Éléments pour une heuristique transcendantale.

Éléments pour une heuristique transcendantale.
Nouvelles lumières sur l’art de problématiser
Arnaud Valence
Université Rome 3 - Lyon 3
Department of Education
Doctorat «Culture Education Communication»
[email protected]
La vérité est qu’il s’agit, en philosophie et même ailleurs, de
trouver le problème et par conséquent de le poser, plus encore
que de le résoudre. Car un problème spéculatif est résolu dès
qu’il est bien posé. [...] Mais poser le problème n’est pas
simplement découvrir, c’est inventer. La découverte porte sur ce
qui existe déjà, actuellement ou virtuellement; elle était donc
sûre de venir tôt ou tard. L’invention donne l’être à ce qui n’était
pas, elle aurait pu ne venir jamais. Déjà en mathématique [...]
l’effort d’invention consiste le plus souvent à susciter le
problème, à créer les termes en lesquels il se posera. Position et
solution du problèmes sont bien près ici de s’équivaloir: les vrais
grands problèmes ne sont posés que lorsqu’ils sont résolus1.
Avec ces mots d’une rare lucidité, Bergson clamait le besoin de ne pas se satisfaire de simplement
évaluer les problèmes (les résoudre ou démontrer leur
non résolubilité). Il nous invitait à problématiser,
c’est-à-dire à «porter l’épreuve du vrai et du faux au
delà des solutions, dans les problèmes eux-mêmes».
Cette difficulté a égaré nombre de philosophes, et le
1
H. Bergson, La pensée et le mouvant, Paris, P.U.F., 1969, pp.
51-52.
EDUCAZIONE. Giornale di pedagogia critica, III, 1 (2014), pp. 99-120.
ISSN 2280-7837 © 2014 Editoriale Anicia, Roma, Italia.
Arnaud Valence
grand mérite de Bergson est d’avoir tenté une détermination intrinsèque du faux dans l’expression
«faux problème».
Pourtant, lorsqu’on explore le passé, l’histoire
donne à voir quelques exemples marquants de reproblématisations radicales. Contentons-nous de donner trois exemples, dans trois domaines différents,
avant de tenter de prolonger les perspectives laissées
par ces quelques balises.
Abel et Galois, ou la naissance de l’algèbre moderne
Le premier exemple est tiré des mathématiques, et
plus exactement de l’algèbre. Si l’histoire de la théorie
des équations algébriques remonte à la nuit des temps,
on peut dire que la discipline acquiert sa maturité avec
la naissance au XVIIIe siècle du concept de groupe. À
l’époque, l’état de l’art regroupe les travaux de Lagrange (équations cubiques et quartiques), Ruffini
(équations quintiques) ou Vandermonde (équations cyclotomiques). Mais les démonstrations restent encore
lacunaires et manquent le rôle fondamental de la notion
de structure de groupe. Gauss est le premier à percevoir
l’importance de la structure du groupe des racines, mais
en étudiant le seul cas particulier des équations cyclotomiques, il manque de mettre à profit son intuition à
l’étude générale de la théorie des équations. Progressivement, résultat d’impossibilité après résultat lacunaire,
les mathématiciens mettent à jour un cercle vicieux
qu’Abel sera le premier à briser: «on se proposait de
résoudre les équations sans savoir si cela était possible.
(...) Au lieu de demander une relation dont on ne sait
100
Éléments pour une heuristique transcendantale
pas si elle existe ou non, il faut se demander si une
telle relation est en effet possible»2. Abel montre ainsi
l’impossibilité de la résolution d’une équation polynomiale dans le cas général, mais n’établit pas de condition nécessaire et suffisante de résolubilité. C’est à
Galois que revient le privilège de trouver ces conditions, en revenant à l’intuition de Gauss sur le rôle de
la structure du groupe des racines. Il apparaît alors au
grand jour que l’objet du problème n’est pas la
résolution des équations mais la détermination des
conditions qui permettent leur résolution et qui réside
dans la nature abstraite du groupe de l’équation.
Avec Abel et Galois se produit ainsi un complet
renversement de la théorie des équations, non sans une
certaine division du travail. Avec Abel, le renversement intéresse la théorie des équations comme théorie
des problèmes: on a pu dire, rappelle Deleuze, que la
posture d’Abel surpassait la Kritik der reinen Vernunft,
dans son ambition de briser le cercle de l’intérieur (cfr.
infra). Avec Galois se produit pour la première fois
dans l’histoire des mathématiques le triomphe des
structures abstraites sur les approches concrètes. Avec
Galois s’instaure une pratique des mathématiques plus
profonde et plus féconde, dont on a pu dire qu’elle
inaugure l’algèbre moderne.
La philosophie transcendantale de Kant-Maïmon
Je prendrai mon second exemple dans la philosophie kantienne. Rappelons le principe de transcendantalisme chez Kant: «J’appelle transcendantale toute
2
N. Abel, Oeuvres complètes, Christiania, éd. Sylow et Lie, 2e
éd., 1881, p. 24.
