Les matériaux à bandes interdites photoniques

Les photons dans tous leurs états
Les matériaux à bandes interdites
photoniques
Réaliser un matériau qui soit, pour les photons, l’analogue de ce qu’est un cristal semiconducteur
pour les électrons est l’objectif ambitieux que se propose aujourd’hui une communauté rassemblant
opticiens, électromagnéticiens et physiciens du solide. Le développement de ce nouveau type
de matériaux à « bandes interdites photoniques » (BIP), encore appelé cristaux photoniques,
ouvre des perspectives nouvelles pour le confinement de la lumière, les sources optiques et
les systèmes micro-ondes.
T
ous les physiciens du solide
savent que les électrons d’un
cristal semiconducteur ne
peuvent prendre n’importe quelle
énergie : la périodicité du potentiel
d’interaction entre électrons et ato-
mes conduit à l’existence de bandes
d’énergies interdites. De la même fa-
çon, un matériau dont l’indice de
réfraction varie périodiquement sui-
vant les différentes directions de
l’espace pourra présenter des bandes
d’énergies interdites pour les photons
(cf. encadré). Autrement dit, dans
certains domaines de longueur
d’onde de l’ordre de grandeur de la
période du matériau, la lumière ne
pourra s’y propager et sera donc
réfléchie quelle que soit son inci-
dence. C’est en 1987 que E. Yablo-
novitch proposa de réaliser de tels
matériaux et qu’apparurent ainsi les
concepts de bande interdite photoni-
que (BIP, désignant aussi par exten-
sion le matériau à bandes interdites
photoniques) et de cristaux photoni-
ques. La première fonction d’un BIP
est d’être un miroir parfaitement
réfléchissant quel que soit l’angle ou
la polarisation dans une ou plusieurs
bandes de fréquence. De plus, si l’on
introduit localement des défauts de
périodicité dans le BIP, cela revient à
insérer des microcavités résonantes
comme on introduit des impuretés au
sein d’un cristal solide. Le dévelop-
pement des BIP ouvre alors des pers-
pectives nouvelles pour les sources
optiques en créant les conditions de
confinement de la lumière dans un
mode unique du champ électro-
magnétique. L’enjeu pratique pour
les lasers à semiconducteurs, par
exemple, est de savoir structurer en
deux ou trois dimensions (2D ou 3D)
des matériaux solides jusqu’aux
échelles des longueurs d’onde submi-
croniques. Des applications impor-
tantes existent aussi, comme nous le
verrons, aux plus grandes longueurs
d’ondes, et c’est finalement pour
explorer toutes ces potentialités que
s’est constituée en France une com-
munauté composée d’opticiens,
d’électromagnéticiens et de physi-
ciens du solide (GdR CNRS « Cris-
taux photoniques et microcavités »).
DES MIROIRS DE BRAGG À PLUSIEURS
DIMENSIONS
Le BIP le plus simple que l’on
puisse concevoir est le classique
miroir de Bragg, obtenu par alter-
nance périodique de couches planes
diélectriques d’épaisseur optique
k
/
4. L’analyse fine de ses proprié-
tés permet d’ailleurs de bien illustrer
les multiples aspects relatifs à la no-
tion de bande interdite photonique
(cf. encadré). Néanmoins, la bande
interdite d’un miroir de Bragg se
déplace spectralement avec l’angle
d’incidence. En conséquence, pour
une fréquence donnée, la pénétration
dans la structure multicouche est tou-
jours possible sous certains angles.
Pour avoir une bande interdite com-
plète, c’est-à-dire une bande de fré-
quences électromagnétiques inter-
dites dans le matériau quel que soit
l’angle d’incidence, il est donc néces-
saire de fabriquer une structure dont
la périodicité de l’indice de réfraction
s’étend sur les trois dimensions. De
nombreux choix sont possibles. Quel
matériau choisir ? Quel réseau cris-
tallin ? Quel remplissage de la maille
élémentaire ?
