TD5 Machine thermique - lycée Alpes et Durance

TD5 : Machine thermique 1
ère
année BTS SCBH
Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 1/3
TD5 : Machine thermique
Exercice 1 :
Une machine thermique met en jeu une masse constante d’un gaz parfait et lui fait décrire le cycle suivant
selon des transformations réversibles :
• Une compression isotherme qui fait passer le gaz de l’état A (pression 2 bar ; volume 30L ;
température 16°C) à l’état B (p
B
; V
B
= 6L ; T
B
),
• Un échauffement isobare de l’état B à l’état C (p
C
; V
C
= 18L ; T
C
),
• Une détente adiabatique de l’état C à l’état D (p
D
; V
D
; T
D
),
• Un refroidissement isobare de l’état D à l’état A.
1. Calculer le nombre de moles de gazeuses mises en jeu.
2. Calculer les variables d’état dans les états A, B, C et D, puis compléter, le tableau ci-dessous :
Pression (Pa) Volume (m
3
) Température (K)
État A
État B
État C
État D
3. Représenter ce cycle dans le diagramme de Clapeyron (p,V).
4. Calculer le travail et la quantité de chaleur échangés au cours de la transformation de l’état B à l’état C.
Données numériques :
Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.K
−1
.mol
−1
Chaleur molaire à pression constante C
p
= 29,1 J. K
−1
.mol
−1
Dans une transformation adiabatique, pV
γ
= constante, avec γ = 1,4 pour le gaz considéré.
Exercice 2 :
Soit une masse d’air prise dans un état initial A, de température T
A
= 400K, de pression P
A
= 1,0.10
5
Pa et
occupant le volume V
A
= 10L. L’air est considéré comme un gaz parfait. Sa masse molaire est M =
29g.mol
−1
. On donne la constante des gaz parfaits R = 8,31 J.K
−1
.mol
−1
. Dans tout ce qui suit, les
transformations thermodynamiques subies par le gaz sont réversibles et sans perte ni gain de matière.
1. Calculer le nombre n de moles d’air, sa masse m et sa masse volumique ρ dans ces conditions initiales.
2. On fait subir à n = 0,30 mol d’air dans l’état A, un cycle ABCDA décrit-ci-dessous. Il est conseillé de
disposer les résultats successifs dans le tableau ci-dessous.
Pression (Pa) Volume (m
3
) Température (K)
État A
État B
État C
État D
2.1 À partir de l’état A on procède à un refroidissement isobare qui met l’air dans un état B de
température T
B
= 200K. Calculer le volume V
B
du gaz dans cet état.
2.2 Puis on chauffe l’air, de façon isochore, jusqu’à un état C sous la pression P
C
= 1,5.10
5
Pa.
Calculer la température T
C
dans cet état.
2.3 Puis on continue à échauffer l’air de manière isobare, jusqu’à une température T
D
= 400K.
Calculer le volume V
D
dans cet état D.
2.4 Enfin on ramène, de façon isotherme, le système dans son état initial A.

