algorithme de Kaplan, Shamir et Tarjan

1
ALGORITHME SUR LES GRAPHES EN BIOINFORMATIQUE
Synth ` ese sur le r ´ earrangement des g ´ enomes : algorithme
de Kaplan, Shamir et Tarjan (1997)
Benjamin Dev ` eze
Universit´e Pierre et Marie Curie, Master IAD, synth`ese d’articles (AAGB)
R´ ESUM ´ ELe pr ´ esent document consti-
tue une br ` eve introduction au probl ` eme du
r´ earrangement des g ´ enomes et dresse une synth ` ese
de l’algorithme de Kaplan, Shamir et Tarjan qui per-
met de trouver le nombre minimal de renversements
n´ ecessaires pour ordonner une permutation avec
signe en temps quadratique [KST97].
Mots-cl ´ es : bioinformatique ; r ´ earrangement des
g´ enomes ; tri ; renversements avec signe
INTRODUCTION
Nous allons ici traiter du probl` eme de tri par renversement
avec signe, il convient donc de rappeler bri` evement en quoi
il consiste, quelles sont ses applications en biologie et de
dresser un rapide historique des r´ esultats relatifs ` a cette
question.
PR ´ ESENTATION DU PROBL ` EME Une permu-
tation sign´ee est une permutation π= (π1, ..., πn)sur les
entiers {1, ..., n}, o ` u chaque nombre est sign´ e. Un renverse-
ment,ρ(i, j)sur πtransforme la permutation comme suit :
π0=πρ(i, j) = (π1, ..., πi−1,−πj,−πj−1, ..., −πi, πj+1, ..., πn).
Le nombre minimum de renversement n´ ecessaire pour pas-
ser d’une permutation ` a une autre se d´ enomme distance de
renversement entre les deux. Le probl` eme du tri par ren-
versement avec signe consiste ` a trouver pour une permu-
tation donn´ ee, la s´ equence de renversements de longueur
minimale permettant de la transformer en la permutation
identit´ e i.e. (+1,+2, ..., +n). Le nombre de renversements
minimal est not´ ed(π). Voyons comment ce probl` eme inter-
vient en biologie.
INT ´ ER ˆ ET BIOLOGIQUE Avec l’augmentation
rapide des donn´ ees g´ enomiques ` a notre disposition, il
est dor´ enavant possible de comparer les g´ enomes des
diff´ erentes esp` eces. Dobzhanskky et Sturtevant (1935) ont
montr´ e des inversions chez la drosophile. D` es la fin des
ann´ ees 1980, Jeffrey Palmer a exhib´ e que les g´ enomes mi-
tochondriales du navet et du chou avaient 99% de similarit´ e
entre leurs g` enes mais que cependant ces s´ equences ´ etaient
diff´ erentes dans l’ordre des g` enes. Cette ´ etude fut ` a l’ori-
gine d’une analyse syst´ ematique des r´ earrangements des
g´ enomes dans l’´ evolution mol´ eculaire. Les g` enes le long
d’un chromosome peuvent ˆ etre vus comme des nombres
sign´ es1ce qui nous rapproche du probl`
eme que nous venons
de d´ ecrire. Palmer et d’autres ont montr´ e que les diff´ erences
dans l’ordre des g´ enomes pouvaient ˆ etre expliqu´ ees par un
petit nombre de renversements. L’analyse de ces renver-
sements nous permet d’´ etudier l’histoire de l’´ evolution des
esp` eces. D` es lors, la distance de renversement entre deux
permutations repr´ esentatives des deux g´ enomes ` a´ etudier
mesure leur distance ´ evolutive.
´
ETAT DE L’ART Nous pr´ esentons ici de mani` ere suc-
cinte et chronologique les r´ esultats du domaine.
– Algorithme de 2-approximation (Kececioglu and San-
koff, 1995), conjecture que le probl` eme est NP-difficile.
