
Nombre (moyen) de particules
¯
X
∂ ln ZF ¯¯
1
hN i =
=
¯
β²
−α
∂α
e k +1
β
fkF = hnk i =
k
1
eβ²k −α + 1
=
X
k
hN i =
hnk i
1
eβ²k −α
X
+1
Facteur d’occupation de Fermi
Remplissage moyen de l’état k
fkF
U=
fkF ²k
k
k
Nombre moyen de particules
Facteur d’occupation de Fermi
Remplissage moyen de l’état k
X
Énergie moyenne
On peut donc en déduire l’équation d’état d’un gaz de fermions
Énergie (moyenne)
¯
X
X
∂ ln ZF ¯¯
²k
U =−
=
fkF ²k
=
¯
β²
−α
∂β α
e k +1
k
k
43
U (T, hN i)
(prochain cours)
44
μ
kT
²F
α = βμ =
Facteur d’occupation de Fermi
μ
kT
T=0 K
énergie de Fermi
Le potentiel chimique est déterminé par la condition :
On définit le niveau de Fermi:
T finie
Excitations possibles dans une tranche de largeur
autour du niveau de Fermi
45
État fondamental, mais très loin du repos !!
46
T finie
« Gap » autour du niveau de Fermi
excitations thermiques difficiles (cf. isolants, semi-conducteurs)
Thermodynamique de N particules indiscernables
α = βμ =
μ
kT
Bosons
Formalisme canonique ?
Thermodynamique de N particules indiscernables
Contrainte :
Découplage impossible
Formalisme grand-canonique
Bosons
ZB (β, α) =
X
eαN−βE =
{nk }
X
e[n0 (α−β²0 )+n1 (α−β²1 )+··· ]
{nk ∈N}
49
Thermodynamique de N particules indiscernables
α = βμ =
50
μ
kT
α = βμ =
Facteur d’occupation de Bose
Bosons
Grand potentiel
fkB = hnk i =
X ¡
¢
1
AB (β, α) = − ln ZB = +kB T
ln 1−eα−β²k
β
k
Nombre (moyen) de particules
X
∂ ln ZB
1
hN i =
=
∂α
eβ²k −α −1
=
k
k
fkB = hnk i =
Énergie (moyenne)
U =−
1
eβ²k −α −1
X
hnk i
k
eβ²k −α −1
X
Facteur d’occupation de Bose
Remplissage moyen de l’état k
fkB
U=
X
fkB ²k
k
k
Nombre moyen de particules
Facteur d’occupation de Bose
Remplissage moyen de l’état k
X
X
²k
∂ ln ZB
=
=
fkB ²k
∂β
eβ²k −α −1
k
hN i =
1
Energie moyenne
On peut donc en déduire l’équation d’état d’un gaz de bosons
51
U (T, hN i)
(prochain cours)
52
μ
kT
α = βμ =
Facteur d’occupation de Bose
μ
kT
T=0 K
Tous les bosons sont
condensés dans
l’état fondamental
Le potentiel chimique est déterminé par la condition :
53
Nombre macroscopique de bosons dans le même état quantique
 suprafluidité, supraconductivité
54
Résumé
T finie
Fermions :
Physique conditionnée
par les états quantiques
au voisinage du fondamental
Les propriétés physiques dépendent
de la structure du spectre au voisinage
du niveau de Fermi
Bosons :
La physique est conditionnée
par les états quantiques
au voisinage du fondamental
Nombre macroscopique de bosons dans le même état quantique
 suprafluidité, supraconductivité
55
56
Résumé :
α = βμ =
Statistiques quantiques
μ
kT
Fermions
Évolution en température et limite classique
fk =
1
Fermi-Dirac
En écrivant
eβ(²k −μ) −1
Bose-Einstein
en fonction de
:
AF,B = ±kT
Grand potentiel
Pression
X
²F
μ
f (²k ) = Cte =⇒ μ(T )
k
f
²
²F
T
k
U=
X
²
0
T →0
ln(1∓fk )
μ
0
T
B
fk ²k
Fermions
k
α = βμ =
Limite classique
fk =
0
F
Énergie interne
∂A
A
P =−
=−
∂V
V
eβ(²k −μ) ±1
X
1
fkB =
eβ(²k −μ) +1
hN i =
f
Bosons
fkF =
1
Bosons
58
μ
kT
1
eβ(²k −μ) ±1
f
f
Quelques commentaires
0
²F
μ
²
²F
²
0
sur le signe du potentiel chimique
T À T∗
μ
T
Fermions
0
T
Bosons
59
60
dU = T dS + μdN
Le potentiel chimique du gaz classique est négatif
μ = −T
µ
∂S
∂N
¶
Variation d’entropie en ajoutant une particule, sans changer l’énergie totale U
U,V
T À T∗
...
N%
...
Le potentiel chimique de fermions à basse T est positif
μ = −T
µ
∂S
∂N
¶
T ¿ T∗
Variation d’entropie en ajoutant une particule, sans changer l’énergie totale U
U,V
Fermions
S&
∂S
>0
∂N
∂S
<0
∂N
En rajoutant une particule à U constant, le nombre de configurations a diminué
μ>0
μ<0
Le potentiel chimique du gaz quantique à T=0K
μ=
∂U
∂N
¶
N%
S%
 un très grand nombre de façons de maintenir U constante, en rajoutant une particule
µ
dU = T dS + μdN
Évolution du potentiel chimique avec la température
Augmentation d’énergie en ajoutant une particule, sans changer l’entropie S
T =0
S,V
T =0
²F
Fermions
μ
Bosons
T
μ = ²F
dU = T dS + μdN
μ=0
À température nulle l’entropie est nulle. Ajouter une particule ne change pas l’entropie.
Le potentiel chimique est l’énergie qu’il faut pour rajouter une particule
Fermions
0
μ
T
Bosons
T À T∗
64
Limite classique
Limite classique
T À T∗
class.
ZF,B (β, α) −−−−→ ee
α
Potentiel chimique ?
z1
gaz parfait classique
amphi 4 , p.36
cf. amphi 4, p. 47
0
On retrouve le résultat du gaz parfait classique
Fermions
Dans la limite classique, la fonction de partition canonique est factorisable, car
les configurations pour chaque particule sont indépendantes des configurations
pour les autres particules. Ce n’est plus le cas dans la limite quantique où il est nécessaire
de calculer directement Zg .
65
T À T∗
Fonction de partition à une particule
z1 =
Bosons
V
V
= 3 (2πmkT )3/2
λ3T
h
66
« Statistiques quantiques »
Comportement du gaz parfait à basse température ?
U (T, N ) ?
P V (T, N ) ?
P V = ∓kT
U=
X
X
N=
ln(1∓fk )
X
fk
Fermi-Dirac
k
métaux, isolants, semi-conducteurs, naines blanches, étoiles à neutrons
k
fk ²k
?
F
k
?
B
Bose-Einstein
67
rayonnement, effet de serre, lasers, rayonnement cosmologique, condensation de
Bose, suprafluidité, supraconductivité
1905 - Le quantum de lumière
1907- Chaleur spécifique des solides
1909 - Dualité onde-corpuscule
1917 - Émission stimulée
1924 - Condensation
de Bose-Einstein
1935 – Paradoxe « EPR »
69