Chapitre I Cinématique relativiste des interactions

Physique des Particules 2016-2017
Chapitre I
Cin´ematique relativiste des interactions/d´esint´egrations
des particules
L’´etude de la cin´ematique des interactions et des d´esint´egrations des particules re-
pose sur les propri´et´es combin´ees d’invariance par transformation de Lorentz et de
conservation du quadrivecteur ´energie-impulsion.
I) Cin´ematique relativiste (rappels)
I.1. Relativit´e retreinte
La th´eorie de la relativit´e restreinte introduite par A. Einstein en 1905 fut, entre
autre, motiv´ee par l’exp´erience de A. Michelson et E. Morley qui montr`erent que la
vitesse cde la lumi`ere est une constante ind´ependante du r´ef´erentiel d’observation
et qu’il n’existe aucune vitesse sup´erieure `a cdans aucun r´ef´erentiel. Elle a permis
de ce fait de r´esoudre le probl`eme de la non invariance des ´equations de Maxwell
sous la transformation de Galil´ee, en renon¸cant au principe de simultaneit´e absolue
i.e. de l’existence d’un temps absolu qui se traduisait par une vitesse infinie de
propagation des interactions.
La th´eorie de la relativit´e restreinte d’Einstein est construite `a partir de deux pos-
tulats:
1. Postulat de relativit´e (Galil´ee): Toutes les lois de la nature sont invariantes
lorsqu’on passe d’un r´ef´erentiel inertiel1`a un autre r´ef´erentiel inertiel (i.e. en
mouvement uniforme par rapport au premier),
2. Universalit´e de la vitesse de la lumi`ere (Einstein): La vitesse de la lumi`ere est
la mˆeme dans tous les r´ef´erentiels inertiels.
`
A ces postulats, Einstein ajouta deux hypoth`eses valables dans tous les r´ef´erentiels
inertiels:
•Isotropie de l’espace i.e. invariance par rotation dans l’espace,
•Homog´en´eit´e de l’espace et du temps i.e. invariance par translation dans
l’espace et dans le temps.
I.2. Formalisme quadri-dimentionnel
Le formalisme quadri-dimentionnel utilis´e en relativit´e restreinte repose sur la simil-
itude entre les notions de temps et d’espace. L’espace utilis´e est celui de Minkowski.
1Un r´ef´erentiel inertiel, on dit aussi r´ef´erentiel Galil´een, est un r´ef´erentiel dans lequel tout objet
ne subissant aucune force se d´eplace en ligne droite avec une vitesse constante. Tout r´ef´erentiel en
translation rectiligne uniforme par rapport `a un r´ef´erentiel inertiel est un r´ef´erentiel inertiel.
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C’est un espace quadri-dimentionnel dans lequel le vecteur position (quadrivecteur
espace-temps), par exemple, est repr´esent´e par:
xµ= (x0, x1, x2, x3)≡(x0, ~x) avec x0=ct et ~x = (x1≡x, x2≡y, x3≡z)
Dans l’espace de Minkowski la longueur d’un quadrivecteur espace-temps est d´efinie
par2:
x2=gµν xνxµ=xµxµ= (x0)2−~x2
o`u gµν est le tenseur m´etrique de l’espace de Minkowski d´efini par:
gµν 1I = 
1 0 0 0
0−1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
Les quadrivecteurs xµet xµsont appel´es respectivement quadrivecteur contravariant
(indice µen haut) et quadrivecteur covariant (indice µen bas). Ils sont reli´es l’un
`a l’autre par la relation:
xµ=gµν xν= (x0,−~x)
`
A noter aussi qu’on peut d´efinir une m´etrique inverse gµν telleque:
gµν gνλ =δµ
λ(symbole de Kronecker)
Il s’en suit que gµν est donn´ee par:
gµν 1I = 
1 0 0 0
0−1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
On a alors pour tout quadrivecteur aµ, les relations suivantes:
aµ=gµν aν
et aµ=gµν aν
Le produit scalaire de deux quadrivecteurs aet bdans l’espace de Minkowski est
d´efini par:
a·b=aµbµ=gµν aνbµ=a0b0−~a ·~ b
de mˆeme a·b=aµbµ=aµgµν bν=a0b0−~a ·~ b
2Nous adoptons ici et pour la suite de ce cours la convention de sommation dite d’Einstein,
dans laquelle tout indice r´ep´et´e correspond `a la sommation sur toutes les valeurs de cet indice.
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I.3. Transformation de Lorentz
Un des r´esultats importants de la relativit´e restreinte est l’invariance des lois de la
physique lorsqu’on passe d’un r´ef´erentiel inertiel `a un autre r´ef´erentiel inertiel. La
tranformation de Lorentz permet de relier les coordonn´ees d’espace-temps x′µd’un
r´ef´erentiel inertiel R′`a ceux xνd’un autre r´ef´erentiel inertiel R. En effet on a:
x′µ= Λµ
νxν
o`u Λµνest une matrice 4 ×4 param´etrisant la transformation de Lorentz. C’est une
matrice qui n’est pas arbitraire. En effet dans le cas o`u la direction de mouvement
de R′par rapport `a Rest, par exemple, suivant l’axe x1(premi`ere coordonn´ee
d’espace) Λµνest donn´ee par:
Λµ
ν=
γ−γβ 0 0
−γβ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
o`u β=v
cet γ=1
√1−β2, avec vla vitesse de R′par rapport `a Ret cla vitesse de la
lumi`ere.
remarque: On utilise aussi pour param´etrer la matrice de Lorentz la notion de ra-
pidit´e qui correspond `a l’angle hyperbolique yd´efinit par:
y=1
2ln E+pL E−pL
o`u pLest la composante longitudinale du vecteur impulsion i.e. la composante suiv-
ant la direction de mouvement3du r´ef´erentiel inertiel R′par rapport au r´ef´erentiel
inertiel R.
