COURANT CONTINU - LES LOIS GENERALES

COURANT CONTINU : LES LOIS GENERALES
I – Le courant électrique
1) Déplacement des charges électriques
Le courant électrique est la manifestation du déplacement de charges électriques.
Le sens conventionnel du courant est celui des charges positives.
Les porteurs de charge sont des électrons pour les métaux, de ions pour les électrolytes ou
encore des trous (charges positives) pour les semi-conducteurs.
2) Intensité du courant
Définition : une charge électrique dq qui traverse une surface S pendant un temps dt crée un
courant i tel que :
i=
dq
dt
i en A
q en C
t en s
Remarque : dans les circuits qui nous intéressent, la surface S est la section de conducteurs.
3) Vecteur densité de courant
Dans le cas d’une solution aqueuse, on définit le vecteur densité de courant j par :
j = n+ q+ v+ + n− q− v−
n : nombre de charges par unité de volume
Remarque 1 : q+>0, q-<0 mais comme v+ et v- sont opposés, les vecteurs densité de courant +
et – sont de même sens, leur effets s’ajoutent.
Remarque 2 : si la solution comporte plus de 2 espèces d’ions, la densité de courant totale est
définie par la somme des densités de courant :
j = ∑ i ni qi vi
Remarque 3 : la distribution de charges est continue.
j = ρ ⋅v
ρ densité volumique de charge en C.m-3
Relation entre le vecteur densité de courant j et l’intensité i :
i = ∫∫ j ⋅ n ⋅ dS
S
n vecteur unitaire perpendiculaire à S
Dans le cas d’un fil (conducteur cylindrique) :
i = ∫∫ j ⋅ dS = j ⋅ S
S
j=
i
S
j en A.m-2
II – La loi d’Ohm
1) Loi d’Ohm macroscopique
U AB = R ⋅ I
U en V
R en Ω
I en A
U AB = VA − VB : différence de potentiels
Remarque 1 : les conducteurs qui vérifient la loi d’ohm s’appellent des résistors (ou
résistances).
Remarque 2 : dans un fil électrique :
R= ρ⋅
l
S
ρ résistivité en Ω.m
l en m
S en m2
La résistivité est caractéristique du matériau (et dépend de la température)
Ex : Cu : ρ = 1,6.10-8 Ω.m / Fe : ρ = 9,7.10-8 Ω.m / Verre : ρ ≈ 108 Ω.m
A.N : résistance d’un fil de cuivre de longueur 1m et de section 2mm : R = 5.10-3 Ω
On peut donc négliger la résistance des fils électriques dans un circuit.
2) Loi d’Ohm locale
Dans un conducteur homogène et isotrope on a :
1 j = ⋅E
ρ
avec E le vecteur champ électrique
3) Caractéristique d’un dipôle
On appelle caractéristique d’un dipôle le graphe de la relation entre la tension à ses bornes et
l’intensité qui le traverse U=f(I) ou I=f(U)
Ex : cas du résistor
U
I
(Droite croissante qui passe par l’origine)
III – Limites de validité de l’électrocinétique
L’électrocinétique est le domaine de l’électromagnétisme qui peut décrire les termes de
courant et de tension.
Or, les champs électriques et les potentiels, qui transportent l’information des modifications
électriques du circuit, ne se propagent pas instantanément (la vitesse de propagation est
toujours inférieure à c = 3.108 m.s-1.
Donc on ne pourra considérer que l’intensité de courant i est la même en tous les points du
circuit (ce qui est fait en électrocinétique) que si la durée de propagation est négligeable
devant les variations imposées par le générateur.
Le temps caractéristique (temps mis par le champ électrique pour atteindre les points les plus
éloignés du circuit) est
τ=
l
= 3 ns pour un fil de cuivre de 1 mètre.
c
On obtient une fréquence f =
1
τ
= 3.108 Hz
Il ne faut pas dépasser 1 MHz (à peu près 100 fois moins) pour être dans l’approximation des
régimes quasi-stationnaires (ARQS)
Autre exemple : EDF
Taille du réseau : 1000 km
τ=3.10-3 s > f=300 Hz
Le réseau EDF est à 50Hz > ce n’est pas dans l’ARQS comparé au 300 Hz
IV – Lois de Kirchhoff
1) Vocabulaire
- réseau/circuit électrique : ensemble de composant électriques reliés par de fils de connexion.