Notons d’abord que la bande inter-
dite photonique d’un miroir de Bragg
est d’autant plus large que le
contraste d’indice de réfraction entre
les matériaux qui le composent est
élevé. Le BIP 3D qui nécessite le
recouvrement des bandes interdites
pour toutes les directions de l’espace
sera donc plus facilement obtenu
avec un contraste d’indice élevé. On
démontre que le rapport d’indice doit
être typiquement supérieur à 2. Cette
condition est très astreignante, car la
grande majorité des diélectriques
courants ont un indice de réfraction
insuffisant. Cela exclut par exemple
l’utilisation de structures périodiques
pourtant très spectaculaires rencon-
trées dans le monde animal (réseau
d’alvéoles dans les plumes de cer-
tains oiseaux), minéral (réseau de
billes de silice à la surface des opa-
les nobles), ainsi que d’autres
– Thomson CSF, Laboratoire central de
recherches, Domaine de Corbeville,
91400 Orsay.
– Institut d’électronique fondamentale,
URA 22 CNRS, Bât. 220, 91405 Orsay.
37

matériaux s’organisant spontanément
sur des réseaux 3D tels certains poly-
mères ou certaines solutions colloï-
dales. Ceux-ci ont des indices de ré-
fraction trop faibles, et les mesures
sur ces matériaux montrent de classi-
ques effets de diffraction par une
structure périodique, tout à fait ana-
logues à la diffraction des rayons X
par les cristaux. Pour obtenir une
bande interdite complète, les cher-
cheurs ont donc utilisé des matériaux
d’indice plus élevé tels que les semi-
conducteurs ou certains isolants.
On montre que la structure la plus
favorable pour la réalisation d’un
BIP est celle dont la première zone
de Brillouin construite dans le réseau
réciproque (cf. encadré) est la plus
proche d’une sphère. Ce résultat est
intuitif car il revient à considérer tou-
tes les directions de propagation de
manière équivalente. Le réseau cubi-
que face centrée (c.f.c.), dont la pre-
mière zone de Brillouin est un octa-
èdre tronqué, apparaît comme le
meilleur candidat.
Il reste à choisir le motif, c’est-à-
dire la forme du matériau à l’inté-
rieur d’une période. Les calculs qui
s’imposent sont difficiles car les ma-
tériaux sont structurés à l’échelle de
la longueur d’onde et les approxi-
mations de l’optique géométri-
que (k<< r) ou de milieu effectif
(k>> r) sont inapplicables. On abou-
tit rapidement à un traitement numé-
rique, avec des limitations évidentes
sur la taille des systèmes étudiés. Les
calculs montrent cependant que le
remplissage de la maille élémentaire
Encadré 1
BANDES D’ÉNERGIE ÉLECTRONIQUES
ET PHOTONIQUES
L’équation d’onde (1) d’un champ électromagnétique E(r)
permanent dans un milieu sans perte de permitivité électrique
relative e(r)est formellement analogue à l’équation de
Schrödinger (2) décrivant la fonction d’onde w(r)d’un
électron dans un potentiel V(r):
∇×@
∇×E
~
r
! #=x
2
c
2e
~
r
!
E
~
r
!
(1)
∇2w
~
r
!
=−2m
\
2
~
E−V
~
r
!!
w
~
r
!
(2)
La seule différence est la nature de l’équation d’onde,
vectorielle dans le cas des photons, scalaire dans le cas des
électrons. On retrouve cependant pour un diélectrique
périodique une structure de bandes photoniques analogue à la
structure de bandes électroniques du cristal solide de même
périodicité. Compte tenu de la périodicité de e(r), l’équation
(1) se résout en décomposant E(r)et e(r)en ondes planes :
E(r)=RGEx(G) exp(i(k+G)r)et
e(r)=RGe˜(G) exp(iGr), où kest le vecteur d’onde et G
appartient au réseau réciproque. Après transformation de
Fourier, on aboutit à :
−
~
k+G
!
×
@ ~
k+G
!
×Ex
~
G
! #
=x
2
c
2
(
G′
e˜
~
G−G′
!
Ex
~
G′
!
(3)
qui, une fois développée, est une équation aux valeurs propres
x2
c2et de vecteurs propres e˜Ex.Si l’on limite la décomposition
de Fourier à N vecteurs du réseau réciproque, le problème est
de dimension 3N×3N.En réalité, on montre que seules
deux polarisations transverses de Esont à prendre en compte,
ce qui nous ramène à 2N valeurs propres.