`
A partir de cette d´efinition, il est facile de montrer que (le faire `a titre d’exercice):
β= tanh yet γ= cosh y⇒γβ = sinh y
Les cons´equences de la tranformation de Lorentz sont les suivantes:
1. Deux ´ev´enements se produisant au mˆeme instant `a diff´erentes positions dans
un r´ef´erentiel inertiel Rne se produisent pas au mˆeme instant dans un autre
r´ef´erentiel inertiel R′. En effet on a:
t′
A=t′ B+γβ
c(~xB−~xA)
En d’autres termes les ´ev´enements qui sont simultan´es dans un r´ef´erentiel
inertiel ne le sont pas dans un autre r´ef´erentiel.
3Dans l’expression de la matrice Λµν, on a choisi la direction de mouvement suivant la com-
posante x1.
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2. Si un objet mesure une longueur Ldans un r´ef´erentiel inertiel Ro`u il est au
repos, sa longueur L′dans un autre r´ef´erentiel inertiel R′est reli´ee `a Lpar:
L′=L
γ
Comme le facteur γest toujours sup´erieur `a 1, la longueur L′est donc plus
petite que L. Par cons´equent la longueur d’un object en mouvement est r´eduite
par un facteur γpar rapport `a sa longueur dans un r´ef´erentiel o`u il est au repos.
C’est ce qu’on appelle l’effet de la contraction des distances.
remarque: La contraction n’a lieu que dans la direction du mouvement.
3. Le temps T′mesur´e par une horloge en mouvement est reli´e au temps Tqu’elle
aurait mesur´e si elle ´etait au repos par:
T′=γT
Le temps coule donc plus lentement dans une horloge en mouvement que
dans une horloge au repos. C’est ce qu’on appelle le ph´enom`ene de dilata-
tion du temps. Ce ph´enom`ene, est, comme on le verra, tr`es utile lorsqu’on
veut mesurer la dur´ee de vie moyenne d’une particule.
Un autre r´esultat important de la relativit´e restreinte est l’invariance du produit
scalaire entre quadrivecteurs:
a·b=aµbµ=gµν aνbµ=a0b0−~a ·~ b
ce produit, qui est une quantit´e scalaire, poss`ede la mˆeme valeur quelque soit le
ref´erentiel inertiel o`u elle est mesur´ee ou calcul´ee. Cette quantit´e s’appelle un in-
variant de Lorentz. Dans le cas particulier o`u aµ=bµ=xµ, la quantit´e invariante
x2n’est pas n´ecessairement positive et tout quadrivecteur xµest dit:
•de type temps si x2>0,
•de type espace si x2<0,
•de type lumi`ere si x2= 0
I.3.1 Contrainte sur la matrice de transformation de Lorentz
L’invariance de Lorentz du produit scalaire entre deux quadrivecteurs, traduit la
conservation de cette quantit´e lorsqu’on passe d’un r´ef´erentiel inertiel R`a un autre
r´ef´erentiel inertiel R′. En effet si a′et b′sont deux quadrivecteurs mesur´es dans un
r´ef´erentiel inertiel R′et aet bsont les mˆemes quadrivecteurs mesur´es dans un autre
r´ef´erentiel inertiel R, alors on a:
a′·b′=a·b
Cette relation impose une contrainte sur la matrice de transformation de Lorentz
Λµν. En effet on a:
a′·b′=gµν a′µb′ν=gµν Λµ
ρaρΛν σbσ=gµν Λµ ρΛν σaρbσ
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or comme a′·b′=a·b, on alors:
gµν Λµ
ρΛν σaρbσ=gρσaρbσ
Soit4:
gµν Λµ
ρΛν σ=gρσ
En multipliant cette derni`ere relation par gρκ, il est facile de montrer que:
Λκ
νΛν σ=gρκgρσ =δκ σ
Cette derni`ere relation constitue une contrainte fondamentale sur la matrice de
transformation de Lorentz.
remarque: Une cons´equence directe de ce r´esultat est5: det(Λ) = ±1.
I.3.2 Transformations de Lorentz particuli`eres
Parmi les transformations de Lorentz avec det(Λ) = −1, il existe deux transforma-
tions simples qu’on rencontre tr`es souvent en physique des particules. Il s’agit du
renversement du temps (inversion du signe de la coordonn´ee temps), dont la matrice
de transformation de Lorentz est donn´ee par:
Tµ
ν=
−1000
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
=−gµν
et la transformation dite de parit´e qui consite `a inverser les coordonn´ees d’espace et
dont la matrice de transformation de Lorentz est donn´ee par:
Pµ
ν=
1 0 0 0
0−1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
=gµν
Ces transformations correspondent `a des transformations de Lorentz dites discr`etes
par opposition aux transformations de Lorentz continues qui repr´esentent l’ensemble
des transformations de rotation et de boost.
remarque 1: Lorsqu’on parle de transformation de Lorentz, on fait, par d´efaut,
toujours r´ef´erence aux transformations de Lorentz continues. Ces derni`eres sont
des transformations avec det(Λ) = +1.
remarque 2: Toutes les lois de la physique sont invariantes sous les transformations
de Lorentz continues. Ceci n’est pas toujours le cas sous les transformations de
4Sous forme matricielle cette relation s’´ecrit: ΛTgΛ = g. En effet on a: gµν ΛµρΛνσ=
Λµρgµν Λνσ= (ΛT)µ
ρgµν Λνσ≡(ΛTgΛ)ρσ.
5R´esultat que l’on peut obtenir `a partir de la propri´et´e det(XY )=det(X)·det(Y), ∀les matrices
Xet Y.
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