Les modes du guide plan - Institut d`Optique Graduate School

INSTITUT D’OPTIQUE GRADUATE SCHOOL
Travail Dirigé d’Electromagnétisme des Ondes Guidées
Modes guidés du guide planaire symmétrique à saut d’indice
Les modes de l’espace libre
1. on rappelle que dans un milieu d’indice de ré‡exion variable n(x; y; z), les équations de propagation
des champs électriques et magnétiques s’écrivent
~ E"00n2(x; y; z)@2~
E
@t2=~
r1
n2~
rn2~ E(1)
et
~ H"00n2(x; y; z)@2~
H
@t2=~
r1
n2~
rn2~ r  ~ H(2)
(a) On décrit les champs se propageant selon zpar leurs composantes complexes Ej(x; y; z)et
Hj(x; y; z):
Ej= Re fEj(x; y; z) exp i(!t z)g(3)
et
Hj= Re fHj(x; y; z) exp i(!t z)g(4)
établir à partir des relations de Maxwell,
~
r  ~ E=i!0~ Het ~ r  ~ H=i!"0n2(x; y; z)~ E(5)
les 6 relations suivantes entre les composantes Ex,Ey,Ez,Hx,Hy,Hz, des champs:
8
>
>
<
>
>
:
Hx(x; y) = 1
!0hi@Ez @y +Eyi
Hy(x; y) = 1
!0i@Ez @x +Ex
Hz(x; y) = i
!0h@Ey @x @Ex @y i8
>
>
<
>
>
:
Ex(x; y) = 1
"0!n2(x;y)hi@Hz @y +Hyi
Ey(x; y) = 1
"0!n2(x;y)i@Hz @x +Hx
Ez(x; y) = i
"0!n2(x;y)h@Hy @x @Hx @y i(6)
(b) Etablir que dans un espace in…ni et homogène, (donc invariant selon x; y; z les ondes planes, qui
sont les modes du champ électromagnétique sont transverses electromagnétiques (TEM), c’est à
dire que ni le champ électrique ni le champ magnétique n’ont de conposante dans la direction de
propagation (composante longitudinale).
(c) Etablir la relation de dispersion (!)
Les modes du guide plan.
2. On considère un guide plan invariant selon les axes y et z et présentant une structure symmétrique
selon l’axe x. Il est formé d’une couche diélectrique (le coeur) d’épaisseur det d’indice de réfraction n1
et il est entouré de deux milieux dielectriques semi-in…nis (le substrat) d’indice n2:Il s’agit donc d’un
milieu invariant selon yet z, mais inhomogène selon x:
3. (a) Ecrire les équations de propagation 1et 2 dans chaque milieu et écrire les conditions de continuité
aux interfaces
1

(b) Montrer que les équations 3 et 4 se réduisent à: :
Ej= Re fEj(x) exp i(!t z)g(7)
et
Hj= Re fHj(x) exp i(!t z)g(8)
Justi…er cette écriture et en particulier les dépendances en x; y et z.
(c) Montrer que les équations 6 se séparent alors en 2 groupes d’équations dont on véri…era qu’elle
sont indépendantes :
8
>
<
>
:
Hx(x; y) = 1
!0Ey
Hz(x; y) = i
!0
@Ey
@x
Ey(x; y) = 1
"0!n2(x;y)i@Hz @x +Hx8
>
<
>
:
Ex(x; y) = 1
"0!n2(x;y)Hy
Ez(x; y) = i
"0!n2(x;y)
@Hy
@x
Hy(x; y) = 1
!0i@Ez @x +Ex(9)
1. Montrer que le premier groupe correspond à un champ magnétique transverse (TM) c’est à
dire sans composante longitudinale du champ magnétique. Montrer que dans ce cas, le champ
électrique a une composante longitudinale non nulle et qu’il ne s’agit donc pas d’un champ
TEM.
2. Montrer que le second groupe correspond à un champ électrique transverse (TE) c’est à dire
sans composante longitudinale du champ électrique. Montrer que dans ce cas, le champ
magnétique a une composante longitudinale non nulle et qu’il ne s’agit donc pas d’un champ
TEM.
4. Les modes TE du guide plan
Dans le cas du mode TE, représentez sur une …gure, les trois composantes non nulles des champs dans
le guide. En déduire que l’équation de propagation du champ électrique est scalaire.
(a) Ecrire cette équation dans chacun des deux milieux. Traduire les conditions aux limites en fonction
du champ électrique.Ecrire les deux équations qui permettront de calculer le champ magnétique
à partir des solutions de cette équation.
(b) Discutez la forme des solutions des équations dans le coeur et dans le substrat, en fonction des
valeurs relatives de ; k0n1et k0n2. En déduire qu’il existe trois types de solutions globales
(jxj<d
2et jxj>d 2)dont une seule représente des modes guidés. En déduire la condition sur 
( dite condition de guidage) pour que le mode de constante de propagation soit un mode
guidé:
(c) Dans le cas d’un mode guidé, introduire les constantes réelles positives
2=k2
0n2 12et 2=2k2 0n2 2(10)
dans les équations de propagations et montrer que leurs solutions sont la somme d’une solution
symmétrique et d’une solutions anti symmétrique.
On peut montrer que l’indice de réfraction n(x)étant ici une fonction symmétrique (n(x) = n(x))
les solutions de l’équation doivent être soit symmétriques soit antisymmétriques
5. Constantes de propagation des modes guidés TE
(a) Ecrire dans le substrat et dans le coeur, l’expression du champ électrique d’un mode guidé TE
symmétrique et exprimer les conditions de continuité. On introduira pour cela les quantités
normalisées et sans dimensions suivantes :
u=d
2v=d 2V=k0dpn2
1n2 2(11)
On remarquera que
la quantité V, dite fréquence normalisée est sans dimension. Elle caractérise totalement le
guide et sa longueur d’onde d’utilisation. Tous les guides plans diélectriques à saut d’indice
symmétrique de même valeur de Vont les mêmes solutions normalisées.
uet vne sont pas des quantités indépendantes
u2+v2=V
22
(12)
2