La figure de gauche montre le cas du miroir de Bragg pour
une incidence perpendiculaire aux couches. Les deux
polarisations du champ sont ici équivalentes. Comme en
physique des solides, le diagramme de bandes (ou de
dispersion), x(k), se construit en se limitant aux vecteurs du
réseau réciproque situés dans la première zone de Brillouin
(ici,
u
k
u
<p
a). Aux basses fréquences, le miroir se comporte
comme un matériau effectif d’indice moyen (dispersion
linéaire), mais une bande interdite s’ouvre dès qu’on approche
le bord de zone. On montre qu’aux fréquences de la bande
inférieure permise, le champ électrique est concentré dans les
régions de forte permitivité. L’inverse se produit pour les
fréquences juste au-dessus de la bande interdite et l’on
retrouve l’équivalence avec les bandes de valence et de
conduction d’une chaîne linéaire d’atomes. Quand l’angle
d’incidence est modifié, la période « vue » par l’onde
électromagnétique change et la bande interdite se décale en
fréquence.
La figure de droite représente la « Yablonovite ». La première
zone de Brillouin est un octaèdre tronqué (voir encart). Selon
la nomenclature usuelle, Cdésigne son centre, X, L, U, K, W
ses points de symétrie principaux. Le diagramme de bandes
s’obtient en juxtaposant les diagrammes élémentaires
correspondant à chaque direction. Une bande interdite
complète apparaît ici entre la deuxième et la troisième bande
permise.
38

n’est pas indifférent. On ne peut pas
se contenter d’un réseau c.f.c. simple.
Après de premières hésitations, la
première bande interdite complète a
été prédite par une équipe de l’uni-
versité de l’Iowa dans la structure du
diamant (un c.f.c. avec deux atomes
par maille séparés de
~
1
4,1 4,1 4
!
sui-
vant la grande diagonale). Depuis
lors, toutes les réalisations de BIP 3D
ont été des « maquettes » de la
structure du diamant, à différentes
échelles.
DES BIP AUX ONDES CENTIMÉTRIQUES
ET MILLIMÉTRIQUES
Il est clair que la tâche de réalisa-
tion est d’autant plus ardue que les
longueurs d’onde sont petites et l’on
ne s’étonnera pas de ce que les pre-
mières réalisations aient vu le jour
dans le domaine des ondes millimé-
triques. Des études empiriques de
structures 2D ou 3D étaient d’ailleurs
apparues dès les années 60, où l’on
parlait alors de diélectrique artificiel.
Ce n’est pourtant qu’en 1991, après
l’introduction du formalisme de
bande interdite photonique, que
E. Yablonovitch réalisa la « Yablono-
vite », reproduction de la maille cris-
talline du diamant par perçage d’un
bloc de plexiglas suivant trois axes à
120° correspondant aux galeries
<110 >de la structure du diamant
(encadré). L’existence d’une bande
interdite complète a été démontrée à
la fréquence de 15 GHz (kz2 cm).
Des démonstrations plus récentes ont
été faites à plus haute fréquence. La
La méthode des ondes planes décrite ci-dessus est bien
adaptée à l’étude du diagramme de bandes d’un BIP infini.
En revanche, elle ne s’applique pas au calcul de la
transmission d’un BIP fini, de même qu’elle est peu adaptée à
l’étude des défauts de périodicité. Les spectres de transmission
s’obtiennent par un calcul généralisé du coeffıcient de
transmission-réflexion : on maille l’espace réel, on discrétise
les équations de Maxwell et l’on associe une matrice de
transfert à chaque cellule élémentaire. Pour le calcul des
modes de défauts, la recherche de leur position spectrale peut
s’apparenter à la recherche d’une aiguille dans une botte de
foin et les théoriciens s’emploient aujourd’hui à développer
une méthodologie adaptée à ce problème. Il existe aussi des
méthodes de résolution des équations de Maxwell dans le
domaine temporel, ce qui permet de visualiser directement la
propagation des champs dans le BIP.
Cristaux photoniques 1D (miroirs de Bragg) et 3D (« Yablonovite ») et diagrammes de bande correspondants : a désigne la période des
cristaux. Sont représentées les trois premières bandes permises du miroir de Bragg (pour une incidence normale) et les six premières bandes de
la « Yablonovite ».
Les photons dans tous leurs états
39

figure 1 montre par exemple des ré-
sultats obtenus à l’Institut d’électro-
nique fondamentale (IEF) d’Orsay
sur une structure dite « tas de bois »
qui présente une bande interdite com-
plète vers 270 GHz (kz1,1 mm).
