Modèle trimodal de calcul de l'inflation au Canada et son incidence sur l'indexation des rentes de régimes de retraite Louis Adam, f.s.a., f.i.c.a. Professeur agrégé, École d’actuariat, Université Laval Colloque sur les perspectives démographiques et économiques du Canada 10 novembre 2000 Plan de l'exposé Le problème ! L'approche déterministe : limites ! L'approche stochastique ! Le modèle proposé : données canadiennes ! Les résultats ! Conclusion ! Autres sujets de recherche ! Le problème Verser une rente indexée à un retraité : le coût de la protection par indexation ! Accent sur l'inflation : supposer un rendement réel constant de 4 % par année ! Tenir compte des données historiques sur l'inflation au Canada ! Combien en coûtera-t-il pour l'indexation partielle? ! Points clés But : calculer le coût de l'indexation des rentes ! Contraintes : tenir compte de la franchise, de la coassurance et des plafonds dans les formules d'indexation ! Présentation : exprimer le coût en pourcentage de la valeur actualisée d’une rente non indexée ! La question Supposer un rendement réel constant de 4 %, calculer le coût des diverses options de la formule d'indexation (franchise, coassurance) ! Exprimer le coût en pourcentage de la valeur actualisée d'une rente non indexée pour un participant type ! Utiliser ou concevoir un modèle convenable ! Situations éventuelles ! ! ! Négociation des rentes d'un régime : négociation du coût de la formule « IPC - 3 % » " inflation inférieure à 3 %, 1992-1999; " coût = 0 pour la protection future? " autres formules : niveau? Les participants à des régimes à cotisations déterminées réclament une protection partielle contre l'inflation dans les demandes de coût de rente Suffisance de la provision actuarielle pour les rentes versées en vertu de la formule d'indexation actuelle, évolution de la conjoncture économique Données sur les rentes Participant : homme (60), conjointe (57) ! Forme de rente : rente réversible de 60 % " rente viagère de 1 000 $ par mois " 60 % à la conjointe après le décès du participant ! Mortalité : table GAM-83 ! Date d'évaluation : 31 décembre 1999 ! Hypothèses économiques ! ! ! Rendement nominal = Inflation + rendement réel " Inflation : 4 % par année " Rendement réel : 4 % par année Approche déterministe : taux d'intérêt de 8 % par année Protection contre l‘inflation " selon la formule d'indexation " fonction de l'Indice des prix à la consommation (IPC) Formule d'indexation : extrêmes ! ! ! 0 % de l’IPC " Aucuns frais additionnels, aucune protection " Fréquent dans les régimes privés canadiens (mais revalorisation ponctuelle périodique) 100 % de l’IPC " coûteux, protection intégrale du participant " Régimes publics (RPC/RRQ), fonctionnaires Entre ces limites ? Formule d'indexation partielle ! Franchise " IPC-3 %, IPC-1 % ! Coassurance " 50 % de l'IPC, 75 % de l'IPC ! Plafonds " Min (8 %, 75 % de l'IPC - 1 %), min 0 % " 100 % du min (4 %, IPC), min 0 % Formule d'indexation : seuil ! ! Protection limitée contre l'inflation, coût moins élevé Inflation partagée en deux volets (ou plus) : 50 % min (IPC, 3 %) + " 100 % max (0 %, IPC-3 %) Protection partielle dans des situations normales Protection intégrale pour les situations de « catastrophe » " ! ! Résultats déterministes : exemple Valeur actualisée (VA) non indexée = 129 423 $ (niveau de référence) ! VA