1 Introduction
Il est fréquent d’entendre "c’est logique" lorsque quelqu’un tente de partager
son point de vue. Cette expression qui semble anodine, demande pourtant à ceux
qui l’entendent d’adopter le raisonnement de celui qui la dit. Typiquement, cette
expression sous-entend une évidence dans les propos qui la précède, mais en
réalité derrière cela se cache tout un raisonnement, qu’il soit par déduction, par
l’absurde, ou par élimination. Les points de logique mathématique que nous
allons ici développer peuvent être vus comme la formalisation de cette réflexion
qui nous semble "logique".
Ce fut Aristote qui, le premier, commença à théoriser la logique formelle,
à ceci près que sa logique était beaucoup plus générale, et englobait tous les
domaines scientifique. En réalité la logique d’Aristote avait plus un but philo-
sophique. C’est plus Euclide qui écrivit les premiers fondements de la logique
formelle mathématique dans son œuvre : "Les éléments" vers 300 avant Jésus
Christ. Mais la logique formelle moderne que nous allons étudier est relative-
ment récente, elle ne date que du XXème siècle, elle fut introduite par Alfred
Tarski dans son œuvre "Le concept de vérité dans les langages formalisés".
Ce cours a pour but d’énoncer et de démontrer le théorème de complétude.
Pour ce faire, nous allons tout d’abord présenter en détail les bases et le vo-
cabulaire de la logique formelle, de sorte à bien illustrer toutes les notations
qui figureront dans le théorème de complétude et sa démonstration, ainsi que
l’utilisation remarquable des tables de vérité pour déterminer la véracité d’un
énoncé "simple". Ensuite nous verrons les fondements et l’utilisation du raison-
nement par l’absurde en logique formelle et du raisonnement par déduction. Ces
raisonnements logiques auront pour but de remplacer la tables de vérité qui sont
rapidement mal adaptées pour des énoncés complexes. Et enfin, nous présente-
rons le théorème de Complétude et nous réaliserons sa démonstration dans le
sens direct et indirect tout en vous exposant les postulats qui sont nécessaires
a son bon fonctionnement.
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