Modèle trimodal de calcul de l`inflation au Canada et son incidence

Modèle trimodal de calcul de
l'inflation au Canada et son
incidence sur l'indexation des
rentes de régimes de retraite
Louis Adam, f.s.a., f.i.c.a.
Professeur agrégé, École d’actuariat, Université
Laval
Colloque sur les perspectives
démographiques et économiques du Canada
10 novembre 2000
Plan de l'exposé
Le problème
! L'approche déterministe : limites
! L'approche stochastique
! Le modèle proposé : données canadiennes
! Les résultats
! Conclusion
! Autres sujets de recherche
!
Le problème
Verser une rente indexée à un retraité : le
coût de la protection par indexation
! Accent sur l'inflation : supposer un
rendement réel constant de 4 % par année
! Tenir compte des données historiques sur
l'inflation au Canada
! Combien en coûtera-t-il pour l'indexation
partielle?
!
Points clés
But : calculer le coût de l'indexation des
rentes
! Contraintes : tenir compte de la franchise,
de la coassurance et des plafonds dans les
formules d'indexation
! Présentation : exprimer le coût en
pourcentage de la valeur actualisée d’une
rente non indexée
!
La question
Supposer un rendement réel constant de
4 %, calculer le coût des diverses options de
la formule d'indexation (franchise,
coassurance)
! Exprimer le coût en pourcentage de la
valeur actualisée d'une rente non indexée
pour un participant type
! Utiliser ou concevoir un modèle convenable
!
Situations éventuelles
!
!
!
Négociation des rentes d'un régime : négociation
du coût de la formule « IPC - 3 % »
" inflation inférieure à 3 %, 1992-1999;
" coût = 0 pour la protection future?
" autres formules : niveau?
Les participants à des régimes à cotisations
déterminées réclament une protection partielle
contre l'inflation dans les demandes de coût de
rente
Suffisance de la provision actuarielle pour les
rentes versées en vertu de la formule d'indexation
actuelle, évolution de la conjoncture économique
Données sur les rentes
Participant : homme (60), conjointe (57)
! Forme de rente : rente réversible de 60 %
" rente viagère de 1 000 $ par mois
" 60 % à la conjointe après le décès du
participant
! Mortalité : table GAM-83
! Date d'évaluation : 31 décembre 1999
!
Hypothèses économiques
!
!
!
Rendement nominal = Inflation + rendement réel
" Inflation : 4 % par année
" Rendement réel : 4 % par année
Approche déterministe : taux d'intérêt de 8 % par
année
Protection contre l‘inflation
" selon la formule d'indexation
" fonction de l'Indice des prix à la consommation
(IPC)
Formule d'indexation : extrêmes
!
!
!
0 % de l’IPC
" Aucuns frais additionnels, aucune protection
" Fréquent dans les régimes privés canadiens
(mais revalorisation ponctuelle périodique)
100 % de l’IPC
" coûteux, protection intégrale du participant
" Régimes publics (RPC/RRQ), fonctionnaires
Entre ces limites ?
Formule d'indexation partielle
!
Franchise
" IPC-3 %, IPC-1 %
! Coassurance
" 50 % de l'IPC, 75 % de l'IPC
! Plafonds
" Min (8 %, 75 % de l'IPC - 1 %), min 0 %
" 100 % du min (4 %, IPC), min 0 %
Formule d'indexation : seuil
!
!
Protection limitée contre l'inflation, coût moins
élevé
Inflation partagée en deux volets (ou plus) :
50 % min (IPC, 3 %) +
" 100 % max (0 %, IPC-3 %)
Protection partielle dans des situations normales
Protection intégrale pour les situations de
« catastrophe »
"
!
!
Résultats déterministes : exemple
Valeur actualisée (VA) non indexée =
129 423 $ (niveau de référence)
! VA indexée, indexation de 1,0 %
" VA = 141 479 $
" VA = 109,3 % du niveau de référence
" coût de l’indexation = 9,3 %
" inflation = 4 %, 25 % de l'IPC ou
IPC-3 %
!
