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Estimation spectrale
M´ethodes non-param´etriques
On va consid´erer le probl`eme de l’estimation de
la densit´e spectrale de puissance (ou spectre) d’un
processus al´eatoire stationnaire du second ordre.
Il existe deux grandes approches pour l’estimation
spectrale. la premi`ere contient des m´ethodes dites
classiques ou non-param´etriques qui sont bas´ees sur
le p´eriodogramme. La seconde classe contient des
m´ethodes dites non-classiques ou param´etriques qui
utilisent un mod`elepourleprocessus.
INRS-EMT J. Benesty

Plan
•Rappels
•Motivation
•Le p´eriodogramme
•Le p´eriodogramme modifi´e
•La m´ethode de Bartlett
•La m´ethode de Welch
•La m´ethode de Blackman-Tukey
•La m´ethode de Capon
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Rappels
On consid`ere un processus discret x(n)(n=
0,±1,±2, ..., ±N)al´eatoire stationnaire du second
ordre de moyenne nulle et dont la fonction
d’autocorr´elation est:
rx(k)=E{x(n+k)x∗(n)}.(1)
La transform´ee de Fourier de rx(k)est le spectre de
x(n):
Sx(ω)=
∞
k=−∞
rx(k)exp(−jωk),(2)
o`uωest la fr´equence angulaire. En fait, la dsp
repr´esente la r´epartition de la puissance du signal x(n)
sur l’axe des fr´equences. On a les propri´et´es suivantes:
•Sx(ω)est r´eelle.
•Sx(ω)≥0.
•E{|x(n)|2}=rx(0) = 1
2ππ
−πSx(ω)dω.
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Motivation
Comme le spectre d’un signal est la transform´ee de
Fourier de sa fonction d’autocorr´elation, estimer le
spectre est ´equivalent `a estimer l’autocorr´elation. Pour
un processus ergodique, on a:
lim
N→∞ 
1
2N+1
N
n=−N
x(n+k)x∗(n) =rx(k).(3)
Ainsi, si x(n)est connu pour tout n, estimer le spectre
est une tˆache simple en th´eorie, puisqu’il suffit de
calculer rx(k)en utilisant (3) et calculer ensuite sa
transform´ee de Fourier. Cependant, en pratique, il y a
deux difficult´es tr`es importantes:
•le nombre de donn´ees est toujours tr`es limit´eet
•le bruit.
Ainsi, l’estimation du spectre consiste `a estimer Sx(ω)
`a partir d’un nombre fini de donn´ees bruit´ees.
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Le p´eriodogramme
La m´ethode du p´eriodogramme fˆut introduite par
Schuster en 1898.
Pour un processus ergodique, la s´equence
d’autocorr´elation peut, en th´eorie, ˆetre d´etermin´ee avec
une moyenne temporelle:
rx(k) = lim
N→∞ 
1
2N+1
N
n=−N
x(n+k)x∗(n) .(4)
Cependant, si x(n)est mesur´ee sur un intervalle
fini seulement (n=0,1, ..., N), alors la fonction
d’autocorr´elation doit ˆetre estim´ee avec une somme
finie:
ˆrx(k)= 1
N
N−1
n=0
x(n+k)x∗(n).(5)
Afin de s’assurer que les valeurs de x(n)qui sont en
dehors de cet intervalle [0,N −1] sont exclus de la
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