I. Variations

Études de fonctions
I.
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Variations
A.
Sens de variation
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
• On dit que f est croissante sur I lorsque, pour tout réels a et b de I si a < b alors f (a) 6 f (b). Ainsi
la croissance conserve l’ordre.
• On dit que f est décroissante sur I lorsque, pour tout réels a et b de I si a < b alors f (a) > f (b). Ainsi
la décroissance conserve l’ordre.
• On dit que f est constante sur I lorsque, pour tout réels a et b de I si a < b alors f (a) = f (b).
Définition
On dit d’une fonction qu’elle est monotone sur un intervalle I lorsque son sens de variation ne change pas
sur I
B.
Extremums
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
La fonction f admet un maximum M sur I atteint en a si
On dit alors que la fonction f est majorée par M sur I.
f (a) = M
pour tout x appartenant à I, f (x) 6 f (a)
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
La fonction f admet un minimum m sur I atteint en b si
On dit alors que la fonction f est minorée par m sur I.
Le cours
f (b) = m
pour tout x appartenant à I, f (x) > f (b)
Études de fonctions
II.
A.
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De nouvelles fonctions usuelles
Fonction racine carrée
Définition
La fonction racine carrée est la fonction défine sur R+ par f (x) =
√
x, c’est à dire :
+
f : R+ −→ R
√
x
x 7−→
Tableau de variations de la fonction racine carré :
0
x
f (x) =
√
x
0
Allure graphique :
+∞
✟ +∞
✯
✟✟
✟✟
✟
7
6
5
4
3
2
1
10
B.
20
30
40
Fonction valeur absolue
Définition
Valeur absolue d’un nombre réel
Soit x un nombre réel. Sur une droite munie d’un repère normé (O; I) on considère le point M d’abscisse x.
On appelle valeur absolue de x la distance OM , que l’on note |x|.
Propriété
Soit x un nombre réel
• La valeur absolue de x est un nombre positif ou nul.
• Deux nombres opposés ont la même valeur absolue : | − x| = |x|
• Si x > 0 alors |x| = x et si x < 0 alors |x| = −x
Définition
La fonction valeur absolue est la fonction définie sur R par f (x) = |x|, c’est à dire :
f: R
x
−→ R+
7−→ |x|
Tableau de variations de la fonction valeur absolue :
x
f (x) = |x|
−∞
0
+∞ ❍
❍❍
❍❍
❥
❍
0
Représentation graphique
+∞
✟ +∞
✯
✟✟
✟✟
✟
7
6
5
4
3
2
1
−8−7−6−5−4−3−2−1
Le cours
1 2 3 4 5 6 7
Études de fonctions
III.
A.
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Opérations et variations
Avec un réel
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.Soit k un nombre réel.
On définie sur I la fonction f + k par (f + k)(x) = f (x) + k.
Théorème
Les fonctions f et f + k ont le même sens de variation sur l’intervalle I
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit λ un nombre réel.
On appelle produit de f par le réel λ la fonction notée λf définie sur I par (λf )(x) = λ × f (x).
Théorème
• Si λ 6= 0, alors la fonction λf est monotone sur I :
– de même sens que f si λ > 0
– de sens contraire si λ < 0
• Si λ = 0, alors la fonction λf est constante nulle.
B.
Avec deux fonctions
Soit f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I.
Définition
On appelle somme de f et g la fonction notée f + g définie sur I par (f + g)(x) = f (x) + g(x).
Théorème
• Si f et g sont croissantes sur I, alors f + g est croissante sur I.
• Si f et g sont décroissantes sur I, alors f + g est décroissante sur I.
Définition
On appelle produit de f et g la fonction notée f g définie sur I par (f × g)(x) = f (x) × g(x).
Le cours
Études de fonctions
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i
• Deux fonctions monotones dont le produit n’est pas monotone :
f (x) = x et g(x) = x sont croissantes sur R, mais f g(x) = x2 est décroissante puis croissante sur R.
• Deux fonctions monotones dont la somme n’est pas monotone :
1
f (x) = x est monotone (croissante) sur R+ , g(x) =
est monotone (décroissante) sur R+ . Pourtant,
x
1
(f + g)(x) = f (x) + g(x) = x + n’est pas monotone sur R+ : elle décroit, atteint un minimum en x = 1,
x
puis croit.
C.
