Ecoulement en conduite

CHAPITRE 7
'ECOULEMENT STATIONNAIRE EN CONDUITE DE SECTION
CONSTANTE D*UN FLUIDE VISQUEUX ÎSOCHORE (P = este)
PERTES DE CHARGE
© [E.RIEUTORD], [1985], INSA de Lyon, tous droits réservés.

VII.3
ECOULEMENT STATIONNAIRE EN CONDUITE DE SECTION CONSTANTE
D'UN FLUIDE VISQUEUX ISOCHORE (p = este) - PERTES DE CHARGE
L'étude des écoulements stationnaires en conduite de section
constante d'un fluide visqueux de masse volumique supposé invariable re-
vient, essentiellement, à la détermination des deux éléments les plus ca-
ractéristiques , le profil des vitesses et la perte de charge.
Ce sont des grandeurs directement liées à la viscosité du fluide,
laquelle, en présence de paroi, introduit un gradient de vitesse, donc des
contraintes de frottement entre les couches fluides.
Pour un nombre de Reynolds suffisant, ces mêmes gradients de vi-
tesse conduisent au développement de la turbulence.
Comme ces phénomènes, contraintes de frottement et turbulence,
dissipent de l'énergie mécanique du fluide, ils ont comme conséquence di-
recte une diminution, de l'amont à l'aval, de la charge moyenne dans chaque
section droite de conduite.
1 . RELATION ENTRE PERTES DE CliARGES EJ^gNTjAjyjTj_j^NGENTIELLE DE FROTTE-
MENT
1.1. Généralités
Pertes de charge et contrainte de frottement étant deux aspects
d'un même problème, l'on peut aisément exprimer l'un en fonction de l'au-
tre.
En effet, lsanalyse dimensionnelle permet d'écrire, pour une
conduite horizontale de diamètre D :
tf=*M)^ <»
^Âsf
E
AT Puisclue
z
et U sont constantes)
T0.
Cf
(Re, §) M!
(2)
r ni
avec U vitesse moyenne de débit jU ~ -5-I et où TO et C, sont respectivement
la contrainte tangentielle de frottement à la paroi et C le coefficient de
frottement pariétal.
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VII.A
A noter que, si l'écoulement est turbulent ou si la conduite
n'est pas rigoureusement de section circulaire, on considérera respective-
ment les valeurs moyennes des paramètres sur t et un diamètre moyen D ap-
H
pelé diamètre hydraulique et tel que
D -^
DH
X
où x est le périmètre de la conduite de section S.
Enfin,, si la conduite est inclinée^ il suffit simplement de rem-
placer dans (î) la pression p par la pression motrice p = p + pgz.
Lfapplication du théorème des quantités de mouvement à la surface
de contrôle indiquée ci-contre
conduits en projection sur OX, à la
relation :
PS
- (p * Ap) S - ~ A£
X
T0 ^*«**^^^
_£_•.' '<4r**9 î
,, ^ ~ Ap S ' "~~~7; ' -* L
dSOU ïn = TT • — <£-• '-£-*> K
0
A£
X
:
Et
A noter qu'avec la conven- '............ _.j v
tion de signe choisie, Tp, qui re- * ^~~" ' Jlg~ ^^ 'n-$,'
présente l'action de la paroi sur le ^ • a>»
fluide et -T*~ la variation de pression
par unité de longueur^ sont des quantités négatives»
Dans ce qui suitj tout comme cela a été fait implicitement dans
les relations (I) et (2), nous considérons essentiellement non pas la va-
leur algébrique de ces quantités, mais leur module? que nous noterons
'0-h.|.t£-|!f.
r;,,..
