INSTITUT D’OPTIQUE GRADUATE SCHOOL Travail Dirigé d’Electromagnétisme des Ondes Guidées Modes guidés du guide planaire symmétrique à saut d’indice Les modes de l’espace libre 1. on rappelle que dans un milieu d’indice de ré‡exion variable n(x; y; z), les équations de propagation des champs électriques et magnétiques s’écrivent ~ E "0 0n 2 (x; y; z) et ~ H "0 0n 2 (x; y; z) ~ @2E = @t2 ~ @2H = @t2 ~ r ~ r 1 ~ 2 rn n2 1 ~ 2 rn n2 ~ E ~ r (1) ~ H (2) (a) On décrit les champs se propageant selon z par leurs composantes complexes Ej (x; y; z) et Hj (x; y; z): Ej = Re fEj (x; y; z) exp i (!t z)g (3) et Hj = Re fHj (x; y; z) exp i (!t z)g (4) établir à partir des relations de Maxwell, ~ r ~ = i! E ~ 0H et ~ r ~ = H ~ i!"0 n2 (x; y; z) E (5) les 6 relations suivantes entre les composantes Ex , Ey , Ez , Hx , Hy , Hz , des champs: h i h i 8 8 @Ez @Hz 1 1 > > i + E H (x; y) = E (x; y) = i + H y x 2 x y > > ! 0 @y "0 !n (x;y) @y < < @Hz 1 z + E Hy (x; y) = !1 i @E E (x; y) = i x 2 y "0 !n (x;y) @x + H 0 h ix h@x i > > > > @Hy @Ey @Hx @Ex i i : E (x; y) = : H (x; y) = z ! 0 @x z @y "0 !n2 (x;y) @x (6) @y (b) Etablir que dans un espace in…ni et homogène, (donc invariant selon x; y; z les ondes planes, qui sont les modes du champ électromagnétique sont transverses electromagnétiques (TEM), c’est à dire que ni le champ électrique ni le champ magnétique n’ont de conposante dans la direction de propagation (composante longitudinale). (c) Etablir la relation de dispersion (!) Les modes du guide plan. 2. On considère un guide plan invariant selon les axes y et z et présentant une structure symmétrique selon l’axe x. Il est formé d’une couche diélectrique (le coeur) d’épaisseur d et d’indice de réfraction n1 et il est entouré de deux milieux dielectriques semi-in…nis (le substrat) d’indice n2 :Il s’agit donc d’un milieu invariant selon y et z, mais inhomogène selon x: 3. (a) Ecrire les équations de propagation 1et 2 dans chaque milieu et écrire les conditions de continuité aux interfaces 1 (b) Montrer que les équations 3 et 4 se réduisent à: : Ej = Re fEj (x) exp i (!t z)g (7) Hj = Re fHj (x) exp i (!t z)g (8) et Justi…er cette écriture et en particulier les dépendances en x; y et z. (c) Montrer que les équations 6 se séparent alors en 2 groupes d’équations dont on véri…era qu’elle sont indépendantes : 8 8 1 1 > > < Hx (x; y) = ! 0 Ey < Ex (x; y) = "0 !n2 (x;y) Hy @H i @Ey Ez (x; y) = "0 !n2i (x;y) @xy Hz (x; y) = ! @x (9) 0 > > : E (x; y) = : @Ez 1 @Hz 1 Hy (x; y) = ! i @x + Ex y "0 !n2 (x;y) i @x + Hx 0 1. Montrer que le premier groupe correspond à un champ magnétique transverse (TM) c’est à dire sans composante longitudinale du champ magnétique. Montrer que dans ce cas, le champ électrique a une composante longitudinale non nulle et qu’il ne s’agit donc pas d’un champ TEM. 2. Montrer que le second groupe correspond à un champ électrique transverse (TE) c’est à dire sans composante longitudinale du champ électrique. Montrer que dans ce cas, le champ magnétique a une composante longitudinale non nulle et qu’il ne s’agit donc pas d’un champ TEM. 4. Les modes TE du guide plan Dans le cas du mode TE, représentez sur une …gure, les trois composantes non nulles des champs dans le guide. En déduire que l’équation de propagation du champ électrique est scalaire. (a) Ecrire cette équation dans chacun des deux milieux. Traduire les conditions aux limites en fonction du champ électrique.Ecrire les deux équations qui permettront de calculer le champ magnétique à partir des solutions de cette équation. (b) Discutez la forme des solutions des équations dans le coeur et dans le substrat, en fonction des valeurs relatives de ; k0 n1 et k0 n2 . En déduire qu’il existe trois types de solutions globales (jxj < d2 et jxj > d2 ) dont une seule représente des modes guidés. En déduire la condition sur ( dite condition de guidage) pour que le mode de constante de propagation soit un mode guidé: (c) Dans le cas d’un mode guidé, introduire les constantes réelles positives 2 2 = k02 n21 et 2 = 2 k02 n22 (10) dans les équations de propagations et montrer que leurs solutions sont la somme d’une solution symmétrique et d’une solutions anti symmétrique. On peut montrer que l’indice de réfraction n(x) étant ici une fonction symmétrique (n(x) = n( x)) les solutions de l’équation doivent être soit symmétriques soit antisymmétriques 5. Constantes de propagation des modes guidés TE (a) Ecrire dans le substrat et dans le coeur, l’expression du champ électrique d’un mode guidé TE symmétrique et exprimer les conditions de continuité. On introduira pour cela les quantités normalisées et sans dimensions suivantes : p (11) u = 2d v = 2d V = k0 d n21 n22 On remarquera que la quantité V , dite fréquence normalisée est sans dimension. Elle caractérise totalement le guide et sa longueur d’onde d’utilisation. Tous les guides plans diélectriques à saut d’indice symmétrique de même valeur de V ont les mêmes solutions normalisées. u et v ne sont pas des quantités indépendantes u2 + v 2 = 2 V 2 2 (12) (b) Ecrire, dans le cas des modes TE symmétriques, les conditions de continuité du champ et en déduire que la condition d’existence de solutions s’écrit s 2 V u tan u = u2 (13) 2 (c) Ecrire, dans le cas des modes TE anti symmétriques, les conditions de continuité du champ et en déduire que la condition d’existence desolutions s’écrit s 2 V u2 (14) u cot u = 2 (d) Montrer que les conditions d’existence 13 et 14 dé…nissent les valeurs autorisées pour les constantes de propagation des modes TE. La …gure suivante donne une q représentation graphique des fonctions f (u) = u tan u et g(u) = u cot u, ansi que celle de h(u) = particulières de V : V = 4 et V = 10: V 2 2 u2 pour les valeurs 1. Montrer comment elle permet de déterminer les constantes de propagation des modes symétriques et antisymmétriques 2. Montrer que pour toute valeur de V , il existe un mode , dit mode fondamental, et que ce mode est un mode symmétrique. 3. Montrer que lorsque l’on augmente progressivement V à partie de V = 0; le nombre de modes augmente par sauts. La valeur minimale de V qui autorise l’existence d’un mode est appelées fréquence de coupure de ce mode. Montrer que toutes les fréquences de coupure sont telles que V (15) u= 2 Calculez la fréquence de coupure du premier mode antisymmétrique. En déduire la condition pour que le guide d’onde soit monomode. 6. Dispersion des modes guidés TE Un petit programme ou l’utilisation de logiciels simples de tracés de courbe vous permettra de tracer facilement l’évolution avec V des solutions en u :Rappeler la relation qui dé…nit la constante de propagation m du mode n m en fonction de u. Déduire de l’expression 15, l’expression de m à la fréquence de coupure, en fonction des caractéristiques du guide. Déduire de la …gure que les solutions sont telles que V u 2 3 (a) Déduire de la courbe que lorsqu’un guide est multimode, ses modes ont des constantes de propagation di¤érentes. Pour V = 10; combien de modes guidés se propagent-ils dans le guide ? Par mesure sur le graphique, donnez une estimation de leurs constantes de propagation. (b) Expliquez pourquoi , dans la cas d’un guide monomode, il subsiste une dispersion. (c) Par similitude avec les ondes planes, on peut introduire un indice e¤ectif pour cette structure formée de deux milieux d’indices di¤érents. On considère pour cela que la constante de propagation est reliée à la longueur d’onde dans le vide par la relation : = 2 nef f = k0 nef f 0 On peut donc écrire n2ef f = n21 2u V 2 n21 n22 1. Montrer que pour un mode guidé, on a toujours n2 < nef f < n1 et que ce résultat est équivalent à la condition de guidage démontrée précédemment. 2. Montrer qu’au voisinage de la fréquence de coupure, nef f est voisin de l’indice du substrat et que lorsque V augmente, l’indice e¤ectif se rapproche de l’indice du coeur. 4