Inverse et racine carrée d’une fonction
Définition
Soit u une fonction définie sur l’intervalle I telle que u(x) 6= 0.
1
1
est notée .
La fonction qui, à tout x de l’intervalle I, associe
u(x)
u
C’est la fonction inverse de u.
Propriété
1
Si u(x) garde le même signe sur l’intervalle I avec u(x) 6= 0, alors la fonction u et ont des sens de variations
u
contraires sur l’intervalle I.
Définition
Soit u une fonction√définie sur l’intervalle I telle que u(x) > 0 sur I.
p
La fonction notée u est la fonction définie sur I, qui à tout x associe le réel u(x).
Propriété
Soit u
√une fonction définie sur l’intervalle I telle que u(x) > 0 pour tout x de l’intervalle I, alors les fonctions
u et u ont le même sens de variation sur l’intervalle I.
Le cours
Études de fonctions
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Pour ne pas perdre la main
Exercice 1
Exercice 7
Soit f la fonction définie sur R par
Soit g la fonction définie sur R par g(x) = |x − 4|.
√ 1. Calculer g 5
f (x) = −x2 − 3x + 4
√
3−3 .
1. Calculer f (−3) et f
2. Exprimer g(x) sans le symbole de la valeur absolue et
représenter graphiquement la fonction g.
2. Déterminer les réels dont l’image par f vaut 4.
Exercice 2
3. Résoudre graphiquement l’équation g(x) = 2.
x−1
.
x2 − 9
Sur quel ensemble la fonction f est-elle définie ?
4. Résoudre algébriquement (c’est à dire par le calcul)
l’équation g(x) = 2.
Soit f une fonction telle que f (x) =
Exercice 3
Exercice 8
√
Soit p une fonction telle que p(x) = x2 − 6x.
Sur quel ensemble la fonction p est-elle définie ?
Soit u la fonction définie sur R par u(x) = 3x2 + 1.
1. Donner les variations de u sur l’intervalle [2; 2].
Exercice 4
2. En déduire les variations de la fonction f définie par
1
f (x) =
sur l’intervalle [−2; 2].
u(x)
Soit f et g deux fonctions définies sur l’intervalle ]−1; 1[
par
1
1
2x
et g(x) =
+
−1
x−1 x+1
Ces fonctions sont-elles égales ?
f (x) =
x2
Exercice 9
Montrer√
que la fonction f définie sur l’intervalle [2; +∞[
par f (x) = x2 − 4 est croissante sur ce même intervalle.
Exercice 5
Soit f la fonction définie sur R par
Exercice 10
f (x) = x2 − 8x
On considère la fonction f définie par
1. Écrire f (x) sous sa forme canonique
2. En déduire le sens de variation de f sur R et dresser
son tableau de variations.
f (x) =
p
4x2 − 12x + 9
1. Déterminer son ensemble de définition
3. Donner un encadrement de f (x) pour x tel que
0 6 x 6 4.
2. Montrer que la fonction f peut s’exprimer à l’aide de
la fonction valeur absolue.
Exercice 6
1. Écrire le résultat sans utiliser le symbole de la valeur
absolue :
√
(a) |1 + 3|
(b) |π − 3|
√
(c) |1 − 2|
Exercice 11
1. Soit u la fonction définie sur R par u(x) = x − 4.
Donner le sens de variation de u sur R.
2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]4; +∞[ par
2. Résoudre les équations suivantes
f (x) = 2 +
(a) |x| = 2
(b) |x| = −3
(c) |x| = 1
5
x−4
À l’aide de la question précédente, déterminer le sens
de variation de la fonction f .
Les exercices
Études de fonctions
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Corrections
Ne cédez pas à la tentation ! Utilisez ces corrections à bon escient ;)
Les exercices - Correction
Études de fonctions
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Exercice 1
1. f (−3) = −(−3)2 − 3 × (−3) + 4 = −9 + 9 + 4 = 4
√
p 2
√
√
2
√
√
√ √
f
3 − 3 = − 3 − 3 −3× 3 − 3 +4 = −
(3) − 2 × 3 × 3 + 32 −3 3+9+4 = − 12 − 6 3 −3 3+13 =
√
1+3 3
2. On cherche les valeurs de x telles que f (x) = 4. On cherche donc à résoudre l’équation −x2 − 3x+ 4 = 4 ←→ −x2 − 3x =
0 ←→ x(−x − 3) = 0 ←→ x = 0 ou − x − 3 = 0 ←→ x = 0 ou x = −3
Donc les réels qui ont pour image 4 (ou encore les antécédents de 4 par f ) sont 0 et -3.