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connaissance qui ne porte point en général sur les objets mais sur notre manière de les connaître, en tant
que cela est possible a priori»3. Le transcendantal qualifie aussi bien l’étude des conditions de possibilité
d’une compétence que le produit de cette étude. On
pourra respectivement parler de méthode transcendantale
et de connaissance transcendantale. La méthode transcendantale a vocation à s’appliquer de façon systématique à toute forme de compétence: la sensibilité
(esthétique transcendantale), l’entendement (analytique
transcendantale), la méthode (méthodologie transcendantale), la morale (liberté transcendantale). Cette
étude systématique des conditions de possibilité est un
véritable bouleversement dans l’art de philosopher, car
elle renvoie dos-à-dos empirisme et rationalisme. Faute
de jugement a priori bien défini, le premier ne pouvait
déboucher que sur un savoir prisonnier (de nos sens).
Faute d’un cogito véritablement construit par l’expérience (plutôt que reçu par intuition), la seconde ne
pouvait déboucher que sur un savoir spéculatif.
Cependant, la révolution copernicienne de Kant
reste d’une certaine façon impure. Pour sortir des «illusions transcendantales» qui divisent les traditions philosophiques, Kant établit son enquête transcendantale sur
une disjonction entre la sensibilité et l’entendement.
Mais comment un concept peut-il s’appliquer à une intuition (question quid juris)? «Une telle dualité nous
renvoyait, explique Deleuze4, au critère extrinsèque de
la constructibilité, et nous laissait dans un rapport
3
I. Kant, Kritik der reinen Vernunft, 2e éd. 1787, éd. Cassirer,
III; trad. fr. par A. Tremesaygues et B. Pacaud, Critique de la Raison
pure, 3e éd. Paris, P.U.F., 1963, p. 68.
4
G. Deleuze, Différence et répétition, Paris, P.U.F., 10ème éd.,
2000, pp. 224-225.
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Éléments pour une heuristique transcendantale
extérieur entre le déterminable (l’espace kantien
comme pur donné) et la détermination (le concept en
tant que pensé) (...) d’où la réduction de l’instance
transcendantale à un simple conditionnement, et le renoncement à toute exigence génétique». La philosophie de Kant n’est donc pas «constructiviste de part en
part» comme le prétend par exemple Rockmore, et trahirait même un reliquat d’empirisme humien. «Kant
définit encore la vérité d’un problème par sa possibilité
de recevoir une solution»5. Pour briser ce cercle vicieux, il faut surmonter l’hétérogénéité kantienne et internaliser la sensibilité comme une fonction (incomplète) de l’entendement. C’est Maïmon qui mènera
cette révision fondamentale du programme kantien.
La théorie du choix rationnel et l’axiomatique de Savage
J’emprunterai le dernier exemple aux sciences
humaines, et plus précisément à la théorie du choix rationnel. Qu’est-ce qu’une action rationnelle? C’est une
vieille question que se posait déjà Aristote, dans le
livre G de la Métaphysique, quand il envisage le rejet
du principe de contradiction. Avec l’émergence de la
théorie de l’action, la question se fait plus précise et
rencontre un obstacle majeur: de quoi parle-t-on, de la
rationalité de la fin ou de celle des moyens de l’action?
Une étape importante est franchie avec Max Weber,
qui distingue une rationalité instrumentale opérant sur
les moyens (Zweckrationalität), et une rationalité renvoyant au choix de la finalité elle-même. Sans le savoir, Weber met à jour l’incomplétude de la théorie,
puisque la rationalité des moyens ne peut s’exercer
5
Ibid., p. 209.
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Arnaud Valence
sans finalité déjà là, et son erreur aura été de tenter de
la dissoudre aussitôt dans une métathéorie. Weber va
en effet définir une notion d’action rationnelle en finalité (Wertrationalität) englobant à la fois la rationalité
des moyens et celle de la fin. Mais comment peut-on
faire cohabiter ces deux rationalités? Ne perdons pas et
l’une et l’autre dans cette entreprise? Weber avouera
lui-même ses doutes, parlant de «guerre des dieux»
entre les deux critères de rationalité.
Le tournant décisif se produit en 1954 à la faveur
d’un ouvrage retentissant de Savage6. Prolongeant les
travaux de précurseurs comme Ramsey, Finetti, ou von
Neumann et Morgenstern, Savage montre que l’incomplétude de la rationalité est irréductible, et qu’il
faut changer de perspective. La rationalité de l’action
est redéfinie comme cohérence interne des préférences
de l’agent, lesquelles comprennent la fin et les moyens.
En d’autres termes, la rationalité devient une propriété à
satisfaire par les causes externes (contraintes sur les
préférences) et non une propriété satisfaite par les raisons internes (le choix de l’action). La théorie du choix
rationnel prend alors un tournant axiomatique: l’individu
est rationnel si ses préférences respectent des contraintes
de cohérence cristallisées par une série d’axiomes (complétude, transitivité, continuité, dominance, indépendance). Cette reformulation axiomatique constitue une
forme d’aboutissement de la théorie du choix rationnel
– la «crowning glory of choice theory» l’écrira Kreps –
comme ultime étape du programme de réduction de la
rationalité instrumentale à une pure cohérence interne.
