Le champ magnétique - Gymnase français de Bienne

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5. Le champ magnétique
. Au Ier siècle av. J.-C. le poète Lucrèce décrivait dans ses œuvres la puissance mystérieuse des
pierres d'aimant que l'on trouvait dans une région d'Asie Mineure appelée Magnésie. Ces aimants
naturels avaient des propriétés différentes de l'ambre puisqu'ils n'altéraient que le fer et ce sans
devoir être frottés. Vers le XIesiècle les marins chinois et arabes utilisaient des aimants flottants pour
s'orienter.
De nos jours, les aimants sont utilisés dans les appareils de mesure, les moteurs, les haut-parleurs, les
appareils d'enregistrement, les mémoires d'ordinateur, en analyse chimique, pour concentrer le
faisceau d'électrons dans un tube de télévision, et dans une foule d'autres mécanismes. En plus d'être
utile à la navigation, le champ magnétique nous protège contre les effets dangereux des particules
chargées de haute énergie provenant de l'espace. Nous allons étudier dans ce chapitre les forces
exercées par des champs magnétiques sur des particules chargées et sur des courants électriques.
5.1. Le champ magnétique
Au voisinage d'un
barreau aimanté, la
limaille de fer forme
une configuration
caractéristique qui
montre l'influence de
l'aimant sur le milieu
environnant. C'est à
partir de ces
configurations que
Michael Faraday eut
l'idée d'introduire la
notion du champ
magnétique et les
lignes de champ
correspondantes. Le
champ magnétique
B
en un point est dirigé selon la tangente à une ligne de champ. Le sens de
B
est celui
de la force agissant sur le pôle nord d'un barreau aimanté et correspond à la direction vers laquelle
pointe l'aiguille d'une boussole. L'intensité du champ est proportionnelle au nombre de lignes
traversant une surface unitaire normale au champ.
On remarque à la figure de gauche que les pôles ne sont pas situés en des points précis mais qu'ils
correspondent plutôt à des régions mal définies proches des extrémités de l'aimant. Si l'on essaie
d'isoler les pôles en coupant l'aimant, il se produit une chose curieuse: on obtient
deux aimants, comme on le voit à la figure ci-contre. Si l'on coupe l'aimant en tranches
très fines, chaque fragment garde toujours deux pôles.
Même à l'échelle atomique, nul n'est parvenu à trouver un pôle magnétique isolé, ce
que l'on appelle un monopôle. C'est pourquoi les lignes de champ magnétique
forment des boucles fermées. À l'extérieur de l'aimant, les lignes émergent du pôle
nord et entrent par le pôle sud; à l'intérieur, elles sont dirigées du pôle sud vers le
pôle nord.
Définition du champ magnétique
La définition du champ électrique est assez simple. Si
F
est la force agissant sur une charge
électrique stationnaire q placée dans le champ, le champ électrique est qFE , c'est-à-dire la
force par charge unitaire. Mais puisqu'il n'est pas possible d'isoler un pôle, la définition du champ
magnétique n'est pas aussi simple. En examinant l'effet d'un champ magnétique sur une charge
électrique, on constate :
La force agissant sur une particule chargée est directement proportionnelle à la charge q et à la
vitesse v, c'est-à-dire :
qv
F
Si la vitesse vde la particule fait un angle avec les lignes de
B
, on trouve : sin F
F
est perpendiculaire à la fois à v et à
B
.

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On peut tenir compte de tous ces résultats en définissant le produit vectoriel:
BvqF  équation 6.1
Puisque
F
est toujours perpendiculaire à v , une force magnétique n'effectue aucun travail sur une
particule et ne peut servir à faire varier son énergie cinétique. L'unité SI de champ magnétique est
le tesla (T). Un aimant ordinaire de laboratoire peut produire un champ d'environ 1T, alors qu'un
aimant supraconducteur peut produire plus de 30T. Le tesla étant une grande unité, on utilise parfois
une autre unité, le gauss (G), dont la conversion est la suivante:
TG 4 101 
L'intensité du champ magnétique terrestre près de la surface est voisine de 0,5 G, alors que l'intensité
du champ au voisinage d'un barreau aimanté peut atteindre 50G.
EXEMPLE 6.1 -Un électron a une vitesse s
m
v6 10selon l’axe y, dans un champ
G
B
500
selon l’axe z. Quelle est la force agissant sur l’électron ?
5.2. La force sur un conducteur parcouru par un courant
Si l'on place un fil dans un champ magnétique, il n'est soumis à aucune force. Les
vitesses thermiques des électrons libres sont orientées au hasard et la force nette est
donc nulle. Par contre, lorsque le fil est parcouru par un courant, les électrons
acquièrent une faible vitesse de dérive d vet sont donc soumis à une force
magnétique qui est ensuite transmise au fil. Considérons un segment rectiligne de fil
de longueur let de section Sparcouru par un courant Iperpendiculaire à un champ
magnétique uniforme. Si n est le nombre d'électrons de conduction par unité de
volume, le nombre de charges dans ce segment de fil est nSl. Chaque électron est soumis à une force
Bevdet la force totale exercée sur les électrons dans ce segment est :
BevnSlF d )(
D'après l'équation 5.2, d nSevI, et l'expression précédente devient IlBF . Si le conducteur
parcouru par un courant n'est pas perpendiculaire au champ, la force exercée sur le fil est donnée par
l'expression vectorielle :
BlIF  équation 6.2
où le vecteur l est par définition de même sens que le courant.
Comme le montre la figure, la force est toujours normale au fil et aux
lignes de champ. L'intensité de la force est :
sinIlBF équation 6.3
où est l'angle entre le vecteur l et le champ
B
. Si le fil n'est pas
rectiligne ou si le champ n'est pas uniforme, la force agissant sur un
élément de courant infinitésimal Idl est :
BlIdFd
La force sur un fil est égale à la somme vectorielle (intégrale) des les
éléments de courant.