Le procédé de réalisation consiste ici
à creuser des tranchées parallèles
dans des substrats de silicium intrin-
sèque, puis à empiler les substrats de
sorte que les « poutres » de silicium
restantes correspondent aux rangées
atomiques <100 >du diamant. La
période cristalline est alors définie
par quatre réseaux de poutres empi-
lées. Les spectres de transmission de
la figure 1 mesurés sous différentes
incidences font clairement apparaître
une bande de fréquence commune où
le signal transmis atteint le seuil de
détectabilité. Le facteur d’atténuation
peut en réalité dépasser 10
3
pour une
seule maille cristalline, soit une ré-
flectivité supérieure à 99,9 %.
Vu la relative facilité de fabrica-
tion des structures destinées aux ondes
millimétriques, une application a été
rapidement identifiée : les substrats
sur lesquels reposent les antennes. Il
s’agit d’éviter la perte d’énergie due
aux effets de guidage dans les
substrats usuels. On peut aussi empê-
cher les interférences possibles entre
antennes voisines sur un même subs-
trat. Une équipe du MIT a ainsi pro-
posé des BIP exempts de modes de
surface et de modes guidés, démon-
trant une augmentation substantielle
du rendement des antennes, ainsi que
la possibilité de conformer leur lobe
d’émission. De nouvelles structures
sont actuellement à l’étude dans
diverses équipes du GdR, associant
par exemple du métal et du diélectri-
que ou utilisant simplement des
maillages métalliques. A la différence
de simples métaux, ces maillages
présentent également des structures
de bande liées à la périodicité ; ils
ont de plus l’avantage d’être à la fois
compacts, déformables (donc recon-
figurables) et capables d’intégrer des
éléments actifs.
LE DÉFI TECHNOLOGIQUE POSÉ PAR
DES LONGUEURS D’ONDE PLUS
COURTES
Fabriquer des BIP aux longueurs
d’onde de l’infrarouge et du visible
impose de structurer des matériaux
solides jusqu’à l’échelle submicroni-
que. A notre connaissance, aucune
structure 3D n’a encore été réalisée à
cette échelle. En revanche, des
méthodes de fabrication de structures
2D commencent à être maîtrisées
(figure 2). Pour bénéficier d’un confi-
nement 3D, une solution consiste à
insérer ces structures dans des guides
optiques planaires (figure 3). En
dépit des problèmes posés, cette so-
lution a le mérite d’être directement
applicable aux composants de l’opti-
que intégrée. Deux exemples de BIP
2D sont présentés en figure 2. Le pre-
mier (à gauche) est celui d’un réseau
hexagonal de trous obtenu par gra-
vure photo-électrochimique d’un
substrat de silicium. Partant d’un
Figure 1 - Spectres de transmission (à gauche) mesurés sous deux incidences sur une structure de type
« tas de bois » simulant le cristal de diamant (à droite). Les poutres parallèles de chaque rangée
(130 ×130 µm2)sont réalisées par un procédé mécanique original de structuration de substrats de
silicium (A. Tchelnokov, S. Rowson, J.-M. Lourtioz, IEF d’Orsay). Deux poutres consécutives sont
séparées par un « gap » d’air de 360 µm.Les mesures spectrales, obtenues par une technique d’im-
pulsions térahertz (L. Duvillaret, J.-L. Coutaz, Laboratoire d’hyperfréquences et de caractérisation de
l’université de Chambéry) font apparaître une bande interdite commune aux deux directions d’inci-
dence entre 260 et 280 GHz. Les bandes interdites d’ordre plus élevé ne présentent en revanche pas de
recouvrement significatif. L’influence accrue des effets de diffraction en haute fréquence rend par ailleurs
le contraste en transmission plus faible.
Figure 2 - A gauche : BIP 2D réalisé par gravure photo-électrochimique du silicium. La périodicité du
réseau est d’environ 4 µm et la bande interdite se situe vers 10 µm.Le diamètre des pores et leur pro-
fondeur sont de 1 et 150 µm, respectivement (A. Tchelnokov, S. Rowson, J-M. Lourtioz, IEF d’Orsay).
A droite et en bas : BIP 2D en AsGa, de période 2,6 µm,obtenu par gravure ionique réactive. A droite
et en haut : figure interférentielle utilisée pour insoler la résine et réaliser le masque de gravure
(V. Berger, O. Gauthier-Lafaye, E. Costard, Thomson-CSF Orsay).
40

masque de gravure réalisé par litho-
graphie optique traditionnelle, des
amorces d’attaque sont d’abord gra-
vées sur le substrat. L’électro-érosion
se propage ensuite à partir des amor-
ces suivant la direction <100 >du
cristal de silicium utilisé comme
anode et le diamètre des pores
s’ajuste avec le niveau d’éclairement.