6
Cfr. L. Savage. The Foundations of Statistics. New York, John
Wiley, 1954.
104
Éléments pour une heuristique transcendantale
L’obstacle épistémologique en question
Ces trois exemples ont marqué l’histoire des
sciences parce qu’ils donnent à voir comment la
science s’est héroïquement sortie d’un problème mal
posé, réalisant la «catharsis intellectuelle et affective»
implorée par Bachelard. Dès 1934, Bachelard7 parlait
de la nécessité d’approfondir la notion d’obstacle
épistémologique, pour donner sa pleine valeur à la
pensée scientifique et à son histoire. La notion d’obstacle épistémologique est multiple et transdisciplinaire.
Elle peut être étudiée au sein du développement historique de la pensée scientifique, comme «psychanalyse
de la connaissance objective», aussi bien qu’en matière
d’apprentissage et d’éducation. On a pu distinguer les
obstacles proprement heuristiques (liés à la simple finitude du savoir acquis), les obstacles ontogénétiques
(les schèmes de pensée spontanés que Bachelard
nommait le «sens commun»), les obstacles didactiques
(liés à l’académisme du système éducatif), ou encore
les obstacles culturels (véhiculées plus généralement
par l’environnement sociétal et culturel). Sans doute, la
plupart des obstacles épistémologiques relèvent d’une
savante alchimie de causes. Mais, comme le reconnait
déjà Bachelard, le sens commun représente l’un des
premiers obstacles à surmonter. C’est d’abord parce
qu’un savoir va à l’encontre du «bon sens» qu’il ne fait
pas école, et par suite, c’est parce qu’il ne fait pas
école qu’il n’est pas diffusé par le système éducatif,
sociétal, culturel. Arrêtons-nous sur cette notion d’obstacle ontogénique.
7
Cfr. G. Bachelard, La formation de l’esprit scientifique. Contribution à une psychanalyse de la connaissance objective, Paris, Vrin,
librairie philosophique, 1967.
105
Arnaud Valence
Selon Piaget, les obstacles ontogéniques (ou ontogénétiques) sont des connaissances spontanées apparaissant naturellement au cours du développement neurophysiologique du sujet. Lorsque Piaget développe
son épistémologie génétique, il la conçoit d’emblée de
façon transdisciplinaire. Doivent s’y mêler, dans une
perspective clairement constructiviste, aussi bien
l’épistémologie, la psychologie génétique, la logique,
la systémique, l’histoire des sciences, la linguistique8.
En ce qui concerne l’appareillage formel, il faut noter que la théorie des systèmes est la terre d’élection du
constructivisme par excellence. C’est aussi vrai dans sa
version américaine – la cybernétique principalement
axée autour de la fondation Macy (Mc Cullock, Wiener, Ashby, von Foerster...) que dans sa version européenne – le structuralisme épistémologique représenté par Piaget et Thom, après des précurseurs
comme Valéry ou Bachelard, voire Vico (qualifié de
«premier vrai constructiviste» par von Glasersfeld).
Sans doute mieux que toute autre discipline, la théorie
générale du système a permis de parachever une idéeclé qui a mis près deux mille ans à accoucher: la distinction fondamentale entre l’analyse et la conception.
Alors que l’analyste est celui qui «est capable de comprendre le problème qui se pose», comme l’écrivait
Arsac, le concepteur est celui qui sait que les problèmes
ne se posent pas tout seuls, et qu’il doit être capable de
les poser. C’est tout simplement l’enjeu central de la
théorie générale du système, comme l’ont vu les
systémiciens les plus pénétrants: «Ce qui comptera
désormais, dans les sciences comme dans les cultures,
8
On sait que Piaget n’a pas manqué d’appliquer cette méthode
de travail alors qu’il dirigea le Centre international d’Épistémologie
génétique à Genève.
106
Éléments pour une heuristique transcendantale
ce n’est pas le modèle, c’est la modélisation» affirme
ainsi Hutchinson, et Churchman définira dès 1964 la
théorie générale du système comme «la méthodologie
de recherche du système général».
La systémique a eu le mérite d’ouvrir un espace
méthodologique insoupçonné, avec à la clé une profusion de concepts pertinents9. Mais un corpus théorique
n’est pas un système, ni même un «système de pensée».
Ses «composants» sont mal identifiés (la science avance
toujours en ordre dispersé); ne sont définis ni sa clôture
ni son environnement. La théorie des systèmes a donc
fort peu à dire sur la théorie des problèmes. En tout
cas, si elle est de quelque utilité, celle-ci serait plutôt
cachée dans les couches profondes de la méthodologie
de recherche du système, dans une sorte d’infrasystémique plus fondamentale, dans une logique d’une
certaine façon. Justement, que dit la logique?
