Baccalauréat S Physique-Chimie U.S.A. 2005 (extrait). Bac Panther

Baccalauréat S Physique-Chimie U.S.A. 2005 (extrait).
Bac Panther
Chute d’un grêlon.
En réalité le grêlon est soumis à deux autres forces, la poussée d’Archimède ⃗⃗⃗⃗
𝐹𝐴 et la force de frottement fluide 𝐹
proportionnelle au carré de la vitesse telle que F = K.v²
Par une analyse dimensionnelle, déterminer l’unité du coefficient K dans le Système International.
Chemin de résolution
F = K.v²
Avec les unités de base :
kg.m.s-2
N
F (kg.m.s-2)
F (N)
𝐾=
𝐹
𝑣2
K(
kg∙m∙s−2
m2 ∙s−2
K (kg.m-1)
)
v2
-1
v (m.s )
v2 (m2.s-2)
Avec les dimensions :
dim (F) = dim (M).dim (L).dim (T)-2
v2
dim (v) = dim (L).dim (T)-1
𝐹
dim⁡(𝑀)∙dim⁡(𝐿)∙𝑑𝑖𝑚(𝑇)−2
𝑣
𝑑𝑖𝑚(𝐿)2 ∙𝑑𝑖𝑚(𝑇)−2
𝑑𝑖𝑚 ( 2 ) =
dim (v)2 = dim (L)2.dim (T)-2
dim (K) = dim (M).dim (L)-1
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𝑚
On veut vérifier l’homogénéité de l’équation, c’est-à-dire, montrer que l’expression 2𝜋√
𝑘
s’exprime bien en seconde (s).
Rappels mathématiques :
Attention : 2 est exprimé en radian (rad) mais il s’agit d’une grandeur sans dimension. 2 n’apparaît pas dans
l’analyse dimensionnelle. 
𝟏
La racine carré de x s’écrit √𝑥 ou 𝒙𝟐
L’inverse de la racine carrée de x s’écrit
1
√𝑥
𝟏
ou 𝒙−𝟐
Rappels de Physique :
La raideur du ressort a pour unité (N.m-1) ce qui signifie qu’elle correspond au rapport d’une force par une distance k =
𝐹
𝑥
La deuxième loi de Newton peut s’écrire F = m.a, c’est-à-dire qu’une force est équivalente au produit d’une masse par une
accélération.
Analyse dimensionnelle avec les unités de base :
⁡𝑇0 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
T0 s’exprime en seconde (s)
2𝜋√
𝑚
𝑘
-
2 est sans dimension.
-
La racine carrée de la masse s’exprime en 𝐤𝐠 𝟐
k s’exprime en N.m-1, c’est-à-dire en kg.m.s-2.m-1 soit en kg.s-2
-
La racine carrée de l’inverse de k s’exprime donc en 𝐤𝐠 −𝟐 ∙ 𝐬
-
2𝜋√
𝟏
𝟏
𝑚
𝑘
𝟏
𝟏
s’exprime donc en 𝐤𝐠 𝟐 . 𝐤𝐠 −𝟐 ∙ 𝐬 c’est-à-dire en seconde (s)
Analyse dimensionnelle avec les dimensions :
1
𝑚
1
dim (2𝜋√ ) = 𝑑𝑖𝑚(𝑀)⁡2 .⁡𝑑𝑖𝑚(𝑘)⁡−2
𝑘
Sachant que dim (k) =
1
dim⁡(𝐹)
dim⁡(𝐿)
1
1
, on peut écrire que 𝑑𝑖𝑚(𝑘)⁡−2 = ⁡ 𝑑𝑖𝑚(𝐹)⁡−2 . 𝑑𝑖𝑚(𝐿)⁡2
1
𝑚
1
1
Alors dim (2𝜋√ ) = ⁡ 𝑑𝑖𝑚(𝑀)⁡2 . 𝑑𝑖𝑚(𝐹)⁡−2 . 𝑑𝑖𝑚(𝐿)⁡2
𝑘
1
1
De plus dim (F) = dim(𝑀)−2 . dim(𝐿)−2 . dim(𝑇)
𝑚
1
1
1
1
alors dim (2𝜋√ ) = 𝑑𝑖𝑚(𝑀)⁡2 .⁡dim(𝑀)−2 . dim(𝐿)−2 . dim⁡(𝑇).⁡𝑑𝑖𝑚(𝐿)⁡2
𝑘
𝑚
donc dim (2𝜋√ ) = dim⁡(𝑇)
𝑘
La relation est bien homogène.
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