Résultats déterministes
Inflation = 4 %, rendement nominal = 8 %, 1 000 $ par
mois - Rente réversible de 60 % (1 000 $ par mois au
participant à l’âge de 60 ans)
Taux d’indexation
( %)
Coût de l’indexation (%
de la valeur de référence)
1,0
9,3
2,0
20,0
3,0
32,6
4,0
47,3
4,5
55,7
Approche déterministe : limites
Les formules d'indexation suivantes
sont-elles semblables?
" 50 % de l'IPC = 2 %
" IPC - 2 % = 2 %
" 75 % de l'IPC – 1 % = 2 %
" 50 % min ( IPC, 4 %) = 2 %
! Impossible d'attribuer une valeur aux
« caractéristiques d'assurance » : ajout d'un
facteur de majoration (approximation?)
!
Caractéristiques du modèle 1
méthode non déterministe
! utilisée à des fins de comparaison
! modèle stochastique : utilisation d'une
simulation de l'IPC sur 50 ans
!
Caractéristiques du modèle 2
Le niveau initial d'inflation influe sur le coût
" à compter de 1979, 1989, 1999…
" même valeur pour l'indexation
« IPC-3% »?
! établissement simultané du coût de diverses
formules d'indexation
! 1 000 simulations exécutées pour chaque
niveau initial d'inflation : statistiques des
résultats
!
Approche stochastique : modèle
1.
2.
3.
définir l'horizon à long terme : 50 ans
déterminer le taux annuel d'inflation entre
2000 et 2049 : une seule trajectoire
d'inflation
pour chaque année, déterminer :
!
le taux d'indexation
!
le taux de rendement nominal
Approche stochastique : modèle
(suite)
4.
5.
6.
actualiser la valeur des rentes pour chaque
trajectoire
tracer 1 000 trajectoires d'inflation :
calculer les statistiques de la distribution
des valeurs actualisées de la rente
Calculer le coût d'indexation à partir des
statistiques pertinentes
Données sur l'inflation au Canada
Indice des prix à la consommation (IPC) :
111,5
! données mensuelles
! séries diverses : tous les éléments, régions
! évolution de l’étalon (1992=100,0) :
problème de la précision d'une décimale
! révision périodique du panier d'éléments
!
Taux d'inflation : quelques détails
Un taux par année : 3,5 %, -0,5 %, 10,4 %
! IPC considéré comme une bonne mesure
(retraités?)
! Définition du « taux d'inflation » selon l'IPC
" données mensuelles = indice des prix
" moyenne sur 12 mois ou moins (1,3?)
" moyenne prenant fin en décembre,
octobre?
!
Inflation au Canada, 1950-1999
Chaque mois = IPC(t) / IPC(t-12) – 1; décembre 1949
à décembre 1999
14%
12%
10%
8%
6%
4%
2%
0%
2000
1995
1990
1985
1980
1975
1970
1965
1960
1955
1950
-2%
Taux d'inflation au Canada en 1999
2,58 % = IPC (1999-12) / IPC (1998-12) -1
! 1,73 %, moyenne de 12 mois au
31 décembre 1999 par rapport à moyenne de
12 mois au 31 décembre 1998
! 1,52 %, moyenne de 12 mois au
31 octobre 1999 par rapport à moyenne de
12 mois au 31 octobre 1998 (RPC/RRQ)
! Variation supérieure à 1 % selon la définition
de l'inflation (importante à court terme)
!
Modèle de l'IPC
Établir un modèle des valeurs mensuelles de
l'IPC plutôt que d’utiliser le taux d'inflation
! Appliquer une transformation spécifique aux
données antérieures et projetées pour
déterminer le taux d'inflation
! Même modèle, même si la définition du taux
d'inflation varie
! Dans le cas présent : moyenne de 12 mois
prenant fin le 31 octobre
!
0
16.00%
15.00%
14.00%
13.00%
12.00%
11.00%
10.00%
9.00%
8.00%
7.00%
6.00%
5.00%
4.00%
3.00%
2.00%
1.00%
0.00%
-1.00%
-2.00%
F req u en cy
Distribution de l'inflation
!Fréquence au cours des 50 dernières années,
données mensuelles
45
40
35
30
25
20
15
10
5
Comportement de l'inflation (IPC)
!