On sait que Piaget prenait la logique très au sérieux10. Dans l’introduction de son Essai de logique
opératoire, Piaget attribut à la logique un rôle précis:
«Nous conviendrons d’appeler épistémologie l’étude
de la connaissance en tant que rapport entre le sujet et
l’objet et de réserver le terme de logique pour l’analyse
formelle de la connaissance»11. Et d’enchérir plus loin
que «la logique demeure exclusivement relative aux
activités du sujet et ne s’occupe des interactions entre
9
Parmi les nombreux concepts, citons la distinction entre autoorganisation et auto-connectivité des systèmes (Ashby), accommodation
et assimilation des systèmes (Piaget), efficience et effectivité des
systèmes (Churchman), systèmes causaux et systèmes intentionnels
(Mesarovic), couplage par clôture et couplage par input (Varela).
10
Au point de se dévouer pour écrire un traité de logique, alors
que les spécialistes francophones mieux qualifiés que lui s’étaient
refusés à relever un tel défi.
11
J. Piaget, Essai de logique opératoire, Paris, Dunod, 1971, p. 4.
107
Arnaud Valence
le sujet et l’objet, lesquelles concernent seulement
l’épistémologie»12. Il y a beaucoup à dire sur cette posture introductive. Elle semble d’abord contradictoire
avec les développements qui suivent, car Piaget inclut
dans le périmètre de la logique les «opérations intrapropositionnelles» (la logique des classes et la logique
des relations). Mais comment la logique peut-elle «entrer» dans les propositions si elle n’a pas d’objet? Le
calcul des prédicats, remarque très justement Granger13, «ouvre déjà à nous un monde déterminé dans lequel les individus et leur propriétés – où si l’on
préfère, les éléments [représentant des relations] et les
classes – sont distingués» (nos crochets). Pourquoi
Piaget ne s’est-il pas arrêté aux opérations interpropositionnelles, i.e. au calcul propositionnel, comme
le suggère un Granger?
Engagement ontologique et constructivisme
À vrai dire, cette tension reflète l’état de la logique d’une époque. Lorsque Piaget publie son traité,
nous sommes en 1949. Il n’y a guère que deux alternatives qui s’offrent à l’époque; soit on confond la logique avec le calcul propositionnel mais on hérite du
même coup d’un fragment peu expressif de la logique
(qui ne comprend même pas la syllogistique d’Aristote), soit on étend la logique au calcul des prédicats
mais au prix d’un engagement ontologique. On ne
s’étonnera pas que Piaget ait préféré l’expressivité plutôt que la neutralité ontologique, au même titre que
12
Ibid., p. 5.
Cfr. G.-G. Granger, Formes opérations objets, Paris, J. Vrin,
1994, pp. 40-41.
13
108
Éléments pour une heuristique transcendantale
tant d’autres (comme Quine outre-Atlantique), plaidant
pour un parallélisme plus ou moins avouable entre la
logique purement formelle – la «théorie formelle des
opérations de la pensée» – et la «logique mentale» – la
«théorie réelle des mêmes opérations»)14. Autrement
dit, Piaget reste dépositaire d’une logique datée et
abâtardie (par une ontologie ad hoc). Or, dans le même
temps, les logiciens de métier s’affairent déjà à sa
métamorphose. Il y avait déjà mieux à faire.
La logique change en effet de dimension une dizaine d’années plus tard à la faveur d’une série de
résultats à la frontière entre la logique mathématique,
l’informatique théorique et la théorie de la calculabilité, série de résultats communément présentée sous le
nom de correspondance de Curry-Howard15 (ou correspondance preuves/programmes). Cette correspondance
établit une relation entre les démonstrations formelles
d’un système logique et les programmes d’un modèle
de calcul. Elle constitue la deuxième grande étape de
reconstruction de la logique, après la formalisation des
bases dans les années 30: les systèmes de preuve
(Gentzen), la sémantique des preuves (Heyting, Kolmogorov), le lambda-calcul (Church)16.
Avec Heyting et Kolmogorov, la logique se proposait déjà d’internaliser le sens des propositions: plutôt que de référer à un ailleurs sémantique (à des tables
de vérité), on se proposait d’interpréter les propositions
par leurs propres dérivations syntaxiques. C’est cette
14
Faut-il d’ailleurs y voir un reliquat de psychologisme (duquel
l’intéressé se défend)?
15
En hommage à deux logiciens américains.
16
Il faut noter les efforts de Piaget pour intégrer les travaux
pionniers de Gentzen et Heyting dans son traité de logique. Toutefois,
ces travaux sont davantage évoqués pour les rapports entre logique et
mathématique que pour leur intérêt proprement logique.
109
Arnaud Valence
idée que parachève la correspondance de CurryHoward, qui renvoie les dérivations syntaxiques à un
pur calcul. La conséquence est que la proposition devient un jugement au sens kantien (Urteil), et sa preuve
l’acte du jugement (Beweis). Par ailleurs, en ancrant la
théorie de la démonstration au (lambda-)calcul typé, la
correspondance de Curry-Howard caractérise aussi une
forme de revanche de la théorie des types sur la théorie
des ensembles, comme fondement de la logique.