– Algorithme de 1.75-approximation (Bafna and Pevz-
ner, 1996).
– D´ emonstration que le probl` eme non sign´ e est NP-
difficile (Caprara, 1999).
– Algorithme de 1.5-approximation (Christie, 1998).
– Algorithme de 1.375-approximation (Hannenhalli,
1998).
La d´
emonstration que le probl` eme non sign´ e est NP-
difficile fut pr´ esent´ ee pour la premi` ere fois par Caprara en
1999 dans [Cap99]. Cela signifie qu’il est conjectur´ e que
le probl` eme ne peut ˆ etre r´ esolu par un algorithme dont le
temps d’ex´ ecution est born´ e par un polynˆ ome en la taille
de l’entr´ ee du probl` eme. L’article pr´ esente de mani` ere tr` es
claire les graphes de points de rupture et les notions es-
sentielles qui s’y rattachent. L’auteur proc` ede de mani` ere
classique en th´ eorie de la complexit´ e en ´ etablissant qu’un
probl` eme est NP-difficile par la transformation polynomiale
d’un probl` eme connu NP-difficile vers le probl` eme dont
l’on veut d´ emontrer qu’il appartient ` a cette classe. Les
probl` emes consid´ er´ es sont le probl` eme du nombre minimal
de renversement (MIN-SBR), le probl` eme de recherche du
nombre maximal des arrˆ etes disjointes des cycles dans le
graphe des points de rupture associ´ e` a une permutation
(MAX-ACD) (on excusera cette traduction tr` es approxima-
tive), et le probl` eme du partitionnement de l’ensemble des
arrˆ etes d’un graphe hamiltonien en un nombre maximal de
cycles (MAX-ECD). Partant du fait que MAX-ECD est NP-
difficile, l’auteur ´ etablit l’´ equivalence entre MAX-ECD et
MAX-ACD, on en d´ eduit que MAX-ACD est ´ egalement NP-
difficile. Enfin par une r´ eduction entre MAX-ACD et MIN-
SBR on conclut que MIN-SBR est NP-difficile.
– Hannenhalli et Pevzner (1995) montre que le
probl` eme du tri par renversement avec signe est poly-
nomial, en O(n4).
– Berman et Hannenhalli (1996) ont trouv´ e un algo-
1en fonction de leur direction

2
rithme en O(n2α(n)), ou α(n)est l’inverse de la fonc-
tion de Ackermann.
– Kaplan, Shamir et Tarjan (1997) ont trouv´ e un algo-
rithme en O(n2)que nous allons ´ etudier ci-apr` es.
ALGORITHME DE KAPLAN ET AL.
L’algorithme de Kaplan, Shamir et Tarjan [KST97] est une
´
el´ egante am´ elioration des m´ ethodes pr´ ec´ edentes. L’objectif
n’est pas ici d’en faire une analyse d´ etaill´ ee mais de tenter
d’en d´ egager les points les plus saillants. Pour ce faire, nous
suivrons globalement le mˆ eme plan que celui de l’article.
NOTATIONS ET D ´ EFINITIONS PR ´ ELIMINAIRES
Nous consid´ erons comme acquises les notions de points de
rupture et d’adjacences. Le nombre de points de rupture
d’une permutation est not´ eb(π). De toute ´ evidence un ren-
versement ρ(i, j)agit sur les paires (πi−1, πi)et (πj, πj+1).
Graphe des points de rupture
Le graphe de points de rupture B(π)d’une permutation
`
a n entiers πest un graphe aux arrˆ etes color´ ees comprenant
n+2 entiers car on ajoute 0et n+1 aux deux extr´ emit´ es. On
relie les noeuds dans l’ordre donn´ e par πavec des arrˆ etes
noires et les noeuds dans l’ordre donn´ e par l’idendit´ e par
des arrˆ etes grises. On d´ efinit alors une transformation udes
permutations avec signe vers les permutations sans signe.