(b) Ecrire, dans le cas des modes TE symmétriques, les conditions de continuité du champ et en
déduire que la condition d’existence de solutions s’écrit
utan u=sV
22
u2(13)
(c) Ecrire, dans le cas des modes TE anti symmétriques, les conditions de continuité du champ et en
déduire que la condition d’existence desolutions s’écrit
ucot u=sV
22
u2(14)
(d) Montrer que les conditions d’existence 13 et 14 dé…nissent les valeurs autorisées pour les con-
stantes de propagation des modes TE. La …gure suivante donne une représentation graphique des
fonctions f(u) = utan uet g(u) = ucot u, ansi que celle de h(u) = qV
22u2pour les valeurs
particulières de V:V= 4 et V= 10:
1. Montrer comment elle permet de déterminer les constantes de propagation des modes symétriques
et antisymmétriques
2. Montrer que pour toute valeur de V, il existe un mode , dit mode fondamental, et que ce
mode est un mode symmétrique.
3. Montrer que lorsque l’on augmente progressivement Và partie de V= 0;le nombre de modes
augmente par sauts. La valeur minimale de Vqui autorise l’existence d’un mode est appelées
fréquence de coupure de ce mode. Montrer que toutes les fréquences de coupure sont telles
que
u=V
2(15)
Calculez la fréquence de coupure du premier mode antisymmétrique. En déduire la condition
pour que le guide d’onde soit monomode.
6. Dispersion des modes guidés TE
Un petit programme ou l’utilisation de logiciels simples de tracés de courbe vous permettra de tracer
facilement l’évolution avec Vdes solutions en u:Rappeler la relation qui dé…nit la constante de propa-
gation mdu mode nmen fonction de u. Déduire de l’expression 15, l’expression de mà la fréquence
de coupure, en fonction des caractéristiques du guide. Déduire de la …gure que les solutions sont telles
que
uV
2
3

(a) Déduire de la courbe que lorsqu’un guide est multimode, ses modes ont des constantes de prop-
agation di¤érentes. Pour V= 10;combien de modes guidés se propagent-ils dans le guide ? Par
mesure sur le graphique, donnez une estimation de leurs constantes de propagation.
(b) Expliquez pourquoi , dans la cas d’un guide monomode, il subsiste une dispersion.
(c) Par similitude avec les ondes planes, on peut introduire un indice e¤ectif pour cette structure
formée de deux milieux d’indices di¤érents. On considère pour cela que la constante de propagation
est reliée à la longueur d’onde dans le vide par la relation :
=2
0
neff =k0nef f
On peut donc écrire
n2
eff =n2 12u
V2n2
1n2 2
1. Montrer que pour un mode guidé, on a toujours
n2< neff < n1
et que ce résultat est équivalent à la condition de guidage démontrée précédemment.
2. Montrer qu’au voisinage de la fréquence de coupure, neff est voisin de l’indice du substrat et
que lorsque Vaugmente, l’indice e¤ectif se rapproche de l’indice du coeur.
4