Que faut-il en conclure à ce stade? Que la logique
produit sa propre ontologie, et que cette ontologie interne – cette ontologique – doit se substituer à l’ontologie externe (qui est en réalité une métaphysique). Et
que cela plaise ou non, c’est aussi à l’épistémologue
que revient la tâche d’en évaluer les contours. Piaget
avait donc tort lorsqu’il affirmait que «l’épistémologie
suppose résolu le problème logique». La logique n’est
pas seulement un outil au service d’une méthodologie
de recherche, c’est une discipline heuristique capable
de construire ses objets. Rares sont les philosophes qui
ont clairement exprimé ce constructivisme-là17, qui
démystifie l’éternelle distinction entre forme et contenu. Martin-Löf est sans doute le logicien-philosophe
qui a le mieux explicité les liens qui unissent la théorie
kantienne du jugement, la théorie de la démonstration,
et la théorie des types. Après plusieurs généralisations
d’envergure, cette théorie est aujourd’hui arrivée à maturité, sous l’emblème du calcul des constructions.
Nous n’avons qu’un langage, déclarait Wittgenstein, et il nous est impossible d’en sortir. La stratégie
de la sémantique des preuves et de sa contrepartie calculatoire (correspondance de Curry-Howard, calcul des
constructions) est qu’il faut précisément approfondir la
17
110
Plutôt que l’intuitionnisme.
Éléments pour une heuristique transcendantale
dérivation formelle des propositions (l’objet-preuve),
pour en découvrir le sens profond. Comprendre que le
sens d’un problème est à chercher du côté du comment
(comment est-il construit), avant de chercher du côté
du pourquoi (pourquoi est-il vrai ou faux), est un enseignement capital et qui peut aider le concepteur en
quête de problématisation. Cet enseignement est finalement proche de celui de la théorie des systèmes, mais
appliqué ici à la logique. Il ne s’agit donc pas directement de «porter l’épreuve du vrai et du faux dans les
problèmes eux-mêmes» comme le voulait Bergson,
mais de commencer par «déconstruire» le problème, le
pourquoi étant un sous-produit du comment en logique.
Mais il y a mieux, car voici que s’esquisse aujourd’hui une troisième vague de résultats, qui ouvre
un horizon encore plus large.
Une reposition du rapport syntaxe/sémantique
Si on s’arrête à la correspondance preuves-programmes, (par exemple au calcul des constructions), la
logique peut déjà fournir quelques principes de constructivité éclairants. Mais en quoi ceux-ci sont-ils plus
utiles que ceux de la théorie générale du système? Sans
doute sont-ils plus abstraits, comme nous nous y attendions. Mais la théorie des problèmes n’exige-t-elle pas
autre chose que du calcul, fut-il sophistiqué? Malgré sa
stupéfiante plasticité, la théorie des types a ses limites.
Son postulat fondamental est que l’on peut toujours
construire des types (i.e. des propositions) à partir
d’autres types. Cependant, les types construits dépendent
toujours, in fine, de types fondamentaux déjà là. Bref,
il reste toujours un fond d’essentialisme dont semble
111
Arnaud Valence
mal s’accommoder la théorie des problèmes. Mais
peut-on faire autrement?
Au tournant du XXIè siècle, une série de résultats
va suggérer un changement profond de paradigme, en
direction d’une «dé-essentialisation» de la logique. Ces
résultats, encore in statu nascendi, sont essentiellement
l’oeuvre d’un seul homme: le logicien Girard. Alors
qu’il introduit la logique linéaire18, Girard découvre
que la correction logique peut être comprise comme un
critère global plutôt que local. La logique linéaire est
fondamentalement une logique d'état (dans le sens
opératoire), dans laquelle les composants des preuves
fonctionnent comme des ressources: si on se donne une
prémisse A, on a le droit de l’utiliser ou non, mais pas
de l’abandonner. Une prémisse non utilisée interagit
toujours avec les prémisses utilisées, si bien qu’aucun
composant ne peut errer librement sans compromettre
la cohérence d’ensemble de la preuve. Cette
découverte a conduit Girard à inverser le sens de la
constructivité logique. Plutôt que de construire les
règles logiques qui mènent au jugement, l’idée est de
construire les lois qui mènent aux règles logiques, où
les notions de symétrie et de négation sont appelées à
jouer un rôle central: « My thesis is that the meaning
of logical rules is to be found in the well-hidden geometrical structure of the rules themselves: typically,
negation should not be interpreted by ‘NO’, but by the
18
En deux mots, la logique linéaire est un raffinement de la
logique classique. Lorsqu’on retire à cette dernière ses règles structurelles:
la règle de la contraction et la règle de l’affaiblissement, on produit
une logique sous-structurelle (le fragment multiplicatif et additif de la
logique linéaire) équipée de deux conjonctions et deux disjonctions
différentes. Dans un second temps, la logique linéaire restaure les
règles structurelles omises, mais dans une version contrôlée au plan
logique, par de nouveaux connecteurs (les exponentielles).
