Taux d`évolution 1 Variation absolue, taux d`évolution 2 Coefficient

Taux d’évolution
1
Variation absolue, taux d’évolution
Définition On considère deux nombres réels strictement positifs vI (valeur initiale) et vF (valeur finale).
On appelle variation absolue de vI à vF le nombre : vF − vI .
vF − vI
.
On appelle taux d’évolution (ou variation relative) de vI à vF le nombre : t =
vI
Note. — Un taux d’évolution peut être écrit sous forme de fraction, sous forme décimale ou sous forme de pourcentage.
Exemple. — On lit dans un journal :
« Le prix du produit X, qui est passé de 500 à 502 e, n’a pratiquement pas évolué. »
« Hausse très importante du prix du produit Y , qui est passé de 2 à 3 e. »
1. Calculer les variations absolues (en e) du prix des produits X et Y .
2. Écrire, sous forme de pourcentage, les variations relatives du prix des produits X et Y .
Quels résultats expliquent le point de vue du journal ?
Remarques
• Lorsque vI < vF , on parle d’augmentation.
Dans ce cas, le taux d’évolution est positif : c’est un taux d’augmentation / hausse.
• Lorsque vI > vF , on parle de diminution.
Dans ce cas, le taux d’évolution est négatif : c’est un taux de diminution / baisse.
2
Coefficient multiplicateur
Définition Si t est le taux d’évolution de vI à vF , alors :
×CM
Le nombre
CM = 1 + t
vF
= vI + t × vI
vF
= vI (1 + t).
vI
vF
est appelé coefficient multiplicateur de vI à vF .
Remarques
• Le coefficient multiplicateur est un nombre positif.
•
type d’évolution
taux d’évolution
coefficient multiplicateur
hausse
positif
supérieur à 1
baisse
négatif
inférieur à 1
Exemple. — On dit aussi bien « La production de blé d’un pays a été multipliée par 2,5 en dix ans » que « La
production de blé d’un pays a augmenté de 150 % en dix ans ».
150
= 1, 5, donc le coefficient
Ces deux phrases ont la même signification : le taux d’évolution est t = 150% =
100
multiplicateur est CM = 1 + t = 1 + 1, 5 = 2, 5.
3
Évolutions successives
Objectif. — Savoir déterminer le taux d’augmentation global après deux évolutions successives d’une quantité.
Exemple. — Retour sur l’exercice 9 de la fiche d’exercices.
−13, 16%
+21, 21%
médailles
médailles
médailles
en 2000
en 2004
en 2008
+5, 26%
Or : −13, 16 + 21, 21 = +8, 05%. Lors de deux évolutions successives, le taux d’évolution n’est pas égal à la somme
des taux d’évolution.
En revanche, avec les coefficients multiplicateurs :
CM1 = 1 −
13, 16
= 0, 8684
100
×0, 8684
21, 21
CM2 = 1 +
= 1, 2121
100
5, 26
= 1, 0526
CMG = 1 +
100
×1, 2121
médailles
médailles
médailles
en 2000
en 2004
en 2008
×1, 0526
On remarque que : 0, 8684 × 1, 2121 ≃ 1, 0526.
Théorème
On considère trois nombres strictement positifs v1 , v2 et v3 .
On note :
×CM1
t1 : taux d’évolution de v1 à v2
CM1 = 1 + t1
t2 : taux d’évolution de v2 à v3
T : taux d’évolution global de v1 à v3
CM2 = 1 + t2
CMG = 1 + T
Alors :
CMG = CM1 × CM2
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Évolution réciproque
v1
×CM2
v2
×CMG
v3
Récapitulatif des compétences
Vocabulaire des statistiques
Population, caractère, effectif, fréquence