Chapitre 1 : La mécanique de Newton.

Chapitre 1 : La mécanique de Newton Terminale S
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4ème Partie : Evolution temporelle des systèmes mécaniques
Chapitre 1 : La mécanique de Newton.
Objectifs :
¾ Choisir un système, choisir les repères d’espace et de temps ;
¾ Faire l’inventaire des forces extérieures appliquées à ce système ;
¾ Définir le vecteur accélération et exploiter cette définition, connaître son unité ;
¾ Énoncer les trois lois de Newton ;
¾ Savoir exploiter un document expérimental (série de photos, film, acquisition de données avec un ordinateur) : reconnaître si
le mouvement du centre d’inertie est rectiligne uniforme ou non, déterminer des vecteurs vitesse et accélération, mettre en
relation accélération et somme des forces, tracer et exploiter des courbes vG = f(t)
I. Rappels
I.1. Système d’étude
En mécanique on définit toujours dans un premier temps le système d’étude.
Ex : {bille} ou {mobile}…
I.2. Référentiels
La seconde étape est la définition du référentiel d’étude.
Un référentiel est constitué d’un solide de référence auquel on associe un repère
d’espace )( k,j,iO,
G
G
G
, le plus souvent orthonormé, et un repère de temps (le début du mouvement
coïncidera souvent avec la date t = 0 s).
Le mouvement d’un corps ou d’un point dépend du référentiel d’étude ( = relativité du mouvement).
Un référentiel galiléen est un référentiel qui vérifie la première loi de Newton (ou principe d’inertie)
3 types de référentiels :
Référentiel héliocentrique : repère ayant pour origine le centre du Soleil, ses trois axes sont dirigés
vers trois étoiles fixes et lointaines → utile pour étudier le mouvement des planètes autour du Soleil.
Référentiel géocentrique : repère ayant pour origine le centre de la Terre, ses trois axes sont dirigés
vers trois étoiles fixes → utile pour étudier le mouvement des satellites autour de la Terre.
Il est animé d’un mouvement de translation circulaire par rapport au référentiel héliocentrique.
Référentiel terrestre : repère ayant pour origine le centre d’un objet situé à la surface terrestre et dont
les 3 axes sont perpendiculaires (1 en longueur, 1 en largeur et 1 en hauteur) → utile pour étudier les
mouvements à la surface de la Terre.
I.3. Bilan des forces
Le plus souvent on sera amené à étudier le mouvement du centre d’inertie G du système (car le plus
simple à étudier).
Le mouvement du centre d’inertie G ne dépend que des forces extérieures appliquées au système.
On terminera donc l’approche d’un problème de mécanique par la réalisation d’un bilan des forces
extérieures appliquées au système (sauf cas exceptionnel).
Vers étoile γ
Vers étoile α
Référentiel
héliocentrique
Soleil
Vers étoile
β
Terre Vers étoile
γ
Vers étoile α
Référentiel
géocentrique
N
S
N
S
N
S
Vers étoile
β