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3. Placer les 4 points A, B, C et D dans un repère de Clapeyron (P,V) en précisant le sens de parcours sur le
cycle.
4. On se propose de calculer la chaleur et le travail mis en jeu dans les transformations des paragraphes 2.1
et 2.2. On rappelle que la chaleur mise en jeu pour une transformation isochore ou isobare a pour expression
générale Q = n.c.∆T avec n : nombre de moles c : chaleur molaire (à pression constante c = cp = 29,1 J.
K
−1
.mol
−1
; à volume constant c = cv = 20,8 J. K
−1
.mol
−1
). Dans ces mêmes types de transformation le travail
mis en jeu s’exprime par W = -P∆V. Calculer la chaleur et le travail mis en jeu dans les transformations des
paragraphes 2.1 et 2.2.
Exercice 3 :
Données : R = 8,31 J.mol
−1
.K
−1
,Cv = 20,8 J.mol
−1
.K
−1
; = 1,4 ; PV
γ
= cte pour une transformation
adiabatique.
Un gaz parfait peut subir différentes transformations réversibles pour passer de l’état initial 1 à l’état final 4 :
a) une transformation isotherme ;
b) une transformation isochore, suivie d’une transformation isobare ;
c) une transformation adiabatique, suivie d’une transformation isobare.
1. Quelles sont sur la figure, les courbes représentant chacune de ces transformations ?
2. Les différents états du gaz parfait sont décrits dans le tableau ci-dessous :
Paramètres/états 1 2 3 4
P(Pa) 1,6.10
5
0,8.10
5
V(L) 80 160
T(K) 300 246
2.1 Calculer la quantité de matière n concernée par ces transformations.
2.2 Compléter le tableau ci-dessus, en justifiant les calculs.
3. Calculer la valeur du travail reçu par le gaz : au cours des transformations 1→2 et 2→4.
4. Calculer la quantité de chaleur reçue par le gaz : au cours des transformations 1→3, au cours de la
transformation 1→2, au cours de la transformation 2→4.
5. Calculer la variation de l’énergie interne du gaz quand il passe de l’état 1 à l’état 4.
Exercice 4 :
Une pompe à chaleur fonctionne avec deux sources :
− une source froide constituée par une nappe souterraine ;
− le circuit de chauffage qui constitue la source chaude.
Le fluide utilisé dans cette pompe à chaleur est de l’air assimilable à un gaz parfait (R = 8,314 J.mol
−1
.K
−1
),
de capacité thermique molaire à pression constante Cp = 29,1 J.K
−1
.mol
−1
. Le rapport γ des capacités
thermique à pression constante Cp et à volume constant Cv est tel que γ = = 1,4.
L’air de la pompe à chaleur subit le cycle de transformation suivant :
• passage de l’état initial A à l’état B par une compression adiabatique réversible dans un compresseur,
1
2 V
P
3 4

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• passage de l’état initial B à l’état C par une transformation isobare pendant laquelle l’air transfère à
la source chaude une quantité de chaleur Q
BC
,
• passage de l’état initial C à l’état D par une détente adiabatique réversible,
• passage de l’état initial D à l’état A par une transformation isobare pendant laquelle l’air reçoit de la
source froide une quantité de chaleur Q
DA
.
1. Détermination de la valeur des grandeurs d’état dans chaque état : on effectuera les calculs relatifs à une
mole d’air (n = 1 mol) puis les résultats des calculs de volume, de pression et de température seront reportés
dans le tableau ci-dessous :
Pression (Pa) Volume (L) Température (K)
État A p
A
= 1.10
5
V
A
= T
A
= 298
État B P
B
= 2,2.10
5
V
B
= T
B
=
État C p
C
= p
B
V
C
= T
C
=340
État D P
D
= p
A
V
D
= T
D
=
2. Détermination du cycle de Clapeyron
2.1. Compléter le cycle de Clapeyron (p,V) en y plaçant les points C et D
2.2. Préciser le sens de parcours du cycle.
3. On étudie le bilan thermique.
3.1. Calculer les quantités de chaleur échangées Q
BC
et Q
DA
.
3.2. Donner la valeur de la quantité de chaleur échangée lors d’une transformation adiabatique.
3.3. En déduire le travail échangé au cours de la totalité du cycle.
3.4. On définit l’efficacité e de la pompe par le rapport suivant : e = dans lequel Q est la quantité
de chaleur transférée de la source chaude au cours d’un cycle par l’air et W le travail échangé par
l’air au cours de ce même cycle. Calculer e et conclure.
Rappels :
 pour une transformation adiabatique réversible d’un état A (p
A
,V
A
,T
A
) à un état B (p
B
,V
B
,T
B
), on
peut écrire : p
A
V
Aγ
= p
B
V
Bγ
et T
A
V
Aγ-1
= T
B
V
Bγ-1
 pour un gaz parfait subissant une transformation isobare : Q = nCp∆T
 lors d’un cycle de transformation d’un gaz parfait : ∑Q + ∑W = 0
Fin