112
Éléments pour une heuristique transcendantale
exchange between Player and Opponent»19. C’est ainsi
que Girard a proposé de parler de tournant géométrique, en baptisant ce nouveau paradigme de géométrie de l’interaction.
Cette nouvelle vision de la logique se traduit par
une émancipation de la logique par rapport à la contrainte du typage, i.e. au lambda-calcul typé. La devise
du nouveau paradigme pourrait être la suivante: laissez
les machines calculer librement, laissez les programmes s’exécuter sans input prédéfini ni output attendu, et lorsque les machines trouvent, lorsque les
programmes s’arrêtent, regardez le résultat, donnez lui
un nom, et donnez un sens aux programmes. D’où un
recentrage de la logique sur les protocoles, sur les
procédures, plutôt que sur l’essence des types: la logique devient existentialiste, c’est-à-dire qu’elle donne
les conditions de construction des types, plutôt que
leurs déductions à partir d’autres types.
La conclusion est une complète reposition du rapport entre syntaxe et sémantique. Le sens est maintenant encastré dans la syntaxe, laquelle n’est plus toutà-fait une syntaxe puisque des principes structurants
sont précisément incorporés pour «faire sens»
(négation, transitivité). Nous obtenons donc une syntaxe transcendantale: «Plutôt que d’évaluer le langage,
on s’interroge alors sur ses conditions de possibilité:
on produit ainsi une syntaxe transcendantale qui rend
compte de l’élimination des coupures [la transitivité],
de la normalisation forte [la terminaison du calcul], des
propriétés de Church-Rosser [la confluence du calcul],
de la disjonction, de la sous-formule, etc. qu’aucun
19
J.-Y. Girard, On the meaning of logical rules I: syntax vs. semantics, 1998, p. 1.
113
Arnaud Valence
cadre sémantique n’a jamais su justifier»20. La boucle
est ainsi bouclée. Nous étions partis pour voir quel
éclairage pouvait apporter la logique dans les cas de
ruptures épistémologiques transcendantales, et voici
que la logique elle-même est sujette à pareille rupture21.
Cet air de famille mérite d’être exploité. Dans nos
quatre exemples, on constate que la rupture part d’un
contournement de l’inconnu du problème (la solution
algébrique, l’objet de connaissance, le choix rationnel,
la proposition), pour en considérer ses conditions de
possibilité. Cependant, la syntaxe transcendantale a ceci de particulier qu’elle touche au langage: elle ne fait
pas rupture dans un langage, mais sur le langage. C’est
dire qu’elle est, en un sens, plus primitive. De fait, elle
permet véritablement d’éclairer la théorie des
problèmes.
Qu’est-ce qu’une réponse?
123 est-il un nombre premier? La logique contemporaine répond que cette question peut légitimement
recevoir plusieurs niveaux de réponse. La première est
de répondre «non» sans donner d’explication: la
charge de la preuve est donnée au questionneur. La seconde est de répondre «non, car 123 = 3×41» (et la
charge de la preuve est maintenant du côté du répondeur). Mais comment le prouver? La troisième réponse
est de fournir une démonstration complète du fait que
20
J.-Y. Girard, La syntaxe transcendantal, manifeste, 2011, p. 1
(nos crochets).
21
Au passage, on constate combien Kant avait tort d’exclure la
logique formelle de la logique transcendantale.
114
Éléments pour une heuristique transcendantale
123 = 3×41. Mais par quels moyens? La première
stratégie consiste à utiliser une approche strictement
déductive et axiomatique, en utilisant les axiomes de
l’arithmétique (par exemple l'arithmétique de Peano).
Mais cette stratégie est très fastidieuse et ne correspond pas à la stratégie intuitive de notre calcul mental.
Une stratégie plus efficace consiste à remplacer les
axiomes par des règles de calcul plus accommodantes,
c’est-à-dire de simples règles de réécriture n’utilisant
pas la déduction22. Mais une nouvelle question apparait: combien de règles de réécriture puis-je appliquer
simultanément à chaque étape du raisonnement?
Cet exemple montre que la force épistémique
d’une preuve est une affaire de degré. En réalité, on a
généralisé l’idée même de preuve (au sens stricte de la
théorie de la démonstration) avec l’idée de certificat,
plus difficile à cerner. Dans cette affaire de degré, il est
question d’arbitrage entre des méthodes purement déductives et des méthodes calculatorio-déductives, mais
également entre des méthodes explicites (donnant
toutes les étapes du raisonnement) et des méthodes implicites (donnant seulement le résultat de ces étapes).
Cet arbitrage conduit à une vision clairement relative
et intersubjective de la notion de réponse. Il faut
d’abord se mettre d’accord sur le format d’une
réponse. Qu’attend-on quand on pose une question?