Chaque noeud positif xest remplac´ e par les deux noeuds
2x−1et 2xtandis que chaque noeud n´ egatif −xse voit sub-
stituer 2xet 2x−1. Il y a d` es lors une unique d´ ecomposition
de B(π)en cycles dans lesquels alternent les arrˆ etes grises
et noires. On pose c(π)le nombre de cycles de B(π). Le tri
par renversement de πest ´ equivalent au tri par renverse-
ment de u(π)en utilisant des renversements pairs (de la
forme ρ(i, j)avec i impair et j pair) et il s’agit d` es lors d’abor-
der ce probl` eme.
Il est possible de classer les effets sur le nombre de cycles
et de points de rupture des diff´ erentes op´ erations de renver-
sement. Nous ne les d´ etaillons pas ici, notons simplement
qu’un certain nombre d’op´ erations sont qualifi´ ees de propres
Une arrˆ ete grise est orient´ee si un renversement sur cette
arrˆ ete est propre, sinon elle ne l’est pas.
Graphe de recouvrement
Le graphe de recouvrement d’une permutation π, not´ e
OV (π)est le graphe de recouvrement d’intervalles des
arrˆ etes grises de B(π). L’ensemble des sommets d’OV (π)
correspond ` a l’ensemble des arrˆ etes grises de B(π)et
deux sommets sont connect´ es si leurs arrˆ etes associ´ ees se
croisent. Une composante connexe d’OV (π)qui contient
une arrˆ ete orient´ ee est nomm´ ecomposante orient´ee, elle est
nomm´ ee composante non-orient´ee dans le cas contraire.
Soit X un ensemble d’arrˆ etes grises de B(π),min(X) =
min{i|(πi, πj)∈X},max(X) = max{j|(πi, πj)∈X}. Les
auteurs d´ emontrent alors le lemme suivant : si M est un en-
semble d’arrˆ etes grises de B(π)qui correspond ` a une com-
posante connexe d’OV (π)alors min(M)est pair et max(M)
est impair. Ceci conduit au corollaire suivant : les compo-
santes connexes d’OV (π)correspondent ` a l’ensemble des
arrˆ etes grises constituant chaque cycle. Cela permet de
d´ emontrer que la partition impos´ ee par les composantes
connexes d’OV (π)sur l’ensemble des arrˆ etes grises est iden-
tique ` a celle impos´ ee dans les travaux de Pevzner et Han-
nenhalli.
Obstacles
Informellement les obstacles sont des composantes
connexes qui ne contiennent pas d’autres composantes
connexes. La d´ efinition propos´ e dans l’article est plus simple
que celle d’Hannenhalli et Pevzner. Les obstacles peuvent
ˆ
etre identifi´ es en alignant sur un cercle les arrˆ etes grises
intervenant dans les composantes non-orient´ ees de OV (π).
Notons h(π)le nombre d’obstacles de la permutation π. Han-
nenhalli et Pevzner ont d´ emontr´ e que pour une permutation
π,d(π) = b(π)−c(π) + h(π)ou d(π) = b(π)−c(π) + h(π) + 1.
ALGORITHME Etant donn´ e une permutation πavec
h(π)>0, il est possible d’effectuer t=ph(π)/2qrenver-
sements afin de transformer πen π0tel que h(π0) = 0 et
d(π0) = d(π)−t. C’est ce que fait l’algorithme d` es lors
qu’OV (π)pr´ esente des composantes non-orient´ ees. D` es lors,
OV (π0)n’a que des composantes orient´ ees. Il est possible de
supprimer les obstacles d’une permutation en O(nα(n)).Un
renversement qui ne cr´ ee pas d’obstacle est d´ enomm´ eren-
versement s ˆur. Il existe toujours un tel renversement dans
le voisinage d’une arrˆ ete grise orient´ ee. Il s’agit donc d’utili-
ser un algorithme efficace permettant de trouver un renver-
sement s ˆ ur d’une permutation ayant au moins une arrˆ ete
grise orient´ ee. Cela peut se faire en O(n). Enfin il convient
d’it´ erer en trouvant ` a chaque it´ eration un renversement s ˆ ur
et de l’effectuer tant que OV (π)n’est pas vide. Cela nous
donne comme complexit´ e finale du O(rn +nα(n)) avec r le
nombre de renversement n´ ecessaire au tri de π0.