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EXEMPLE 6.2: Un fil rectiligne de longueur 30 cm et de masse 50gsuit la direction est-ouest. Le
champ magnétique terrestre en ce point est horizontal et a une intensité de 0,8 G. Pour quelle valeur
du courant l’effet du champ compense-t-il le poids du fil ?
5.3. Le moment de force sur une boucle de courant
Les côtés horizontaux sont soumis à des forces verticales égales et opposées qui ont tendance à les
écarter (ce que vous pouvez vérifier par la règle de la main droite). Ces forces verticales n'exercent
aucun moment de force puisqu'elles sont situées dans le plan du cadre. Les forces agissant sur les
côtés verticaux sont elles aussi égales et opposées:
jIcBiBkcIF
jIcBiBkcIF 
)()(
)()(
2
1
D'après la figure b, on voit que ces forces produisent des moments de force de même sens par rapport
à l'axe central. Le bras de levier pour chacune de ces forces est sin)2(ar ; le moment de
force net par rapport à l'axe est donc :
 sinsin
2
)(2 ISB
a
IcBM
où acS est l’aire du cadre. Pour un cadre comportant Nspires, le moment de force est Nfois plus
grand.
Un cadre parcouru par un courant, comme un barreau aimanté, est un dipôle magnétique (nous
verrons pourquoi plus tard). Le moment magnétique dipolaire d'un cadre plan de forme quelconque
est défini par:
n
uNIS équation 6.4
L'unité SI de moment magnétique est l'ampère xmètre2. Le sens du vecteur unitaire n u , est donné par
la règle de la main droite: si vous fermez les doigts de votre main droite dans le sens du courant, votre
pouce pointe en direction de n u . On peut maintenant écrire de manière plus concise l'équation du
moment de force :
BM  équation 6.5
Le moment de force a tendance à aligner le moment magnétique sur le champ, tout comme l'aiguille
d'une boussole.
5.4. Le galvanomètre
La pile voltaïque inventée par Volta en 1800 fit considérablement
avancer les recherches en électricité, car elle permettait de
produire un courant continu. Mais avant 1820, la présence d'un
courant électrique ne pouvait être détectée que par une
élévation de température dans un fil, par les transformations
chimiques produites dans une cellule ou par la sensation
produite par le courant lorsqu'il passe sur la langue. Ces
méthodes ne se prêtaient pas à des mesures précises du courant.
Peu après la découverte d'OErsted, on s'aperçut que la déviation

