Fiche Analyse dimensionnelle Bac Panther Unité du Système

Fiche Analyse dimensionnelle
Bac Panther
Unité du Système International (u.S.I.)
Le Système International compte sept unités de base :
le mètre (m), le kilogramme (kg), la seconde (s), l’ampère (A), le kelvin (K), la mole (mol) et la candela (cd)
Ces unités sont censées quantifier des grandeurs physiques indépendantes.
De ces sept unités sont déduites les unités dérivées du Système International :
Grandeur Physique
Fréquence
Force
Pression
Energie
Puissance
Charge électrique
Tension électrique
Eclairement lumineux
Vitesse
Masse volumique
Unité
Symbole
hertz
Hz
newton
N
pascal
Pa
joule
J
watt
W
coulomb
C
volt
V
lux
lx
mètres par seconde
kilogrammes par m3
Expression en unités de base
s-1
kgms-2
kgm-1s-2
kgm2s-2
kgm2s-3
As
kgm2A-1s-3
cdm-2
ms-1
kgm-3
Etude dimensionnelle
1.
Méthode 1 : Utilisation des unités.
Recherchez l’unité de G :
On sait que : 𝐹 = G ∙
𝑚∙𝑚′
𝑑2
alors G =
𝐹∙𝑑 2
𝑚∙𝑚′
Réponse :
On remplace alors chaque grandeur par son unité :
𝑁∙𝑚2
𝑘𝑔2
= 𝑁 ∙ 𝑚2 ∙ 𝑘𝑔−2
La deuxième loi de newton peut s’écrire F = m.a alors en unités le Newton est équivalent à kg.m.s-2
L’unité de G dans le S.I. est alors : kg.m.s-2m2kg-2 soit m3kg-1s-2
2.
Méthode 2 : Utilisation des dimensions des grandeurs.
Dimensions
Ancienne notation
Nouvelle notation
Masse
[M]
dim (M)
Longueur
[L]
dim (L)
Temps
[T]
dim (T)
Documents de Physique-Chimie – M. MORIN
Application : Détermination de la dimension d’une constante de frottement.
Une équation reliant l’accélération et la vitesse d’un parachutiste lors d’un saut indique que :
a
k
vg
m
g : intensité du champ de pesanteur.
a : accélération subit par le parachutiste. (m.s-2)
v : vitesse du parachutiste (m.s-1).
m : masse du parachutiste (kg).
k : coefficient de frottement.
a.
A l’aide de l’expression du poids retrouver les unités de l’intensité du champ de pesanteur.
b.
Déterminer la dimension, puis l’unité de k dans le u.S.I.
Réponses :
a.
P = mg soit g =
𝑃
alors dim(g) =
𝑚
dim⁡(𝑃)
dim⁡(𝑀)
=
dim(𝑀).dim(𝐿).dim⁡(𝑇)2
dim⁡(𝑀)
= dim(L).dim(T)2
Soit en unités de base :⁡ms-2
b.
k a pour expression k = (g – a)∙
𝑚
alors dim (k) = dim(g-a). dim(M).dim(v)-1
𝑣
soit dim (k) : dim(L).dim(T)-2.dim(M).dim(L)-1.dim(T) = dim(M).dim(T)-1
soit en unité de base ms-2.
I.
𝑘𝑔
𝑚.𝑠 −1
= kg.s-1
L’analyse dimensionnelle au bac.
1.
Nouvelle Calédonie 2006 : Fonctionnement d’un sismomètre.
La période propre T0 des oscillations libres du solide est T0 =
2
m
. Vérifier la cohérence de cette expression par
k
une analyse dimensionnelle. k est la raideur du ressort (N.m-1)
Réponse :
On veut vérifier l’homogénéité de l’équation.
2 est une grandeur sans dimension.
1
La racine carré de x s’écrit 𝑥 2
La raideur du ressort a pour unité (N.m-1) se qui signifie qu’elle correspond au rapport d’une force par une
distance.
1
1
1
1
1
Alors dim(T) = 𝑑𝑖𝑚(𝑀)⁡2 .⁡𝑑𝑖𝑚(𝑘)⁡−2 = 𝑑𝑖𝑚(𝑀)⁡2 .⁡𝑑𝑖𝑚(𝐹)⁡−2 . 𝑑𝑖𝑚(𝐿)⁡2 .⁡
1
1
1
1
= ⁡𝑑𝑖𝑚(𝑀)⁡2 .⁡𝑑𝑖𝑚(𝑀)⁡−2 . 𝑑𝑖𝑚(𝐿)⁡−2 . dim(𝑇) . 𝑑𝑖𝑚(𝐿)⁡2 = dim(T)
La relation est bien homogène.
2.
USA 2005 : Chute d’un grêlon.

En réalité le grêlon est soumis à deux autres forces, la poussée d’Archimède FA et la force de frottement

fluide F proportionnelle au carré de la vitesse telle que F = K.v².
Par une analyse dimensionnelle, déterminer l’unité du coefficient K dans le Système International.
Réponse :
On a K =
𝐹
𝑣2
alors dim(K) = dim(F).dim(L)-2.dim(T)2 = dim(M).dim(L).dim(T)-2. dim(L)-2.dim(T)2
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Soit dim(K) = dim(M).dim(L)-1.
Soit en unité de base : kg.m-1
3.
Antilles 2008 : Chute d’une bille dans de la glycérine.
Dans le cas du fluide étudié, la force de frottement est proportionnelle à la vitesse de chute de la bille :
f = –6r v où  est la viscosité de la glycérine, r le rayon de la bille, v la vitesse de la bille.
À la suite d’une analyse dimensionnelle, donner l’unité de  dans le système international d’unité.
Réponse :
On a =
𝑓
6𝜋𝑟𝑣
alors dim() = dim(f).dim(L)-1.dim(L)-1.dim(T) = dim(M).dim(L).dim(T)-2. dim(L)-1.dim(L)-1.dim(T)
Soit dim() = dim(M).dim(T)-1. dim(L)-1
Soit en unité de base : kg.s-1.m-1
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