cours sur la logique formelle

COURS SUR LA LOGIQUE FORMELLE
Tristan Canale et Geoffrey Just
24 mai 2016
Nous voudrions particulièrement remercier M. Bulois, Maitre de Conférence
en Mathématiques à l’Université Jean Monnet de Saint-Etienne, d’abord pour
nous avoir trouvé ce sujet des plus intéressants, mais également pour tout le
temps qu’il a bien voulu nous consacrer au cours de ce semestre, aussi bien
face à nous, que devant nos ébauches de travail, et enfin, pour son indéfectible
patience à notre égard.
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Table des matières
1 Introduction 3
2 Première partie : les fondements de la logique mathématique 4
2.1 Définitions préalables ......................... 4
2.2 Axiômes et règles d’inférence .................... 6
2.3 Utilisation des tables de vérité ................... 6
3 Deuxième partie : le raisonnement au-delà la table de vérité 9
3.1 Raisonnement sur les tables de vérité ................ 9
3.2 Raisonnement par déduction .................... 10
4 Troisième partie : le Théorème de complétude 12
4.1 Fondations .............................. 12
4.2 Théorème et Démonstration ..................... 13
4.2.1 Sens direct .......................... 13
4.2.2 Préliminaires au sens indirect ................ 15
4.2.3 Sens indirect ......................... 18
5 Bibliographie 19
2

1 Introduction
Il est fréquent d’entendre "c’est logique" lorsque quelqu’un tente de partager
son point de vue. Cette expression qui semble anodine, demande pourtant à ceux
qui l’entendent d’adopter le raisonnement de celui qui la dit. Typiquement, cette
expression sous-entend une évidence dans les propos qui la précède, mais en
réalité derrière cela se cache tout un raisonnement, qu’il soit par déduction, par
l’absurde, ou par élimination. Les points de logique mathématique que nous
allons ici développer peuvent être vus comme la formalisation de cette réflexion
qui nous semble "logique".
Ce fut Aristote qui, le premier, commença à théoriser la logique formelle,
à ceci près que sa logique était beaucoup plus générale, et englobait tous les
domaines scientifique. En réalité la logique d’Aristote avait plus un but philo-
sophique. C’est plus Euclide qui écrivit les premiers fondements de la logique
formelle mathématique dans son œuvre : "Les éléments" vers 300 avant Jésus
Christ. Mais la logique formelle moderne que nous allons étudier est relative-
ment récente, elle ne date que du XXème siècle, elle fut introduite par Alfred
Tarski dans son œuvre "Le concept de vérité dans les langages formalisés".
Ce cours a pour but d’énoncer et de démontrer le théorème de complétude.
Pour ce faire, nous allons tout d’abord présenter en détail les bases et le vo-
cabulaire de la logique formelle, de sorte à bien illustrer toutes les notations
qui figureront dans le théorème de complétude et sa démonstration, ainsi que
l’utilisation remarquable des tables de vérité pour déterminer la véracité d’un
énoncé "simple". Ensuite nous verrons les fondements et l’utilisation du raison-
nement par l’absurde en logique formelle et du raisonnement par déduction. Ces
raisonnements logiques auront pour but de remplacer la tables de vérité qui sont
rapidement mal adaptées pour des énoncés complexes. Et enfin, nous présente-
rons le théorème de Complétude et nous réaliserons sa démonstration dans le
sens direct et indirect tout en vous exposant les postulats qui sont nécessaires
a son bon fonctionnement.
3

2 Première partie : les fondements de la logique
mathématique
2.1 Définitions préalables
La théorie de la logique mathématique fait appel à un vocabulaire et des sym-
boles particuliers, dont les principaux, ceux dont nous nous servirons plus tard,
vont être défini ici.
Définition 1. Une proposition atomique ou variable est une affirmation simple
soit vraie, soit fausse.
Définition 2. Une proposition est composée de propositions atomiques, reliées
entre-elles par des connecteurs logiques (⊃,¬,∨,∧) On va revenir sur ce qu’est
les connecteurs logiques tout de suite.
Définition 3. Une table de vérité est un tableau donnant la vérité d’une pro-
position (vraie V ou fausse F). Elle peut faire office de démonstration, nous
allons y revenir plus tard dans cette partie.
Comme on l’a expliqué précédemment, des propositions atomiques liées entre
elles par des connecteurs logiques forment une proposition plus complexe.(Cela
permet d’obtenir des énoncé plus varié mais facile à étudier à l’échelle atomique).
Nous allons maintenant vous définir ces différents connecteurs :
•La négation ¬sera employée devant une proposition pour signifier "non
P". Sa table de vérité est fausse lorsque P est vrai, et inversement.
Exemple.La table de vérité de Pet ¬Pest donc :
P¬P
V F
F V
•Le symbole ∧signifie "ET" et s’appelle la conjonction. Alors A∧Bn’est
vrai que lorsque A et B sont tous deux vrais.
En effet, la table de vérité de A∧Best :
A B A ∧B
V V V
V F F
F V F
F F F
4

•Le symbole ∨signifie "OU" et s’appelle la disjonction inclusive. Alors A∨B
n’est faux que lorsque A et B sont tous deux faux.
En effet, la table de vérité de A∨Best :
A B A ∨B
V V V
V F V
F V V
F F F
•Le symbole ⊃C’est un opérateur logique binaire qui traduit le SI...ALORS...
du langage naturel. L’énoncé si Aalors Bs’écrira A⊃Bet pourra se lire
"Aimplique B". Voici sa table de vérité :
A B A ⊃B
V V V
V F F
F V V
F F V
On remarque que si B est faux et que A⊃Best vrai, on peut en conclure
que A est faux.
•Le symbole ⊂⊃ est un opérateur binaire qui traduit le "EQUIVALENT"
du langage courant, et se lit " A équivaut à B". Cela signifie que A et B
ont la même valeur de vérité. (seront vraies et fausses en même temps).
Voici sa table de vérité :
A B A ⊂⊃ B
V V V
V F F
F V F
F F V
Définition 4. Un modèle Mattribue à des propositions atomiques un état,
vrai ou faux.
Exemple.A=V,B=V,C=Fest un modèle dans lequel les propositions A
et B sont vraies, et C est fausse.
Définition 5. Un axiome est une proposition que l’on admet, et sur laquelle
on base tous nos raisonnements logiques.
Définition 6. Une règle d’inférence est une règle qui permet de déduire (ou
’dériver’) des propositions, à partir d’autres propositions. On notera alors A→
Bsi l’on peut déduire B de A.
Définition 7. Une proposition est dite prouvable ou dérivable, et elle sera
précédée de `, lorsque que l’on peut la dériver, à l’aide de règles d’inférences, à
partir d’un ou de plusieurs axiomes.
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