indexée, indexation de 1,0 % " VA = 141 479 $ " VA = 109,3 % du niveau de référence " coût de l’indexation = 9,3 % " inflation = 4 %, 25 % de l'IPC ou IPC-3 % ! Résultats déterministes Inflation = 4 %, rendement nominal = 8 %, 1 000 $ par mois - Rente réversible de 60 % (1 000 $ par mois au participant à l’âge de 60 ans) Taux d’indexation ( %) Coût de l’indexation (% de la valeur de référence) 1,0 9,3 2,0 20,0 3,0 32,6 4,0 47,3 4,5 55,7 Approche déterministe : limites Les formules d'indexation suivantes sont-elles semblables? " 50 % de l'IPC = 2 % " IPC - 2 % = 2 % " 75 % de l'IPC – 1 % = 2 % " 50 % min ( IPC, 4 %) = 2 % ! Impossible d'attribuer une valeur aux « caractéristiques d'assurance » : ajout d'un facteur de majoration (approximation?) ! Caractéristiques du modèle 1 méthode non déterministe ! utilisée à des fins de comparaison ! modèle stochastique : utilisation d'une simulation de l'IPC sur 50 ans ! Caractéristiques du modèle 2 Le niveau initial d'inflation influe sur le coût " à compter de 1979, 1989, 1999… " même valeur pour l'indexation « IPC-3% »? ! établissement simultané du coût de diverses formules d'indexation ! 1 000 simulations exécutées pour chaque niveau initial d'inflation : statistiques des résultats ! Approche stochastique : modèle 1. 2. 3. définir l'horizon à long terme : 50 ans déterminer le taux annuel d'inflation entre 2000 et 2049 : une seule trajectoire d'inflation pour chaque année, déterminer : ! le taux d'indexation ! le taux de rendement nominal Approche stochastique : modèle (suite) 4. 5. 6. actualiser la valeur des rentes pour chaque trajectoire tracer 1 000 trajectoires d'inflation : calculer les statistiques de la distribution des valeurs actualisées de la rente Calculer le coût d'indexation à partir des statistiques pertinentes Données sur l'inflation au Canada Indice des prix à la consommation (IPC) : 111,5 ! données mensuelles ! séries diverses : tous les éléments, régions ! évolution de l’étalon (1992=100,0) : problème de la précision d'une décimale ! révision périodique du panier d'éléments ! Taux d'inflation : quelques détails Un taux par année : 3,5 %, -0,5 %, 10,4 % ! IPC considéré comme une bonne mesure (retraités?) ! Définition du « taux d'inflation » selon l'IPC " données mensuelles = indice des prix " moyenne sur 12 mois ou moins (1,3?) " moyenne prenant fin en décembre, octobre? ! Inflation au Canada, 1950-1999 Chaque mois = IPC(t) / IPC(t-12) – 1; décembre 1949 à décembre 1999 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% 2000 1995 1990 1985 1980 1975 1970 1965 1960 1955 1950 -2% Taux d'inflation au Canada en 1999 2,58 % = IPC (1999-12) / IPC (1998-12) -1 ! 1,73 %, moyenne de 12 mois au 31 décembre 1999 par rapport à moyenne de 12 mois au 31 décembre 1998 ! 1,52 %, moyenne de 12 mois au 31 octobre 1999 par rapport à moyenne de 12 mois au 31 octobre 1998 (RPC/RRQ) ! Variation supérieure à 1 % selon la définition de l'inflation (importante à court terme) ! Modèle de l'IPC Établir un modèle des valeurs mensuelles de l'IPC plutôt que d’utiliser le taux d'inflation ! Appliquer une transformation spécifique aux données antérieures et projetées pour déterminer le taux d'inflation ! Même modèle, même si la définition du taux d'inflation varie ! Dans le cas présent : moyenne de 12 mois prenant fin le 31 octobre ! 