!
!
3 régimes : niveaux faible, moyen, élevé
" obstacles : taux annuel de 3,5 %, 7,0 %
" éviter d'adapter les données pour les faire
correspondre à une distribution unimodale
" les données empiriques appuient une
distribution trimodale
Déplacement mensuel entre les niveaux
" matrice de probabilités de transition 3×3 fondée
sur le niveau actuel et les données empiriques
La distribution conditionnelle des données sur la
variation mensuelle de l'IPC fondée sur des
données canadiennes de 50 ans
Niveau de l'inflation au Canada : 1, 2, 3
!Niveau 1 : inflation <3,5 %, niveau 3 : inflation > 7.0 %
3
2
20 00
19 95
19 90
19 85
19 80
19 75
19 70
19 65
19 60
19 55
19 50
1
Fréquence relative de la variable
de niveau
Faible inflation : 289/600 = 48,2 %
! Inflation moyenne : 186/600 = 31,0 %
! Inflation élevée : 125/600 = 20,8 %
! « Faible inflation » ≈ probabilité de 50 %
! Probabilité de 20 % de l'inflation élevée
! Non saisie dans le consensus estimatif des
économistes à l'égard de la médiane à court
terme/à long terme
!
Distribution conditionnelle de
l'évolution mensuelle de l'inflation
Changement important : variable de niveau
" inflation faible, moyenne, élevée
! Changement peu important : dépend de la
distribution de la variation mensuelle,
compte tenu de la variable de niveau
! Des données empiriques regroupées par
niveau sont utilisées pour estimer les
paramètres et la forme de la distribution
!
Évolution du niveau d'inflation
!
!
Données mensuelles entre décembre 1949 et
décembre 1999
Nombre de changements de niveau à niveau
De À
1
2
3
Total
1
279
10
0
289
2
10
173
3
186
3
0
3
122
125
289
186
125
600
Total
Probabilités de variation du
niveau d'inflation
!
!
fondées sur des données mensuelles sur 50 ans
pourcentage fondé sur le niveau initial
De À
1
2
3
Total
1
96,5
3,5
0
100 %
2
5,4
93,0
1,6
100 %
3
0
2,4
97,6
100 %
Forme et paramètres de la
distribution
Hypothèse : distribution normale du
changement mensuel
! Aucune corrélation de temps à l'intérieur de
chaque distribution
! Estimation de la moyenne, de la variance
! Vérifier si la distribution est normale par
rapport au test du khi-carré, données
groupées
!
Paramètres selon la distribution
Moyenne
Écart type
Normal?
(Test χ2)
Faible
0,001412
0,002975
Oui,
Moyen
0,003559
0,003140
Élevé
0,007564
0,004345
Oui,
mais…
Oui
Exécution du modèle : partie 1
!
Fournir des paramètres de moyenne, de
variance
! Déterminer le niveau initial : faible, moyen,
élevé
! Fournir les données antérieures de l'IPC,
nombre de mois et report aux fins de
l'établissement de la moyenne
! Produire les données mensuelles futures de
l'IPC pour les 50 prochaines années :
1 000 fois par niveau initial
! Calculer le taux d'inflation pour chaque année,
chaque scénario de 50 ans
Trajectoire de l'inflation prévue sur 50 ans
9%
Simulation de l’inflation au Canada 2000-2049
3 séries de 1000 simulations selon le niveau initial d’inflation
8%
Moy.-faible
Moy.-interm.
6%
Moy.-élevée
5%
4%
3%
2%
2045
2040
2035
2030
2025
2020
2015
2010
0%
2005
1%
2000
Taux d’inflation
7%
Année
Moyenne de l'inflation à court
terme/à long terme
Niveau
initial
15 ans
35 ans
50 ans
2000-2014
2015-2049
2000-2049
Faible
3,67 %
4,17 %
4,02 %
Moyen
3,92 %
4,11 %
4,05 %
Élevé
5,17 %
4,15 %
4,46 %
Exemples de trajectoire: IPC-3%
Exemple de trajectoire de l’IPC
Niveau initial : inflation faible, 1000 simulations
La trajectoire est identifiée par le percentile de la formule d’indexation « IPCI-3 % »
14%
25
50
75
95
69.8
12%
8%
6%
4%
2%
-2%
Année
2020
2015
2010
2005
0%
2000
Taux d’inflation
10%
Exécution du modèle : partie 2
!