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O j
i
k
G(t2)
G(t3)
G(t1)
1
OG
)OG(tΔ2
)(tv 2G
3
OG
O j
i
k
G(t)
x(t)
y(t)
z(t)
Exemple d’application : On veut réaliser l’étude du centre d’inertie G d’un mobile autoporteur
accroché à un point fixe O par une ficelle indéformable. Le mobile est lancé dans une direction
perpendiculaire à celle de la ficelle. Réaliser le bilan des forces qui s’exercent sur le mobile autoporteur.
Système d’étude : {le mobile autoporteur}
Référentiel : terrestre supposé galiléen lié au
laboratoire
Bilan des forces extérieures :
- poids du mobile P
- réaction normale du support N
R
- tension du fil T
II. Quels sont les vecteurs qui servent à décrire le mouvement ? TP N° 8
II.1. Le vecteur position
La position du centre d’inertie G change au cours du
temps et peut être repérée dans le repère d’espace
)( k,j,iO,
G
G
G
et le repère de temps du référentiel d’étude
choisi à l’aide du vecteur position OG .
Le vecteur position s’exprimera à partir des
coordonnés cartésiennes x(t), y(t) et z(t) du point G,
on a :
=++OG(t) x(t) i
y
(t)
j
z(t) k
JJJJJJG G G JG
L’ensemble des positions occupées successivement par le point G au cours du temps constitue sa
trajectoire.
II.2. Le vecteur vitesse
Le vecteur vitesse )(tv 2G à l’instant t2 est défini par la
relation suivante rencontrée en classe de Première :
Δt
GG
tt
GG
)(tv 31
13
31
2G =
−
=
Or )(tOGΔOGOGGG 21331 =−=+= 31 OGOG et
ainsi on a :
Δt
)(tOGΔ
)(tv 2
2G =
De manière générale on a Δt
)(tOGΔ
(t)vG= .
Pour obtenir la vitesse instantanée il faut faire tendre
l’intervalle de temps Δt vers 0.
On a ainsi la définition du vecteur vitesse instantanée : td
OGd
(t)vG== →Δt
(t)OGΔ
lim
0Δt
Les coordonnées du vecteur vitesse dans le repère orthonormé seront (t)vx,(t)vy et (t)vz et on a :
=+ +
=+ +
Gx y z
G
v (t) v (t) i v (t)
j
v (t) k
dx(t) d
y
(t) d z(t)
v(t) i
j
k
dt dt dt
JJJJJG G G JG
JJJJJG G G JG
G
P
N
R T

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O j
i
k
G(t2)
G(t3)
G(t1)
3
G
v
3
G
v
-1
G
v
2
G
vΔ
2
G
vΔ
1
G
v
2
G
a
Remarque : on écrit aussi pour simplifier l’écriture : k(t)zj(t)yi(t)x(t)vG
••• ++=
Chaque coordonnée du vecteur vitesse s’exprime en m·s – 1
La valeur du vecteur vitesse vG est : 2
z
2
y
2
xG vvvv ++=
II.3. Le vecteur accélération
Le vecteur accélération )(ta 2G à l’instant t2 est défini
par la relation suivante : Δt
vΔ
tt
vv
)(ta 2
G
13
1
G
3
G
2G =
−
−
=
De manière générale on a Δt
(t)vΔ
(t)a G
G=
Pour obtenir l’accélération instantanée il faut faire
tendre l’intervalle de temps Δt vers 0.
On définit le vecteur accélération instantanée :
2
2
G
Gtd
OGd
td
vd
(t)a === →Δt
(t)vΔ
lim G
0Δt
Le vecteur accélération G aest donc colinéaire au vecteur G vΔ
Les coordonnées du vecteur accélération dans le repère orthonormé seront (t)ax,(t)ay et (t)az et on a :
=+ +
=+ +
=+ +
Gx y z
y
xz
G
22 2
G222
a (t) a (t) i a (t) j a (t) k
dv (t)
dv (t) dv (t)
a (t) i
j
k
dt dt dt
d x(t) d
y
(t) d z(t)
a (t) i
j
k
dt dt dt
JJJJJGGGJG
JJJJJGGGJG
JJJJJGGGJG
Remarque : on écrit aussi pour simplifier l’écriture : k(t)zj(t)yi(t)x(t)aG
•••••• ++=
Chaque coordonnée du vecteur accélération s’exprime en m·s – 2
La valeur du vecteur accélération aG est 2
z
2
y
2
xG aaaa ++=