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de l'aiguille d'une boussole pouvait servir à mesurer un courant. J. Schweigger eut l'idée de placer une
aiguille de boussole au centre d'une bobine rectangulaire comportant un grand nombre de spires, afin
d'accentuer l'effet du champ magnétique sur le courant. S'inspirant de ce montage, d'Arsonval le
perfectionna pour confectionner ce que l'on appelle un galvanomètre à cadre mobile, instrument
encore utilisé de nos jours. Le courant circule dans un cadre comportant un grand nombre de spires
de fil fin, qui est suspendu ou qui pivote dans un champ magnétique. Lorsque le courant circule dans
le cadre, le moment de force dû au champ magnétique uniforme est :
sin
B
M
où est l'angle entre et à. Le moment de forces mécanique exercé par un ressort de torsion s'oppose
au moment de force dû au champ. Ce moment de rappel du ressort obéit à la loi de Hooke:
res
M
où est l'angle de torsion du ressort. Le cadre s'immobilise lorsque ces deux moments s'équilibrent :
sin
NISB
Cette équation peut servir à déterminer le courant I. Toutefois, le facteur sin introduit une
complication puisqu'il rend l'échelle non linéaire. Pour qu'elle soit linéaire, les faces des pôles de
l'aimant doivent être cylindriques. Dans ce cas, les lignes de champ
sont radiales au lieu d'être uniformes (pour ce faire, on place un
cylindre de fer doux à l'intérieur du cadre). Ainsi, comme le plan du
cadre est toujours parallèle aux lignes de champ et le moment
magnétique toujours normal aux lignes, 10sin et :
I
NSB
Dans ces conditions, la déviation est directement proportionnelle au
courant. Un bon galvanomètre peut enregistrer une intensité de
1A, et les meilleurs appareils peuvent mesurer des courants très
faibles de l'ordre de 1pA.
5.5. Le mouvement des particules chargées
La figure représente deux vues différentes d'une particule chargée positivement animée
d'une vitesse initiale v perpendiculaire à un champ magnétique uniforme
B
. Comme -v
et
B
sont perpendiculaires, la particule est soumise à une force
qvB
F
, d'intensité
constante et dirigée perpendiculairement à v . Sous l'action d'une telle force, la particule
se déplace sur une trajectoire circulaire à vitesse constante. D'après la deuxième loi de
Newton, F = ma, nous avons :
r
mv
qvB 2 équation 6.6
où rest le rayon de l’orbite.
qB
mv
r
Le rayon de l’orbite est proportionnelle à la quantité de mouvement et inversement
proportionnelle au champ magnétique. La période de l’orbite est :
qB
m
vr
T
22 
et la fréquence est donc :
m
qB
fc
2
équation 6.7
On constate, dans ces équation que la période ou la fréquence ne dépendent pas de
la vitesse de la particule. Les particules de même rapport q/mont même fréquence.
Le mouvement hélicoïdal
Considérons le mouvement d'une particule positive dont la vitesse a une
composante parallèle aux lignes d'un champ magnétique uniforme. La composante

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perpendiculaire donne lieu à une force Bvq qui produit un mouvement circulaire, mais la
composante parallèle ne change pas. On obtient la superposition d'un mouvement circulaire uniforme
normal aux lignes de champ et d'un mouvement rectiligne uniforme parallèle aux lignes. Ces deux
mouvements se combinent pour produire une trajectoire en spirale ou hélicoïdale. Le «pas» de
l'hélice est le déplacement de la particule dans la direction des lignes pendant une période.
Dans un champ non uniforme, le rayon de la trajectoire varie. Si les autres
variables ont des valeurs fixes, on peut voir d'après l'équation 6.6 que r va
comme 1/B, ce qui signifie que le rayon décroît au fur et à mesure que
l'intensité du champ augmente. Il se produit aussi un effet plus important,
lié au fait que la particule est soumise à une force dirigée vers la région où
le champ est plus faible (figure). Il en résulte que la composante de la
vitesse le long des lignes de
B
n'est pas constante.
Un exemple important du confinement magnétique est
observé dans le champ magnétique terrestre. Les particules
chargées provenant de l'espace décrivent des trajectoires en
spirale le long des lignes de champ d'un pôle à l'autre (figure).
Ces particules captives
sont confinées dans des
régions que l'on appelle
ceintures de Van Allen.
La forme de ces éruptions
solaires est une preuve de
l'existence du champ magnétique solaire.
5.6. La combinaison des champs électrique et magnétique
La force de Lorentz :
BvEqF  équation 6.8
Le sélecteur de vitesse
On construit une région dans laquelle des champ magnétique et électrique sont
perpendiculaires. Seule les particules dont la vitesse est :
B
E
v
vont traverser la zone sans être déviées.
Le spectromètre de masse
Un spectromètre de masse est un dispositif qui sépare les particules chargées, en général des ions,
selon leur rapport masse/charge. Si les charges sont identiques, l'instrument peut servir à mesurer la
masse des ions. La figure représente un instrument datant de 1933. Un faisceau de particules
chargées passe dans un collimateur (qui en fait un pinceau de particules) constitué par les fentes S1
et S2. Les particules pénètrent alors dans un sélecteur de vitesse dans lequel le champ magnétique
est 1 B et le champ électrique perpendiculaire est
E
. Il s'ensuit que seules les particules de vitesse v
= E/B1pénètrent dans la section suivante, où il ne règne qu'un champ magnétique 2 B . Les particules
décrivent des trajectoires demi-circulaires et frappent une plaque photographique. D'après l'équation
6.6, on sait que le rayon de la trajectoire est
2
qB
mv
r. En remplaçant v = E/B1, on obtient :