Cette technique se caractérise par une
vitesse de gravure très rapide
(30-50 µm/h), comparée aux autres
techniques lithographiques. La pério-
dicité du réseau de pores est ajusta-
ble de 0,1 à 10 µm et leur profon-
deur peut dépasser 100 µm. C’est
par cette technique qu’a été démon-
trée la première bande interdite 2D
dans l’infrarouge vers 5 µm par une
équipe des laboratoires Siemens. Le
second exemple de la figure 2 (à
droite) est celui d’un réseau triangu-
laire de trous réalisé par gravure
ionique réactive de l’arséniure de
gallium (AsGa). Au lieu des techni-
ques habituelles de lithographie,
électronique ou optique, utilisées
pour réaliser le masque de gravure, le
procédé consiste ici à éclairer une
résine photosensible par un ensemble
convergent de faisceaux cohérents
qui représentent les principales direc-
tions de Fourier de la structure à
reproduire. Une généralisation de ce
procédé holographique à des structu-
res 3D est étudiée, notamment grâce
à l’expérience acquise sur les réseaux
de lumière pour le piégeage d’atomes
froids (J-Y. Courtois, Laboratoire
Kastler Brossel).
LES BIP EN OPTIQUE INTÉGRÉE
PLANAIRE ET LES PROBLÈMES DE
DIFFRACTION
De nombreux composants opto-
électroniques utilisent à ce jour des
géométries de guide d’onde planaire
où la partie active est constituée
d’une couche semiconductrice à puits
quantique (figure 3). La lumière
émise par le puits quantique peut
ainsi rester confinée dans le guide
planaire. Si l’on veut maintenant réa-
liser une source à l’échelle de la lon-
gueur d’onde, il faudra en outre
confiner la lumière dans les deux
directions restantes en utilisant des
réflecteurs de haute réflectivité et de
faible encombrement. Les BIP 2D
répondent a priori à la question.
C’est sans compter sur les problèmes
posés par une possible diffraction de
la lumière hors du guide vers le subs-
trat, par le BIP lui-même. L’impor-
tance de ce phénomène a été démon-
trée au laboratoire de Thomson CSF.
La figure 3 illustre schématiquement
cette situation pour un réflecteur BIP
formé d’un réseau de trous cylindri-
ques d’air dans le matériau semi-
conducteur : une partie de la lumière
émise par la source à l’extrémité du
guide est diffractée sur les bords des
motifs et se perd alors dans le subs-
trat. Pour limiter les effets de diffrac-
tion, il faut rendre le motif élémen-
taire du BIP peu diffractant et
renforcer le confinement du guide en
prenant des couches confinantes d’in-
dice aussi faible que possible. Une
autre difficulté de l’optique intégrée
tient à la caractérisation même du
réflecteur BIP. La démonstration sans
ambiguïté d’une bande interdite
requiert en effet de mesurer une forte
atténuation dans la bande mais aussi
une bonne transmission hors de cette
bande. La méthode développée ré-
cemment à l’Ecole polytechnique
(figure 3) consiste à comparer pour le
même guide la transmission du signal
de luminescence émis par le puits
quantique selon qu’il traverse le BIP
ou qu’il passe à l’extérieur. La
mesure est ensuite reproduite sur des
échantillons dont la structure à puits
quantique est identique mais dont
le réflecteur BIP est de période
différente.
DES MODES DE DÉFAUTS AUX
MICROCAVITÉS EN TROIS DIMENSIONS
Combiner des BIP avec des élé-
ments optiques actifs se conçoit aisé-
ment, comme nous venons de le voir,
lorsqu’on les exploite comme filtre ou
réflecteur aux propriétés particulières,
mais on peut aussi les utiliser comme
matériaux hôtes, en introduisant
Figure 3 - Méthode de mesure de la transmission d’un réflecteur BIP inséré dans le guide (à gauche). Une attention particulière doit être portée sur la pos-
sible diffraction d’une partie de la puissance vers le substrat (flèche blanche). La transmission est déduite du rapport d’intensité I/I
0
où la référence I
0
est
prise dans une zone adjacente au BIP. A droite : exemple de résultat de mesure de transmission, en fonction du rapport entre la période a du BIP et la lon-
gueur d’onde k(D. Labilloy, H. Benisty et C. Weisbuch, Ecole polytechnique).
Les photons dans tous leurs états
41