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Exemple d’application :
Le centre d’inertie G d’un corps en mouvement possède les coordonnées suivantes dans un repère
orthonormé )(k,j,iO,
G
G
G
: ⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
++=
2z(t)
3ty(t)
26t2tx(t)
OG
2
a) Déterminer les coordonnées de (t)vG et de (t)aG en fonction du temps.
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
+=
0
3
64t
(t)vG
td
z(t)d
td
y(t)d
td
x(t)d
et
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
==
==
==
0
0
4
(t)aG
2
2
z
2
2
y
2
2
x
td
z(t)d
td
(t)vd
td
y(t)d
td
(t)vd
td
x(t)d
td
(t)vd
b) Calculer leur valeur à t = 0 s.
(0)
(0)
−
−
=
++= ⋅
=++=⋅
222 1
G
222 2
G
v63045ms
a4004ms
II.4. Exemples de mouvement
Un mouvement est rectiligne uniforme si la vitesse est constante en direction, norme et sens donc si
son vecteur accélération est nul : =st vC
J
JJG
G
et =a0
GG
Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, seule la norme de la vitesse est constante et le
vecteur accélération est dirigé vers le centre de la trajectoire : les vecteurs vitesse et accélération
sont orthogonaux. Figure 6 p 179
Dans le cas des mouvements uniformes on a 0av =⋅
On dit qu’un mouvement est uniformément varié si le vecteur accélération est constant :
=st aC
J
JJG
G
Ex : Chute verticale d’une bille dans un liquide (cf chapitre 2)
Un mouvement est accéléré si le vecteur accélération a une composante positive dans le sens et la
direction du mouvement, autrement dit si 0av >⋅
Dans le cas contraire il sera dit ralenti, autrement dit si 0av <⋅
Figure 7 p 179

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III. Quelles sont les trois lois de Newton ?
III.1. Première loi de Newton ou Principe d’inertie
Dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse G v
G
du centre d’inertie d’un système ne varie pas
alors la somme vectorielle des forces extérieures
∑
ext
F
G
qui s’exercent sur le système est nulle et
réciproquement.
Soit : =⇔ =
∑
st
ext G
F0vC
J
JJG
G
G
G
G
v
Gest un vecteur constant (même direction, même sens et même norme)
Dans ce cas le centre d’inertie du système sera donc animé soit d’un mouvement rectiligne uniforme
(MRU) ou sera immobile si 0vG
G
G=.
Un référentiel qui est en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen
sera lui-même galiléen.
Par contre s’il est en rotation ou qu’il est en mouvement rectiligne accéléré ou ralenti il ne sera plus
considéré comme galiléen et on ne pourra plus y appliquer les deux premières lois de Newton.
Nature des référentiels usuels
Le référentiel terrestre n’est pas rigoureusement un référentiel galiléen à cause de la rotation de la
Terre sur elle-même mais pour des mouvements de courtes durées on pourra le considérer comme tel.
Le référentiel géocentrique n’est pas rigoureusement galiléen à cause de la rotation de la Terre autour
du Soleil mais pour des mouvements de quelques heures on pourra le considérer comme tel.
Le référentiel héliocentrique est un référentiel galiléen.
III.2. Deuxième loi de Newton ou Principe Fondamental de la dynamique (P.F.D.)
Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures
∑
ext
F
J
G
appliquées à un système de
masse m en translation est liée à l’accélération G adu centre d’inertie G par la relation suivante :
=
⋅
∑
ext G
Fma
J
GJJG
La valeur de la résultante des forces extérieures appliquées au système
∑
ext
Fest exprimée en Newton
(N)
La valeur de la masse m doit être exprimée en kg
La valeur de l’accélération G
a sera exprimée en m·s – 2.
Le vecteur accélération, G
a, et le vecteur force résultante,
∑
ext
F
J
G
, sont colinéaires.
La valeur ∑ext
F de la résultante des forces extérieures appliquées au solide est proportionnelle à la
valeur de l’accélération aG du centre d’inertie.
Pour une valeur de force donnée, la valeur de l’accélération a est inversement proportionnelle à
la masse m.
Le P.F.D. établit le lien entre les causes du mouvement (forces) et l’effet obtenu (accélération)