En pratique l’algorithme prend en entr´ ee une s´ equence
π0de nnombres sign´ es et construit la permutation π=
u(π0). Ensuite tout l’algorithme travaille sur πet π−1qui
sont maintenues ` a jour durant l’ex´ ecution.
Elimination des composantes orient´ ees
Posons N(e)l’ensemble des voisins de e dans OV (π),
ON(e)le sous-ensemble de N(e)contenant des arrˆ etes
orient´ ees et UN (e)le sous-ensemble des arrˆ etes non-
orient´ ees. Les auteurs prouvent que si un sommet orient´ e
eexiste dans OV (π)alors il existe un sommet orient´ ef∈
ON(e)tel que r(f)est propre et s ˆ ur. Ils proposent un al-
gorithme permettant de trouver un renversement propre et
sˆ ur dans une permutation qui contient au moins une arrˆ ete
orient´ ee. Pour ce faire ils introduisent la notion de clique
joyeuse, nous renvoyons ` a l’article pour sa d´ efinition for-
melle. Ils d´ emontrent que dans une clique joyeuse il existe
un sommet d´ efinissant un renversement propre et s ˆ ur.
Les auteurs proposent donc un algorithme permettant
de trouver une clique joyeuse dans un temps proportionnel
au nombre de sommets orient´ es travers´ es. Ils d´ emontrent la
validit´ e de l’algorithme par un classique invariant de boucle.
Une fois la clique joyeuse trouv´ ee par cette m´ ethode, il
convient de trouver le sommet de la clique qui a le maximum
de voisins non-orient´ es. Nous renvoyons ´ egalement ` a l’ar-
ticle pour les d´ etails de cette algorithme dont la complexit´ e
est proportionnelle ` a la taille de la clique ` a traiter auquel
s’ajoute le nombre de sommets non-orient´ es dans OV (π)soit
donc au final O(n).
Suppression des obstacles

3
La suppression des obstacles se fait en O(n)est s’av` ere
relativement simple. L’algorithme repose sur deux lemmes
s’int´ eressant aux renversements permettant de regrouper
des obstacles jusqu’` a ce qu’il n’y en ait plus et cela dans le
cas pair puis impair.
Algorithme final
La combinaison des diff´
erentes ´ etapes ´ etudi´ ees nous
donne finalement l’algorithme 1.
Algorithme 1 Renversement sign´ e(π)
1: Calculer les composantes connexes de OV (π)
2: Supprimer les obstacles
3: while πn’est pas tri´ edo
4: trouver une clique joyeuse Cdans OV (π)
5: trouver un sommet ef∈Cayant le plus de voi-
sins non-orient´ es
6: effectuer le renversement s ˆ ur sur ef
7: mettre ` a jour πet la repr´ esentation de OV (π)
8: end while
9: Afficher la s´ equence de renversements trouv´ ee
L’algorithme propos´ e trouve la distance de renverse-
ment ren temps O(nα(n) + rn)et donc en O(n2). La preuve
de validit´ e de l’algorithme d´ ecoule des diff´ erents th´ eor` emes
et lemmes pr´ esent´ es aux diff´ erentes ´ etapes.
R´ EF ´ ERENCES
*
[Cap99] Alberto Caprara. Sorting permutations by rever-
sals and Eulerian cycle decompositions. SIAM
Journal on Discrete Mathematics, 12(1) :91–110,
1999.
[KST97] H. Kaplan, R. Shamir, and R. Tarjan. Faster and
simpler algorithm for sorting signed permutations
by reversals, 1997.