Un jugement-comme-contenu (Urteil) ou un jugement22
Prenons l’exemple du troisième axiome de l’arithmétique de
Peano: ∀ x∀ y (Sx = Sy ∀ x = y). Avec la méthode déductive, je ne
peux inférer (1=1) qu’à partir de (2=2) et (2 = 2 ∀ 1 = 1). En
revanche, en regardant la règle de Peano comme la simple règle de
réécriture Sx = Sy → x = y, il suffit d’inférer (1=1) directement de (2=2),
par simple substitution de 2 par 1, sans utilisation de l’implication
logique. Cette méthode de démonstration s’appelle la déduction
modulo (réécritures).
115
Arnaud Valence
comme-acte (Beweis)? Si c’est un acte, quelle est sa
«technologie»?
Qu’est-ce qu’une question?
La meilleure façon d’éviter les querelles d’arbitrage, c’est de prévoir l’arbitre dans la question. Cela
signifie que la question doit être formulée dans un format clairement annoncé. Par exemple si je demande la
preuve d’un théorème, j’accepterai les démonstrations
par l’absurde (l’élimination de la double négation) en
logique classique, mais je les refuserai en logique intuitionniste. En logique pédagogique, je refuserai
même toute négation. En logique pertinente, je refuserai la règle de la contraction23. En logique linéaire, je
refuserai à la fois la règle de la contraction et la règle
de l’affaiblissement24. À la suite de Girard, on appellera donc format ce qui permet de cadrer – de formater –
une réponse, en fixant les conditions de possibilité de
la réponse.
Par suite, le format est aussi ce qui permet d’éviter
le non-sens. Soit le paradoxe du plus petit entier naturel non définissable en moins de quinze mots (paradoxe de Richard). Ce paradoxe est ordinairement
résolu en distinguant l’entier visé par la phrase de Richard du métalangage dans lequel il est énoncé. Mais
cette solution impose un métalangage qui est superflu
(voire illusoire pour un wittgensteinien), et fait manquer l’essentiel. Il suffit en réalité de formater l’entier
23
La règle de contraction énonce que si B est inféré de A et A,
B est inféré de A.
24
La règle d’affaiblissement énonce que si B est inféré de A, B
est inféré de A ou A.
116
Éléments pour une heuristique transcendantale
de Richard pour dissoudre le paradoxe, par exemple en
énonçant «le plus petit entier naturel non écrivable en
toute lettre en moins de quinze mots». Mieux vaut ainsi discipliner le langage que de le réinventer en introduisant un métalangage redondant. Chez Girard, c’est
fondamentalement la négation, et les symétries des
connecteurs qui en découlent, qui formatent le langage.
Dans la syntaxe transcendantale, les objets viennent
d’emblée avec leur négation, réminiscence d’une intuition hégélienne qu’on retrouve également chez Herbrand.
Remarques conclusives
Le passage de la résolution des problèmes à la
problématisation fait passer d’un énoncé essentialiste
du type «Voici comment j’explique l’objet» à un
énoncé existentialiste du type «Voici comment je peux
représenter l’objet si j’utilise ce langage». Le langage
est donc lui-même questionné dans le problème, ce qui
oblige un effort critique permanent. Cet effort vise à
déplacer le problème, à le reformuler, éventuellement à
le séquentialiser. Cet effort est le prix à payer pour
avoir le droit de refuser la «question qui se pose», et
revendiquer la participation à la position du problème.
Il s’agit là d’une nouvelle remise en cause du positivisme, qui donne à voir des problèmes déjà-là en attente de solution. La syntaxe transcendantale établit
bien plutôt un rapport interactif entre la solution et la
position du problème, rapport dans lequel le répondeur
n’est plus inféodé au demandeur. Cette interaction a
pour objectif de délimiter le problème, en écartant le
bois de ce qu’il n’est pas. Cette vision envisage donc le
non-savoir (la non-réponse) non comme une absence
117
Arnaud Valence
de savoir – une ignorance – mais comme la clôture du
savoir, la connaissance des murs qui contingentent le
problème.
Mais, comme nous l’avons vu, ce qui vaut pour le
développement de la pensée scientifique vaut également
pour les méthodes d’apprentissage. L’heuristique transcendantale est donc aussi une philosophie de l’interaction
pédagogique. De fait, la complicité maître-élève est déjà
au coeur de l’épistémologie bachelardienne, et même
avant chez Dewey (avec une autre philosophie en toile de
fond). Dewey et Bachelard insistaient déjà, à leur façon,
sur le fait que l’école devait retrouver le sens de la
problématicité. La syntaxe transcendantale en donne une
nouvelle manifestation, en montrant expressément
l’importance d’un accord préalable sur les règles de la
négation et du modus ponens, véritables clés de voute de
la syntaxe transcendantale25. Or ces règles ne sont que des
instances parmi d’autres du principe plus général
d’implicité. Toute investigation requiert un implicite
identifié et admis. Le sens de la problématicité implique
donc un sens de l’implicité. L’implicite n’est jamais un
donné ; il pose question, demande réflexion, sollicite un
exercice dialectique.