- noeux : point du circuit où sont connectés au moins 3 fils.
- branche : ensemble de dipôles situés entre deux nœuds consécutifs
- maille : ensemble de branches formant un contour fermé
2) Loi des nœuds
La somme des intensités qui arrivent à un nœud est égale à la somme de intensités qui en
partent.
Remarque : La loi de nœuds traduit la conservation de la charge.
3) Loi des mailles (ou d’additivité des tensions)
A
D4
U AB + U BC + U CD + U DA = 0
D1
B
D2
Soit (A,B,C,D) une maille
démo :
D3
D
(VA − VB ) + (VB − VC ) + (VC − VD ) + (VD − VA ) = 0
C
Remarque : en électronique, très souvent, les tensions sont représentées par des flèches : la
flèche représentant une tension UAB doit avoir son origine en B et sa pointe en A.
Règle : pour appliquer la loi des mailles : quand une tension est en sens opposé au sens de
rotation, elle est positive, sinon, elle est négative.
V – Etude énergique des dipôles usuels
1) Puissance électrique reçue par un dipôle quelconque
UAB
A
B
dipôle
I
Définition : la puissance électrique reçue par le dipôle [A,B] est donnée par l’expression :
P = U AB ⋅ I AB
P puissance en Watt (W)
2) Cas du résistor
Symbole :
Dans tous les cas, avec un résistor, on a :
P = U AB ⋅ I AB = RI 2
Cela correspond à la puissance reçue par un résistor dans un circuit. Cette puissance est
ensuite dissipée par effet Joule sous forme de chaleur.
3) Cas du générateur
E,r
Symbole :
+
-
Par définition le courant sort de la borne + du générateur. On a :
U AB = E − rI
E force électromotrice du générateur (f.e.m) V
r résistance interne Ω
PG = UI = ( E − rI )( − I ) = − EI + rI 2
P<0 : La puissance est délivrée dans le reste du circuit. C’est le générateur qui la créé.
EI est la puissance totale consommée par le générateur (d’origine chimique dans les piles).
rI² est la puissance perdue par effet Joule (chaleur) dans le générateur.
PG = EI − rI 2 est la puissance fournie par le générateur au reste du circuit.
4) Cas des électromoteurs récepteurs
Exemples : moteurs électroniques, accumulateurs, chargeurs, …
Symbole :
A
+
M
-
U AB = E ′ − r ′I
E’ force contre électromotrice (fcem) V
r résistance interne Ω
B
Pm = U AB ⋅ I AB = ( E ′ + r ′I )( I ) = E′I + r ′I 2 > 0
Le récepteur reçoit de la puissance.
EI est la puissance utile (puissance utilisée par le récepteur pour effectuer sa fonction).
rI² est la puissance perdue par effet Joule (chaleur).
5) Convention générateur, convention récepteur
Soit un dipôle inconnu quelconque [A,B] traversé par un courant I. Soit le courant réel va de
A vers B (alors I > 0), soit il va de B vers A (I < 0).
On peut étudier un dipôle selon les deux conventions suivantes :
- la convention générateur : Ug = UBA
- la convention récepteur : Ur = UAB
+
A
–
dipôle
A
+–
V
–+
B
Ug Ur
En convention générateur : (en vert) si I et U sont de même signe, alors le dipôle est un
générateur, sinon c’est un récepteur.
En convention récepteur : (en bleu) si I et U sont de même signe, alors le dipôle est un
récepteur, sinon c’est un générateur.
6) Loi d’Ohm généralisée
Pour un générateur en convention récepteur, on a U = -E + rI
On appelle loi d’Ohm généralisée l’expression : U AB = rI − e
Générateur : e>0, Electromoteurs : e>0, Résistors : e=0.
7) Source de tension, source de courant
E
Cas idéaux de générateurs : r infinie ou r nulle.
On appelle source de tension le cas idéal où r = 0. U AB = E
On appelle source de courant le cas idéal
où r est infini I = η c’est un courant électromoteur.
i