II-Quelques aspects thermodynamiques de l`atmosphère

Centrale-TSI-2011
II-Quelques aspects thermodynamiques de l’atmosphère
II-A- Equilibre isotherme de l’atmosphère
II-A-1-a) L’air est constitué de dioxygène de fraction molaire  et de diazote de fraction
molaire .
La masse volumique d’un mélange de gaz est :   
 ce qui donne pour l’air :
L’équation d’état des gaz parfait est :     
 . La masse volumique du gaz est
ce qui donne    avec 
II-A-2) On nous donne la relation de l’équilibre de l’atmosphère sous l’action de sa
pesanteur : 
   ce qui donne en se servant de la relation des gaz parfait : 
soit 
.
Si on considère le modèle de l’atmosphère isotherme, la température est une constante et vaut
. On a 
 ce qui donne :   soit    
La longueur caractéristique des variations de l’atmosphère est   
Comme   
 on en déduit :    
II-B- Stabilité de l’atmosphère isotherme
II-B-1)  
 et   . On en déduit l’expression de la capacité thermique massique
de l’air à pression constante : 
II-B-2) La parcelle d’air est en équilibre mécanique donc   et en équilibre
thermique donc  
II-B-3) Après son déplacement vertical, la parcelle d’air prend une pression  .
On a donc   . Mais comme   on peut écrire à l’ordre 1 :
 soit   . Or la loi de l’équilibre hydrostatique
de l’air donne : 
 . On en déduit :  
Comme   
, on en déduit :   
II-B-4) On fait l’hypothèse que la parcelle d’air subit une transformation adiabatique
réversible. On peut donc appliquer la loi de Laplace :   soit :  .
On suppose que   et   ce qui donne:

Si on suppose   et   on a  
 soit
mais   soit : 
II-B-5) La poussée d’Archimède s’exerçant sur la parcelle d’air à l’altitude  est
égale au poids de volume de fluide déplacé :
On remplace  et  par les expressions obtenues précédemment :
 .
A l’altitude  la masse de la parcelle est  . Le poids de la parcelle est donc
On en déduit la résultante des forces appliquées à la parcelle :
II-B-6) On applique la loi de la quantité de mouvement au système {parcelle d’air} dans un
référentiel  galiléen. En projection sur l’axe  on a :
 et comme   on obtient
l’équation : 
  d’où   
 est en 
La parcelle oscille avec une période   
Suite à une perturbation verticale, l’atmosphère isotherme oscille autour de sa position
d’équilibre. L’atmosphère isotherme est donc stable. Mais ce modèle n’est pas réaliste car
dans la troposphère, la température décroit linéairement avec l’altitude. Ce modèle convient
mieux dans la stratosphère entre 10 et 20 km d’altitude.
II-C- Etude thermodynamique d’un cyclone tropical
II-C-1) Dans le cas d’un système en écoulement, on a comme expression du premier
principe entre deux instants macroscopiques donne    avec
    ;    et   
Le travail utile correspond au travail récupérable, c’est-à-dire le travail qui n’est pas celui des
forces pressantes en amont et en aval.
II-C-2-a) On travaille avec le système ={masse d’air masse  d’eau} en amont à
et en aval à .
Pour la masse d’air la transformation est isotherme donc  

la transformation isotherme faisant varier la pression de la masse d’air de  à  on a
II-C-2-b) La masse  d’eau subit une vaporisation isotherme, isobare réversible à la
température  . On a donc   et 
II-C-2-c) On applique le deuxième principe :    . La transformation
étant réversible on a :   .
La transformation est monotherme, elle n’échange du transfert thermique qu’avec une seule
source de chaleur à  donc  
On en déduit :    
 ce qui
donne :  
II-C-2-d) On peut appliquer la question II-C-1) :
 ce qui
donne 
puisque  
II-C-2-e) Si   on a 
 .
II-C-3-a) Pour la masse d’air on a un réchauffement de la température  à la température  :
  et pour la masse  on a un changement de phase de la phase
vapeur à la phase liquide soit   ce qui donne :
    ; de plus
La transformation est adiabatique et se fait sans travail utile. On applique le premier principe
pour les écoulements ce qui donne :
  soit
II-C-3-b) Si   on a  
II-C-4-a) En s’aidant des résultats du II-A-2) on a   
II-C-4-b) La transformation est isotherme et réversible. On a  
.

Pour une variation de pression isotherme d’une masse  de GP, on a
 ce qui donne    ;
mais on a vu que   
 ce qui fait :  
II-C-4-c) On applique le premier principe pour des écoulement avec    puisque la
transformation est isotherme, ce qui donne : 
 ce
qui donne 
II-C-5-a) On a une machine thermique réversible entre deux sources de chaleur, l’une à  et
l’autre à .
Le deuxième principe donne :     
. Mais comme le cycle est
réversible on a :   
 soit  
De plus le premier principe appliqué au système ouvert sur tout le cycle donne :
  , soit     
 d’où la relation demandée :
 correspond au rendement du cycle. C’est la même expression que le cycle de
Carnot puisqu’il s’agit d’un cycle réversible.
II-C-5-a) On a précédemment trouvé l’expression de 
 :   et
de  :  
. En appliquant la relation de la question
précédente on trouve :
Soit : 
II-C-6-a)   et . Les ordres de grandeurs sont
corrects.
II-C-6-b) On a trouvé    
 ; on peut en déduire :
Comme on a vu   avec   , on en déduit :
II-C-6-c) La puissance utile développée par le cyclone correspond au travail utile par unité de
temps. On a   
 soit :

On obtient   et comme 
 on obtient :
  ce qui est un débit d’eau énorme mais la puissance du cyclone est de
 ce qui est gigantesque.