Ce rapport à la dialectique nous donne l’occasion
de faire une mise au point sur la valeur des Topiques
dans l’Organon. Traditionnellement, les Topiques ont
tendance à être dévalués dans l’oeuvre d’Aristote26. A
25
À cet égard, le paradoxe d'Achille et la tortue de Lewis Carroll est exemplaire: Achille et la Tortue ne pouvant se mettre d'accord
sur l'acceptation du modus ponens, le dialogue conduit à une impasse.
26
Ainsi, selon Ross, «The discussion [of dialectic in the Topics]
belongs to a bygone mode of thought [...] But [Aristotle] has himself
shown a better way, the way of science; it is his own Analytics that
have made his Topics out of date» (Aristotle, London, Methuen and
118
Éléments pour une heuristique transcendantale
contrario, cet article défend la posture d’un Brunschwig, qui faisait remarquer dès 1964 qu’« il se pourrait que l’interprétation de la philosophie d’Aristote ait
avantage à s’appuyer sur l’étude des Topiques»27. De
ce point de vue, nous nous inscrivons dans l’actuel retour en grâce des Topiques, que semblent favoriser les
relectures plus fouillées.
Il y a en effet, dans les Topiques, des réflexions
étonnamment modernes sur la nécessité de bien poser
les problèmes, sur ce qui est attendu de celui qui pose
la question et de celui qui y répond28. Ainsi, la question
n’est pas, selon nous, de savoir si les Topiques incarnent autre chose qu’une analytique «mal dégrossie» –
la réponse est résolument oui – mais de savoir comment s’articulent précisément ces deux oeuvres
maîtresses d’Aristote. Or il semble que ce travail n’ait
jamais été véritablement entrepris. Il faut dire que le
«tas de briques»29 légué par Aristote dans ses Topiques
ne nous facilite pas la tâche. Comme le note Pelletier30,
«on sent la motivation s’éventer quant à définir les
gonds sur lesquels Aristote fait tourner la dialectique:
l’endoxe, le dialogue, l’instrument, le lieu et le genre».
Nous avons donc aujourd’hui besoin d’une modélisation
formelle de la dialectique. C’est dans ce domaine que
Co., 1923, p. 59). Solmsen déclare encore plus sèchement que «l’analytique annule les Topiques».
27
Aristote, Topiques, Texte grec, trad. et intr. Jacques Brunschwig. Paris, Les Belles Lettres, 1967, p. XVI.
28
Rappelons aussi que, dans sa maïeutique, Socrate annonce
déjà cet art du questionnement. Chez Socrate l’apprentissage n’est pas
uniquement un procédé de transmission des connaissances, mais plus
généralement un processus actif de production du savoir.
29
Brunschwig, Aristote, cit., p. VIII.
30
Y. Pelletier, L’articulation de la dialectique aristotélicienne,
«Angelicum», 66 (4), 1989, pp. 603-620.
119
Arnaud Valence
les progrès sont les plus difficiles. On peut saluer les
efforts de l’épistémologie française, de Cavaillès à
Granger en passant par Lautman, Desanti, Gonseth,
auxquels on peut ajouter Deleuze, Badiou et le logicien
Girard. Mais l’essentiel reste à faire pour véritablement
définir l’embryon d’une théorie des problèmes.
Références
Aristote, Topiques, texte grec, trad. et intr. J. Brunschwig, Paris,
Les Belles Lettres, 1967.
Bachelard, G., La formation de l’esprit scientifique. Contribution
à une psychanalyse de la connaissance objective, Paris, J. Vrin,
1967.
Bergson, H., La pensée et le mouvant, Paris, P.U.F., 1969.
Deleuze, G., Différence et répétition, Paris, P.U.F., 10ème éd.,
2000.
Girard, J.-Y., «On the meaning of logical rules I: syntax vs. semantics», in Computational Logic, Berger and Schwichtenberg
(eds), Heidelberg, SV, 1999, pp. 215-272.
Id., J.-Y., La syntaxe transcendantal, manifeste, 2011 (iml.univmrs.fr/~girard/syntran.pdf, pp. 1-42).
Granger, G.-G., Formes opérations objets, Paris, J. Vrin, 1994.
Kant, I., Kritik der reinen Vernunft, 2e éd. 1787, éd. Cassirer, III;
trad. fr. par A. Tremesaygues et B. Pacaud, Critique de la Raison pure, 3e éd., Paris, P.U.F., 1963.
Mattei, F., Science, epistemology, ideology, «I problemi della pedagogia», LVII (2011), n. 4-6, pp. 57-79.
Mattei, F., - V. Caggiano, Jean Piaget. Tra psicologia e filosofia:
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Pelletier, Y., L’articulation de la dialectique aristotélicienne,
«Angelicum», 66 (4), 1989, pp. 603-620.
Piaget, J., Essai de logique opératoire, Paris, Dunod, 1971.
Savage, L., The Foundations of Statistics, New York, John Wiley,
1954.
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