Utiliser chaque scénario d'inflation à titre
d'intrant
! Autres intrants
" flux monétaires prévus (rente)
" scénario du taux réel de rendement (constant
à 4 %)
" formules d'indexation (15 en parallèle)
! Calcul de la valeur actualisée
! Utilisée également pour l'évaluation
déterministe
Formules d'indexation : 1
coût d'indexation calculé pour chaque
trajectoire si
" VA (formule) – VA (formule 1),
" i=2, 3,…14, 15
! Formule 1 = rente non indexée
! 2, 3, 4, 5 = 25 %, 50 %, 75 %, 100 % de
l ’IPC
! 6, 7, 8 = IPC – 1 %, IPC - 2 %, IPC - 3 %
!
Formules d'indexation : 2
!
!
!
!
!
!
Formule 9 = 75 % de l'IPC – 1 % (Ontario)
10, 11 = 75 % IPC – 2 % , 75 % IPC – 3 %
12 = formule à deux étapes
" 50 % « min (IPC, 3 %) » +100 % « IPC-3% »
13 = 100 % min (IPC, 6 %)
14 = 100 % min (IPC, 4 %)
15 = 100 % min (IPC, 3 %)
Exécution du modèle : partie 3
Exprimer chaque résultat de la VA en
pourcentage de la VA déterministe selon un
taux d'intérêt de 8 %
! Calculer le coût d'indexation, pour chaque
scénario, en fonction du coût de la VA
indexée - VA non indexée
! Classer les résultats, calculer les percentiles
!
Indice de coût pondéré
!
!
!
!
!
La distribution des coûts est réduite à une valeur
Nous souhaitons saisir le coût d'un niveau élevé
d'inflation, et non la moyenne ou la médiane
seulement
Tenir compte de la tendance centrale : facteur de
pondération plus élevé appliqué à la médiane
Tenir compte des percentiles de niveau élevé :
faire preuve de jugement quant aux nombres et
aux facteurs de pondération
L'indice de coût pondéré utilise les trois valeurs
suivantes:
50 % × 50e + 30 % × 75e + 20 % × 95e
Résultats stochastiques
80
Cost of Indexation Formula, Initial Inflation Level: Low
40
20
0
Cost in % of Ref. Value
60
Median
Weighted Cost Index
95th Percentile
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Indexation Formula
10
11
12
13
14
15
Cost of Indexation Formula, Initial Inflation Level: Middle
40
20
0
Cost in % of Ref. Value
60
Median
Weighted Cost Index
95th Percentile
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Indexation Formula
10
11
12
13
14
15
80
Cost of Indexation Formula, Initial Inflation Level: High
40
20
0
Cost in % of Ref. Value
60
Median
Weighted Cost Index
95th Percentile
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Indexation Formula
10
11
12
13
14
15
Coût de l'indexation en fonction
du niveau initial d'inflation
Coût en % de la valeur de référence
Indice de coût pondéré de la formule d’indexation
70
Faible
60
Moyen
50
Élevé
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
Formule d’indexation
Coût (% de la valeur de référence)
Autres mesures de coût : basse
inflation
Comparaison de l’ICP, Moy, Moy+Écart Type
Inflation faible
60
ICP
Moy
Moy+Écr Type
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
Formule d’indexation
Coût (% de la valeur de référence)
Autres mesures de coût: Inflation
Moyenne
Comparaison de l’ICP, Moy, Moy+Écart Type
Inflation moyenne
60
ICPI
50
Moy
Moy+Écr Type
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
Formule d’indexation
Coût (% de la valeur de référence)
Autres mesures de coût: Inflation
Forte