0 16.00% 15.00% 14.00% 13.00% 12.00% 11.00% 10.00% 9.00% 8.00% 7.00% 6.00% 5.00% 4.00% 3.00% 2.00% 1.00% 0.00% -1.00% -2.00% F req u en cy Distribution de l'inflation !Fréquence au cours des 50 dernières années, données mensuelles 45 40 35 30 25 20 15 10 5 Comportement de l'inflation (IPC) ! ! ! 3 régimes : niveaux faible, moyen, élevé " obstacles : taux annuel de 3,5 %, 7,0 % " éviter d'adapter les données pour les faire correspondre à une distribution unimodale " les données empiriques appuient une distribution trimodale Déplacement mensuel entre les niveaux " matrice de probabilités de transition 3×3 fondée sur le niveau actuel et les données empiriques La distribution conditionnelle des données sur la variation mensuelle de l'IPC fondée sur des données canadiennes de 50 ans Niveau de l'inflation au Canada : 1, 2, 3 !Niveau 1 : inflation <3,5 %, niveau 3 : inflation > 7.0 % 3 2 20 00 19 95 19 90 19 85 19 80 19 75 19 70 19 65 19 60 19 55 19 50 1 Fréquence relative de la variable de niveau Faible inflation : 289/600 = 48,2 % ! Inflation moyenne : 186/600 = 31,0 % ! Inflation élevée : 125/600 = 20,8 % ! « Faible inflation » ≈ probabilité de 50 % ! Probabilité de 20 % de l'inflation élevée ! Non saisie dans le consensus estimatif des économistes à l'égard de la médiane à court terme/à long terme ! Distribution conditionnelle de l'évolution mensuelle de l'inflation Changement important : variable de niveau " inflation faible, moyenne, élevée ! Changement peu important : dépend de la distribution de la variation mensuelle, compte tenu de la variable de niveau ! Des données empiriques regroupées par niveau sont utilisées pour estimer les paramètres et la forme de la distribution ! Évolution du niveau d'inflation ! ! Données mensuelles entre décembre 1949 et décembre 1999 Nombre de changements de niveau à niveau De À 1 2 3 Total 1 279 10 0 289 2 10 173 3 186 3 0 3 122 125 289 186 125 600 Total Probabilités de variation du niveau d'inflation ! ! fondées sur des données mensuelles sur 50 ans pourcentage fondé sur le niveau initial De À 1 2 3 Total 1 96,5 3,5 0 100 % 2 5,4 93,0 1,6 100 % 3 0 2,4 97,6 100 % Forme et paramètres de la distribution Hypothèse : distribution normale du changement mensuel ! Aucune corrélation de temps à l'intérieur de chaque distribution ! Estimation de la moyenne, de la variance ! Vérifier si la distribution est normale par rapport au test du khi-carré, données groupées ! Paramètres selon la distribution Moyenne Écart type Normal? (Test χ2) Faible 0,001412 0,002975 Oui, Moyen 0,003559 0,003140 Élevé 0,007564 0,004345 Oui, mais… Oui Exécution du modèle : partie 1 ! Fournir des paramètres de moyenne, de variance ! Déterminer le niveau initial : faible, moyen, élevé ! Fournir les données antérieures de l'IPC, nombre de mois et report aux fins de l'établissement de la moyenne ! Produire les données mensuelles futures de l'IPC pour les 50 prochaines années : 1 000 fois par niveau initial ! Calculer le taux d'inflation pour chaque année, chaque scénario de 50 ans Trajectoire de l'inflation prévue sur 50 ans 9% Simulation de l’inflation au Canada 2000-2049 3 séries de 1000 simulations selon le niveau initial d’inflation 8% Moy.-faible Moy.-interm. 6% Moy.