DM n°1 : Optique Géométrique

Optimal Sup-Spé. Le n°1 en Sup-Spé
DM n°1 : Optique
Géométrique
Préparation ITPE Interne - Concours 2016-2017
On représente souvent le téléscope à l’aide de deux lentilles, un objectif et un oculaire. Ce modèle simple de doublet
de lentille permet de représenté un bon nombre d’instrument d’optique. Dans ce problème, on se propose d’étudier
d’abord ce doublet (voir le schéma), puis de regarder de quoi est réellement composé un objectif afin de se persuader
que le doublet que l’on utilise pour l’étude théorique n’est qu’un modéle simple. Enfin, on s’intéressera au périscope,
qui n’est autre qu’une forme évoluée de téléscope qui permet de regarder un objet sans qu’il ne nous voit.
On rappelle qu’une dioptrie pDq est une unité de vergence homogène à l’inverse d’une longueur. Un lentille de
focale 5cm possède donc une vergence de 20D.
I.
Le Téléscope
On considère donc dans un premier temps un systéme centré, d’axe optique p q composé de deux lentilles L1 ,
l’objectif, et L2 , l’oculaire, de vergences respectives 2D et 12D. On appelle d la distance entre le centre optique des
deux lentilles : O1 O2 “ d.
L2
L1
d
A1 F 2
↵
O1
F1 1
O2
↵1
↵1
F1 2
+
B1
1) Donner une condition sur d pour qu’un objet situé à l’infini puisse être observé sans accommoder par un œil
placé après l’objectif. On suppose dans la suite cette condition vérifiée.
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2) Construire alors l’image d’un objet placé avant le foyer objet de la première lentille en faisant apparaître sur
votre copie les traits de construction.
↵1
3) On définit le grossissement commercial comme Gc “ . Expliciter Gc en fonction des focales des lentilles. Est-ce
↵
cohérent avec l’instrument d’optique considéré ?
4) Sachant que le pouvoir séparateur angulaire maximal de l’œil est de " “ 3 ¨ 10´4 rad, peut-on distinguer la
nébuleuse du crabe avec ce dispositif ?
La nébuleuse du crabe possède un diamètre de 11 années lumières et se situe à 2 kiloparsecs de la Terre (le parsec
est une unité de longueur correspondant à 3, 1 ¨ 1016 m).
5) Le cercle optique est l’image de l’objectif par l’oculaire. Quel(s) intérêt(s) voyez-vous à placer l’œil sur le cercle
optique ? Déterminer la position et la taille du cercle optique en sachant que l’objectif a un rayon de 3cm.
6) À quelle(s) condition(s) peut-on représenter les lentilles minces comme sur le schéma ? Pensez-vous qu’elles soient
ici vérifiées ?
II.
Oculaire de Huygens
L’objectif et l’oculaire ne sont souvent pas constitué d’une seule lentille en pratique, comme nous l’avons modélisé
précédemment. Ici, on voit un exemple d’oculaire : l’oculaire de Huygens.
On garde l’objectif de vergence 2D et on rajoute à sa suite un oculaire composé de deux lentilles et d’un diaphragme
se situant entre les deux lentilles de l’oculaire. La lentille L2 possède une vergence de 6D, tandis que la vergence de
L3 est 12D. La distance entre ces deux lentilles est de 12.5cm.
L2
L3
L1
F2 O2
F1 2
F1 1
O1
+
F3 O3 F1 3
7) Où doit-on placer le diaphragme pour qu’il soit dans le plan focal objet de la lentille L3 ? On dispose désormais
le diaphragme de la sorte.
8) Déterminer la position O1 O3 qui permet de placer le foyer image de la lentille L1 dans le plan du diaphragme.
On dispose désormais l’objectif de la sorte.
9) Calculer la position de la pupille de sortie, image de l’objectif par les deux lentilles de l’oculaire. Est-elle plus
proche ou bien plus loin que dans le cas d’un oculaire composé d’une seule lentille ?
III.
Périscope
Le périscope est un instrument d’optique pour l’observation d’un objet distant, sans être vu depuis celui-ci. Il était
notamment utilisés dans les sous-marins pour regarder à la surface mais il peut aussi être utilisé pour observer un
objet caché par un obstacle. Le fonctionnement d’un tel outils ressemble à celui d’un téléscope. Cependant, la création
d’un tel instrument d’optique doit satisfaire à deux contraintes :
— Donner une image non-inversée d’un objet tout en faisant suivre un chemin oblique à la lumière ( pour ne pas
être vu).
— Posséder un champ de vision satisfaisant.
Un premier exemple de périscope est présenté sur la Figure 1.1-2). On voit cependant qu’il ne possède pas un champ de
vision accru : les rayons issus des objets trop excentrés se réfléchiront sur le premier miroir mais jamais sur le second.
La figure 1.1-1) montre une autre sorte de périscope pour lequel le rayon incident reste fixe et on l’on peut faire tourner
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le premier prisme pour obtenir des points de vue différents. Nous allons étudier en détail le fonctionnement de chacun
des blocs qui constitue ce second périscope.
Figure 1.1 – Deux périscopes différents.
III. 1
Prisme P
Dans le cas où le prisme P est placé de la même façon que sur la Figure 1.1-1), un rayon incident horizontal ressort
du prisme verticalement. On décide maintenant, sans toucher au faisceau incident, de tourner le prisme P d’un angle
↵ (voir figure 1.2).
10) Rappeler les lois de Descartes.
11) Donner l’angle
que fait le rayon émergeant avec la verticale. (voir figure 1.2)
𝐿𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑒 𝑃 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑖è𝑟𝑒𝑠.
𝛼
𝛿
Figure 1.2 –
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III. 2
Prisme de Dove D
i
i1
r
r1
Les angles à la base du prisme de Dove sont égaux. On définit la déviation comme l’angle entre le rayon incident
et le rayon émergent du prisme de Dove, elle est comptée positivement dans le sens trigonométrique.
12) Donner l’expression de la déviation d’un rayon arrivant avec une incidence i par rapport à la normale du premier
dioptre.
13) Que se passe-t-il lorsque le rayon incident arrive parrallèle à la base du prisme ?
14) En utilisant les résultats des deux parties précédentes, comment faut-il tourner le prisme de Dove D pour que le
rayon qui en émerge soit parfaitement vertical, lorsque le le prisme P est tourné d’un angle ↵ ?
III. 3
Prisme d’Amici A
Le prisme d’Amici situé en bout de circuit a pour but de redresser l’image afin de restituer la direction du rayon
incident (voir Figure 1.3). L’image suivante est uniquement présente pour compléter l’étude de l’instrument d’optique
considéré.
Figure 1.3 – Prisme d’Amici. (Source de l’image : Wikipédia)
15) Donner le nombre total de réflexions que subit la lumière dans le périscope. L’image est-elle renversée par rapport
à l’objet ?