Exercice 2
La fonction f est définie si et seulement si son dénominateur est non nul. On cherche donc à résoudre l’équation x2 −9 = 0,
qui a pour solution x = 3 et x = −3. Donc l’ensemble de définition de f est ] − ∞; −3[∪] − 3; 3[∪]3; +∞[
Exercice 3
La fonction f est définie si et seulement si x2 − 6x > 0.
On peut résoudre par factorisation (comme en seconde), ou par étude du trinôme du second degré. Ici les racines sont 0 et
6. Le trinôme est positif e« en dehors « des racines. Donc x2 − 6x > 0 a pour ensemble solution ] − ∞; 0[∪]6; +∞[. Donc f
est définie sur ] − ∞; 0[∪]6; +∞[.
Exercice 4
Ces fonctions sont définie sur le même intervalle et on a
g(x) =
1
1
x+1
x−1
x−1+x+1
2x
+
=
+
=
= 2
= f (x)
2
x−1 x+1
(x − 1)(x + 1) (x − 1)(x + 1)
x −1
x +1
Les fonctions f et g sont donc égales sur ] − 1; 1[.
Exercice 5
1. f (x) = (x − 4)2 − 16
2.
x
−∞
4
+∞
+∞
+∞
f (x)
−16
3. D’après le tableau de variations, si 0 6 x 6 4 la fonction f est décroissante. Donc f (0) > f (x) > f (4), soit −16 6
f (x) 6 0.
Exercice 6
1. (a) |1 +
√
3| = 1 +
√
3 (somme de deux termes positifs)
(b) |π − 3| =p i − 3 car π − 3 > 0
√
√
√
√
(c) |1 − 2| = −(1 − 2) = 2 − 1 car 1 − 2 < 0
2. Résoudre les équations suivantes
(a) |x| = 2 S = {−2; 2}
(b) |x| = −3 S = ∅ (une valeur absolue est toujours positive.
(c) |x| = 1 S = {−1; 1}
Les exercices - Correction
Études de fonctions
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Exercice 7
√
√
√ 1. Comme 5 < 4, on a g 5 = 4 − 5
4 − x si x 6 4
2. g(x) =
x − 4 si x > 4
6
5
4
3
2
1
−3
3.
−2
1
−1
2
3
4
5
6
7
8
−1
D’après la représentation graphique, g(x) = 2 admet deux solutions qui sont 2 et 6.
4. Comme g est définie par « deux morceaux », on cherche s’il existe une éventuelle solutions sur chaque morceau. Donc
on résout :
4 − x = 2 et x − 4 = 2
On a donc pour solution x = 2 et x = 6
Exercice 8
1. Ici, u(x) est donnée sous sa forme canonique. On en déduit le tableau de variation suivant :
x
−2
0
13
2
13
u(x)
1
2. On retiendra que la fonction inverse modifie l’ordre, donc le sen s de variation. Ainsi on obtient la tableau de variations :
x
−2
0
2
1
f (x)
1
13
Les exercices - Correction
1
13
Études de fonctions
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Exercice 9
La fonction u : x 7−→ x2 − 4 est croissante sur [2; +∞[Ainis, on en déduit que pour tout a et b de l’intervalle [2; +∞[ tels
que a < b, on a :
0 < a2 − 4 < b 2 − 4
Comme la fonction racine carrée est croissante, on en déduit que
p
p
a2 − 4 < b 2 − 4
Et donc la fonction f est croissante sur [2; +∞[.
Exercice 10
1. f est définie si et seulement si 4x2 − 12x + 9 > 0. Or 4x2 − 12x + 9 = (2x − 3)2 . Donc f est définie sur R.
√
2. On utilisera ici le résultat
suivant
:
x2 =p|x|.
√
2
Donc on a ici : f (x) = 4x − 12x + 9 = (2x − 3)2 = |2x − 3|
Exercice 11
1. u est une fonction affine strictement croissante.
2. f est définie si et seulement si x > 4. Comme dans l’exercice 9, on montre que f est croissante par comparaison.
Les exercices - Correction