Comparaison de l’ICP, Moy, Moy+Écart Type
Inflation Forte
60
ICP
Moy
Moy+Éct Type
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Formule d’indexation
11
12
13
14
15
0.4
Formules : 2,3,4,5 Niveau Initial : Inflation Faible
0.2
0.1
0.0
density
0.3
25%, 50%, 75%, 100 % IPC
0
20
40
60
cost
80
100
0.4
Formules : 5,6,7,8 Niveau Initial : Inflation Faible
0.2
0.1
0.0
density
0.3
100%IPC, IPC-1%, IPC-2%, IPC-3%
0
20
40
60
cost
80
100
0.4
Formules : 5,9,10,11,12 Niveau Initial : Inflation Faible
0.2
0.1
12: 50%×min(IPC,3%) + 100%×max(0,IPC-3%)
0.0
density
0.3
75% IPC-1%, ..-2%, ..-3%,
« 50%<3%+100%>3% »
0
20
40
60
cost
80
100
0.4
Formules : 5,13,14,15 Niveau Initial : Inflation Faible
0.2
0.1
0.0
density
0.3
100%IPC, Limite de 6%, 4% ,3%
0
20
40
60
cost
80
100
0.4
Formules : 2,3,4,5 Niveau Initial : Inflation Moyenne
0.2
0.1
0.0
density
0.3
25%, 50%, 75%, 100 % IPC
0
20
40
60
cost
80
100
0.4
Formules : 5,6,7,8 Niveau Initial : Inflation Moyenne
0.2
0.1
0.0
density
0.3
100%IPC, IPC-1%, IPC-2%, IPC-3%
0
20
40
60
cost
80
100
0.4
Formules : 5,9,10,11,12 Niveau Initial : Inflation Moyenne
0.2
0.1
12: 50%×min(IPC,3%) + 100%×max(0,IPC-3%)
0.0
density
0.3
75%IPC-1%, ..-2%, ..-3%,
« 50%<3%+100%>3% »
0
20
40
60
cost
80
100
0.4
Formules : 5,13,14,15 Niveau Initial : Inflation Moyenne
0.2
0.1
0.0
density
0.3
100%IPC, Limite de 6%, 4% ,3%
0
20
40
60
cost
80
100
0.4
Formules : 2,3,4,5 Niveau Initial : Inflation Forte
0.2
0.1
0.0
density
0.3
25%, 50%, 75%, 100 % IPC
0
20
40
60
cost
80
100
0.4
Formules :5,6,7,8 Niveau Initial : Inflation Forte
0.2
0.1
0.0
density
0.3
100%IPC, IPC-1%, IPC-2%, IPC-3%
0
20
40
60
cost
80
100
0.4
Formules : 5,9,10,11,12 Niveau Initial : Inflation Forte
0.2
0.1
12: 50%×min(IPC,3%) + 100%×max(0,IPC-3%)
0.0
density
0.3
75%IPC-1%, ..-2%, ..-3%,
« 50%<3%+100%>3% »
0
20
40
60
cost
80
100
0.4
Formules : 5,13,14,15 Niveau Initial : Inflation Forte
0.2
0.1
0.0
density
0.3
100%IPC, Limite de 6%, 4% ,3%
0
20
40
60
cost
80
100
Résultats
!
!
!
!
Le niveau initial influe sur les résultats pendant dix
ans
La distribution du coût est large : l'ICP en tient
compte
L'approche classique : calcul de la marge ajoutée
au taux d'indexation
Approche stochastique unimodale : plus simple,
mais
" condition initiale?
" retour à la « normale »?
Conclusion
!
Caractéristiques d'un modèle d'inflation trimodal
" une autre perspective des données antérieures et
des prévisions
" permet d'établir le coût de diverses formules
d'indexation et d'autres objectifs d'évaluation
" prise en compte du niveau d'inflation actuel
dans la distribution du coût d'indexation
" l'indice de coût pondéré représente une façon
d'établir la distribution
Autres sujets de recherche
!
!
!
!
!
!
Établissement d'un lien avec les hausses salariales
moyennes
Remplacement du rendement réel constant de 4 %
par une structure d'actifs constante
Établissement de liens entre le rendement réel des
catégories d'actifs et l'inflation
Élargissement des flux monétaires pour y intégrer
la population type (tous les retraités, actifs)
Rapport entre les politiques de placement, de rente
et de capitalisation
Autres pays : appui du modèle trimodal?