Système M-K avec frottement sec

Cours GMP2 M.Maldonado
Vibrations à 1 ddl
Système vibratoire à un degré de liberté avec frottement sec
Système MK avec frottement interne
1 Notion d'amortissement
Si on considère un système masseressort (avec un ressort constitué par un matériau
parfaitement élastique), soumis à une contrainte cyclique, celui-ci vibrera, dans le domaine élastique, sans perte d'énergie sauf par frottement éventuel avec l'atmosphère. En
réalité, les matériaux ne présentent pas un comportement aussi idéal et leurs
vibrations sont amorties plus vite que ne peut l'expliquer la perte d'énergie due au frottement externe. Avant d'étudier le cas d'un système masse-ressort-amortisseur (M-B-K),
on pourra se pencher sur le cas d'un système masse-ressort (M-K) avec amortissement
interne, généralement modélisé par un amortissement dit "sec".
Amortissement sec et frottement interne
On appelle frottement interne la propriété que possèdent les matériaux solides soumis
à des contraintes cycliques, d'absorber de l'énergie, en transformant l'énergie mécanique
en chaleur. Cet eet se manifeste dans le cas des faibles déformations caractéristiques du
domaine élastique. Le frottement interne peut être associé à divers mécanismes, parmi
lesquels en général on distingue :
le processus de relaxation dans le cas d'un matériau viscoélastique ;
l'hystérésis mécanique ;
la résonance dans un solide pouvant être considéré comme un milieu visqueux.
Le frottement interne par hystérésis dépend de l'amplitude de vibration, contrairement
aux deux autres cas. Ce frottement est à associer au phénomène de stick-slip (broutage)
connu dans le cas macroscopique du contact entre deux solides, et lié à la diérence entre
le facteur d'adhérence et le facteur de frottement de glissement.
2 Présentation du modèle MK avec frottement sec
On considère le système masse-ressort sur un plan horizontal, la masse étant en appui
sur le sol. La réaction verticale du sol correspond à la composante normale N , et il résulte
une composante tangentielle T liée au frottement, telle que :
T = −f.N.sign(ẋ)
1
(1)
l0
x(t)
⃗y
⃗x
Figure 1 Modélisation type dans le cas du frottement sec
où la fonction sign(a) vaut 1 si a>0, -1 sinon. Dans notre cas, si a = 0, la fonction "sign"
est nulle.
La deuxième loi de Newton (théorème de la résultante dynamique) permet d'écrire l'équation vectorielle :
mẍ⃗x = (−kx + T )⃗x + (N − mg)⃗y
(2)
de sorte qu'en projection sur les axes, on obtient les équations scalaires :
(3)
N = mg
et
ẍ + ω02 x = −f g
ẍ + ω02 x = f g
√
si
ẋ > 0
(4)
si
ẋ < 0
(5)
où on a posé comme pour le cours précédent, ω0 = k/m.
Supposons maintenant que la masse se trouve initialement au repos à une abscisse x0 .
La masse m se met en mouvement si la force de rappel du ressort est supérieure à la
force de friction, i.e. si :
|kx0 | > f0 .mg
ou encore |ω02 .x0 | > f0 .g
(6)
où f0 correspond au coecient d'adhérence, légèrement supérieur au coecient de frottement de glissement f . Si la friction est insusante pour s'opposer à la force exercée
par le ressort et que x0 > 0, la masse acquiert une vitesse ẋ négative et l'équation (5)
doit être résolue. Il vient :
(
)
fg
fg
x(t) = 2 + x0 − 2 cosω0 t
(7)
ω0
ω0
Mais cette solution n'est valable que lorsque ẋ est négatif ! Au temps
π
t1 =
ω0
2
(8)
|kx(t)| < f0 .mg
Figure 2 Atténuation "linéaire" des vibrations dans le cas du frottement sec
la vitesse s'annule alors et la masse se trouve à la position
x(t1 ) = −x0 +
2f g
ω02
(9)
À ce moment, la condition (6) doit être évaluée de nouveau, en substituant x(t1 ) à x0 ,
an de déterminer si le mouvement se poursuit. Dans l'armative, la vitesse de la masse
change de signe et une seconde phase du mouvement se produit. Lors de cette phase, ẋ
est positif et l'équation (4) s'applique. La loi du mouvement est alors donnée par :
(
)
fg
π
2π
fg
<t≤
(10)
x(t) = − 2 + x0 − 3 2 cosω0 t ceci pour
ω0
ω0
ω0
ω0
Et ainsi de suite ... après chaque intervalle de temps π/ω0 , l'amplitude de l'oscillation est
réduite d'une quantité 2f g/ω02 . Dès lors, la courbe de réponse du système présente des
oscillations amorties dont l'enveloppe est constituée de deux droites de pente 2f g/πω0 .
3