Compte tenu de ces remarques, on déduit? en notant que — = D (ou
X,
\ ,
D Ap •/ ' '
T _ := —- —-£_
0
4 A£
et, en reportant dans (I) et (2), on tire î
A « 4 C^ et ^ » A ï£
î po
Coïïime ~™"- est homogène au carré d'une vitesses on pose souvent
I/* • -' ")
quantité appelée vitesse de frottement,
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VII. 5
ce qui entraîne la relation
F = v/î «>
1.2. Variation de la contrainte de frottement locale T en fonction de
la distance à \a_ paroi
Par un raisonnement analogue au précédent appliqué à une surface de
contrôle cylindrique de rayon r, on a (voir figure ci-contre),
AP = 11 '
A£ r
et, comme on a également
A£
=
2TQ
A£ a
où a est le rayon de la conduite a = -^ .
On en déduit
JL_ - L
TO ~ a
ou encore en posant y = a - r
J_ = 1 - Z
TO a
ce qui montre que la contrainte diminue linéairement de la paroi au centre
de la conduite (y = a) où elle est nulle.
2. REGIME LAMINAIRE
Les équations de NAVIER-STOKES fournissent immédiatement les
éléments caractéristiques de l'écoulement, à savoir :
- un profil des vitesses paraboliques
—H-. , _4 avec u - 2 H fu - |)
u a^ max SI
max
v J
- un coefficient de pertes de charge X proportionnel au nombre de
Reynolds Re, donc une perte de charge croissant linéairement avec la vitesse
et la viscosité du fluide.
*=H -cRe-f
(5)
II en est de même pour le coefficient de frottement C^
s
—
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VII. 6
3. REGIME__TUiR^UIJENT
Pour les écoulements en conduite et comme on l?a déjà vu, le ré-
gime laminaire ne se maintient pas, sauf précaution spéciale, à des nom-
bres de Reynolds supérieurs a 2000, ce qui correspond, par exemple pour une
conduite de D ~ 0,10 .m où circule de l'eau (v = 10-*& m2/s), à une vitesse
limite d'environ 2 cm/s (environ 20 cm/s avec de l'air). Une telle vitesse
ne correspond pas à la pratique industrielle courante où les vitesses sont,
pour l'eau, de l'ordre de I à 2 m/s (réseau d'adduction d'eau par exemple).
On peut également noter que, si le régime laminaire se mainte-
nait à grande vitesse, les écoulements naturels dans les fleuves et riviè-
res aurait des vitesses énormes. Un calcul simple montre que, par exemple,
le Rhône, à la traversée de Lyon dont la pente moyenne du lit est de l'ordre
de 6«ÎO~"L% aurait en régime permanent (pente du lit égale à celle de la li-
gne d'eau) une vitesse supérieure à 1000 m/s, ce qui est absurde. Dans la
réalitës la vitesse est environ 2 m/s.
La turbulence augmente donc considérablement la dissipation
dsénergie et des recherches ont, été entreprises dans le but d'en retarder et
limiter le développements afin de réduire de façon sensible les pertes de
charges *
Certains produits (gomme de Guar, polyoxyde d'éthylène) constitués
de macromolécules ont ainsi été mis au point et commencent à être utilisés
comme additif dans I5eau employée pour la lutte contre les incendies, ceci
afin d'augmenter la portée des jets.
3 • 1 • j^ jLl2£Lïj^^
La viscosité drun fluide résulte essentiellement de l'échange, au
niveau moléculaire, de quantités en mouvement entre les différentes couches
fluides* Elle est donc directement liée à l'agitation moléculaire
*-fïT <-°'8'
HO 1TOJ
En écoulement turbulent, il se superpose à l'agitation molécu-
laire une agitation macroscopique résultant de la formation, dans le flui-
de, de domaines de dimensions finies {"balle fluide" selon la terminologie
de PRANDTL) en perpétuel renouvellement et dont les différents éléments, qui
ont une vitesse sensiblement identique, assurent entre les différentes cou-
ches fluides un important transport de quantité de mouvement (ainsi que de
chaleur), dsoù il découle une contrainte de frottement très supérieure à
celle du régime laminaire^ où seule intervient l'agitation moléculaire.
On peut calculer connue suit la contrainte de frottement ainsi
induite,
Considérons, pour cela9 un écoulement où la vitesse moyenne du
fluide a une seule composante u.
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