-élevée 5% 4% 3% 2% 2045 2040 2035 2030 2025 2020 2015 2010 0% 2005 1% 2000 Taux d’inflation 7% Année Moyenne de l'inflation à court terme/à long terme Niveau initial 15 ans 35 ans 50 ans 2000-2014 2015-2049 2000-2049 Faible 3,67 % 4,17 % 4,02 % Moyen 3,92 % 4,11 % 4,05 % Élevé 5,17 % 4,15 % 4,46 % Exemples de trajectoire: IPC-3% Exemple de trajectoire de l’IPC Niveau initial : inflation faible, 1000 simulations La trajectoire est identifiée par le percentile de la formule d’indexation « IPCI-3 % » 14% 25 50 75 95 69.8 12% 8% 6% 4% 2% -2% Année 2020 2015 2010 2005 0% 2000 Taux d’inflation 10% Exécution du modèle : partie 2 ! Utiliser chaque scénario d'inflation à titre d'intrant ! Autres intrants " flux monétaires prévus (rente) " scénario du taux réel de rendement (constant à 4 %) " formules d'indexation (15 en parallèle) ! Calcul de la valeur actualisée ! Utilisée également pour l'évaluation déterministe Formules d'indexation : 1 coût d'indexation calculé pour chaque trajectoire si " VA (formule) – VA (formule 1), " i=2, 3,…14, 15 ! Formule 1 = rente non indexée ! 2, 3, 4, 5 = 25 %, 50 %, 75 %, 100 % de l ’IPC ! 6, 7, 8 = IPC – 1 %, IPC - 2 %, IPC - 3 % ! Formules d'indexation : 2 ! ! ! ! ! ! Formule 9 = 75 % de l'IPC – 1 % (Ontario) 10, 11 = 75 % IPC – 2 % , 75 % IPC – 3 % 12 = formule à deux étapes " 50 % « min (IPC, 3 %) » +100 % « IPC-3% » 13 = 100 % min (IPC, 6 %) 14 = 100 % min (IPC, 4 %) 15 = 100 % min (IPC, 3 %) Exécution du modèle : partie 3 Exprimer chaque résultat de la VA en pourcentage de la VA déterministe selon un taux d'intérêt de 8 % ! Calculer le coût d'indexation, pour chaque scénario, en fonction du coût de la VA indexée - VA non indexée ! Classer les résultats, calculer les percentiles ! Indice de coût pondéré ! ! ! ! ! La distribution des coûts est réduite à une valeur Nous souhaitons saisir le coût d'un niveau élevé d'inflation, et non la moyenne ou la médiane seulement Tenir compte de la tendance centrale : facteur de pondération plus élevé appliqué à la médiane Tenir compte des percentiles de niveau élevé : faire preuve de jugement quant aux nombres et aux facteurs de pondération L'indice de coût pondéré utilise les trois valeurs suivantes: 50 % × 50e + 30 % × 75e + 20 % × 95e Résultats stochastiques 80 Cost of Indexation Formula, Initial Inflation Level: Low 40 20 0 Cost in % of Ref. Value 60 Median Weighted Cost Index 95th Percentile 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Indexation Formula 10 11 12 13 14 15 Cost of Indexation Formula, Initial Inflation Level: Middle 40 20 0 Cost in % of Ref. Value 60 Median Weighted Cost Index 95th Percentile 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Indexation Formula 10 11 12 13 14 15 80 Cost of Indexation Formula, Initial Inflation Level: High 40 20 0 Cost in % of Ref. Value 60 Median Weighted Cost Index 95th Percentile 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Indexation Formula 10 11 12 13 14 15 Coût de l'indexation en fonction du niveau initial d'inflation Coût en % de la valeur de référence Indice de coût pondéré de la formule d’indexation 70 Faible 60 Moyen 50 Élevé 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Formule d’indexation Coût (% de la valeur de référence) Autres mesures de coût : basse inflation Comparaison de l’ICP, Moy, Moy+Écart Type Inflation faible 60 ICP Moy Moy+Écr Type 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Formule d’indexation Coût (% de la valeur de référence) Autres mesures de coût: Inflation Moyenne Comparaison de l’ICP, Moy, Moy+Écart Type Inflation moyenne 60 ICPI 50 Moy Moy+Écr Type 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Formule d’indexation Coût (% de la valeur de référence) Autres mesures de coût: Inflation Forte Comparaison de l’ICP, Moy, Moy+Écart Type Inflation Forte 60 ICP Moy Moy+Éct Type 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Formule d’indexation 11 12 13 14 15 0.4 Formules : 2,3,4,5 Niveau Initial : Inflation Faible 0.2 0.1 0.0 density 0.3 25%, 50%, 75%, 100 % IPC 0 20 40 60 cost 80 100 0.4 Formules : 5,6,7,8 Niveau Initial : Inflation Faible 0.2 0.1 0.0 density 0.3 100%IPC, IPC-1%, IPC-2%, IPC-3% 0 20 40 60 cost 80 100 0.4 Formules : 5,9,10,11,12 Niveau Initial : Inflation Faible 0.2 0.1 12: 50%×min(IPC,3%) + 100%×max(0,IPC-3%) 0.0 density 0.3 75% IPC-1%, ..-2%, ..-3%, « 50%<3%+100%>3% » 0 20 40 60 cost 80 100 0.4 Formules : 5,13,14,15 Niveau Initial : Inflation Faible 0.2 0.1 0.0 density 0.3 100%IPC, Limite de 6%, 4% ,3% 0 20 40 60 cost 80 100 0.4 Formules : 2,3,4,5 Niveau Initial : Inflation Moyenne 0.2 0.1 0.0 density 0.3 25%, 50%, 75%, 100 % IPC 0 20 40 60 cost 80 100 0.4 Formules : 5,6,7,8 Niveau Initial : Inflation Moyenne 0.2 0.1 0.0 density 0.3 100%IPC, IPC-1%, IPC-2%, IPC-3% 0 20 40 60 cost 80 100 0.4 Formules : 5,9,10,11,12 Niveau Initial : Inflation Moyenne 0.2 0.1 12: 50%×min(IPC,3%) + 100%×max(0,IPC-3%) 0.0 density 0.3 75%IPC-1%, ..-2%, ..-3%, « 50%<3%+100%>3% » 0 20 40 60 cost 80 100 0.4 Formules : 5,13,14,15 Niveau Initial : Inflation Moyenne 0.2 0.1 0.0 density 0.3 100%IPC, Limite de 6%, 4% ,3% 0 20 40 60 cost 80 100 0.4 Formules : 2,3,4,5 Niveau Initial : Inflation Forte 0.2 0.1 0.0 density 0.3 25%, 50%, 75%, 100 % IPC 0 20 40 60 cost 80 100 0.4 Formules :5,6,7,8 Niveau Initial : Inflation Forte 0.2 0.1 0.0 density 0.3 100%IPC, IPC-1%, IPC-2%, IPC-3% 0 20 40 60 cost 80 100 0.4 Formules : 5,9,10,11,12 Niveau Initial : Inflation Forte 0.2 0.1 12: 50%×min(IPC,3%) + 100%×max(0,IPC-3%) 0.0 density 0.3 75%IPC-1%, ..-2%, ..-3%, « 50%<3%+100%>3% » 0 20 40 60 cost 80 100 0.4 Formules : 5,13,14,15 Niveau Initial : Inflation Forte 0.2 0.1 0.0 density 0.3 100%IPC, Limite de 6%, 4% ,3% 0 20 40 60 cost 80 100 Résultats ! ! ! ! Le niveau initial influe sur les résultats pendant dix ans La distribution du coût est large : l'ICP en tient compte L'approche classique : calcul de la marge ajoutée au taux d'indexation Approche stochastique unimodale : plus simple, mais " condition initiale? " retour à la « normale »? Conclusion ! Caractéristiques d'un modèle d'inflation trimodal " une autre perspective des données antérieures et des prévisions " permet d'établir le coût de diverses formules d'indexation et d'autres objectifs d'évaluation " prise en compte du niveau d'inflation actuel dans la distribution du coût d'indexation " l'indice de coût pondéré représente une façon d'établir la distribution Autres sujets de recherche ! ! ! ! ! ! Établissement d'un lien avec les hausses salariales moyennes Remplacement du rendement réel constant de 4 % par une structure d'actifs constante Établissement de liens entre le rendement réel des catégories d'actifs et l'inflation Élargissement des flux monétaires pour y intégrer la population type (tous les retraités, actifs) Rapport entre les politiques de placement, de rente et de capitalisation Autres pays : appui du modèle trimodal?