Exercices d`électrocinétique

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A. Introduction
L’étude du mouvement des charges dans un cristal d’ions, les grandeurs associées à ce mouvement
sont l’objet de l’électrocinétique. Le but de ces exercices est de comprendre les phénomènes liés au
passage d’un courant électrique dans un conducteur. On se place dans deux situations radicalement
différentes. Cas du cuivre : le fil a une longueur de 1 m et une section de 1,5 mm², c’est un fil de
distribution de l’énergie électrique domestique,
Cas du tungstène, le filament d’une ampoule de puissance 60W est constitué d’un fil
de 1 m, spiralé, de rayon 4.4µm,de section 6.10
-11
m² (deux x + fin qu’un cheveu), la
tension d’alimentation EDF a pour valeur efficace U=230 V.
On considère que le métal cuivre ou W est un cristal d’atomes Cu ou W. Chaque atome possède un
électron dit de conduction ou électron libre. Cet électron est susceptible de se déplacer dans le réseau
des ions positifs Cu
+
W
+
qui restent fixes. Les frottements des charges mobiles sur les ions fixes du
réseau sont responsables de l’échauffement du conducteur c’est l’effet JOULE, recherché ou craint.
B. Densité de charges mobiles, Densité de courant, intensité
La masse d’un atome de cuivre est 63,54x1.67.10
-27
kg. La densité du cuivre est 8,9 par rapport à
l’eau. La charge d’un électron est e=1,6.10-19 C
1. Calculer le nombre d’électrons libres par m
3
.
2. Calculer la densité de charge ρ en C.m
-3
.
Des calculs de même type donnent pour le tungstène, en considérant un électron libre par atome.
n=6.3.10
28
électron « libre » par m
3
; de même
28 19 10 3
. 6,3.10 .1,6.10 1,0.10 . .
W
ne C m
ρ
− −
= = =
Le vecteur densité de courant j est défini par la relation
.
j v
ρ
=
où le vecteur v est la vitesse des
charges et ρ leur densité.
Fil de cuivre
Une valeur correcte pour la densité de courant dans le cuivre des installations domestiques est
j=5A.mm
-2
, cette condition reste identique pour toute la suite pour le cuivre.
3. Convertir cette valeur de j en unité légale.
4. Calculer la vitesse de dérive des électrons du cuivre pour cette valeur de j.
5. Expliquer pourquoi cette vitesse est qualifiée de vitesse d’ensemble de vitesse de dérive.
6. Expliquer pourquoi le milieu reste neutre pendant le mouvement des charges.
7. Calculer l’intensité du courant traverse une section du fil de cuivre ce fil j=5A.mm
-2
.
Filament de tungstène
Le filament de tungstène de rayon 10µm est traversé par un courant d’intensité
260
eff eff
P
I mA
U
= =
8. Calculer la valeur de la norme du vecteur densité de courant.
9. Calculer le vitesse des électrons dans le filament.
10. Expliquer comment, pour une intensité donnée constante, la densité de courant varie avec la
section du conducteur.
C. Mouvement d’un électron de conduction dans un matériau, modèle fluide
On considère qu’un électron « libre » est soumis de la part du réseau d’ions positifs, à une force de
frottement de type « fluide »
.
m
f v
τ
= − où tau est un temps. m
e
=9.1.10
-31
kg.
11. Montrer que l’expression de la force est homogène.
Le matériau, conducteur est partie d’un circuit électrique, le champ E constant est de 100V.m
-1
.
12. Ecrire l’équation différentielle régissant le mouvement de l’électron.
13. Montrer que l’équation différentielle admet une solution particulière dite de régime permanent.
14. Donner l’expression de la vitesse limite de l’électron.
15. En identifiant la vitesse limite et la vitesse de dérive de l’exercice précédent donner une valeur
de tau constante de temps de mise en mouvement des électrons.
16. Conclure quand à la durée d’établissement du courant.
17. Donner une valeur de la norme de la force de frottement.

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D. Conductivité
La loi d’Ohm locale s’écrit
.
j E
σ
= , où σ sigma est ici la conductivité du matériau. C’est une grandeur
caractéristique du matériau, elle ne dépend pas de la taille de l’échantillon. Dans un modèle simple
elle ne dépend pas non plus de la valeur de la densité de courant. En fait, il vaut mieux ne pas trop
chauffer, sinon σ diminue fortement à cause des chocs des électrons de conduction avec les ions du
réseau qui s’agitent.
Données eau du robinet σ= 0,5 m S.cm
-1
=5.10
-2
S.m
-1
, (pour information, données personnelles)
Cu σ= 5,88 10
5
S.cm
-1
=5,88.10
7
S.m
-1
.
W σ= 1,89 10
5
S.cm
-1
=1,89.10
7
S.m
-1
. (Charles KITTEL “Introduction to solid state physics”).
18. Montrer que tau et σ sont proportionnels, établir une relation liant ces deux grandeurs.
Bilan énergétique
La puissance de la force de frottement est égale au scalaire
.
électronseul
f v
π = négatif.
19. Exprimer puis calculer la puissance de la force de frottement pour un électron.
20. En tenant compte du nombre d’électrons libres par unité de volume, donner la puissance
dissipée par unité de volume dp/dV.
21. Montrer que la puissance dissipée par unité de volume s’écrit
²
( )
dP j
dV
σ
= −
22. Calculer la puissance volumique dissipée par effet JOULE dans le fil de cuivre.
23. Calculer la puissance volumique dissipée par effet JOULE dans le fil de tungstène.
E. Lien entre l’intensité et la tension
On se place dans le cas d’un conducteur cylindrique de section S de longueur L.
24. Exprimer l’intensité en fonction de j.
25. Exprimer le champ E en fonction de U DDP entre les bouts du fil.
26. Exprimer I en fonction de U.
27. Quelle relation lie la conductivité est la résistivité ?
28. En déduire la loi d’Ohm (Georg Simon 1789-1854).
F. Puissance dissipée
29. Calculer la résistance du filament.
30. Calculer la résistance du fil de cuivre.
31. Exprimer la puissance dissipée en fonction de U,R d’abord de I,R ensuite.
32. Calculer la puissance totale dissipée par effet Joule dans le fil de cuivre, dans le filament W.
33. Calculer la résistance du filament, quand il est en fonctionnement.
34. La résistance à froid est-elle plus ou moins grande ?
La résistance du filament froid est deux fois plus faible, ce qui provoque un appel de courant deux fois
plus fort à la fermeture du circuit.
G. Bonus : effet Gunn dans un semi conducteur CTE.
La diode Gunn est utile dans un oscillateur pour produire des oscillations dans la bande des micro
ondes. Elle utilise un effet qui est du à la variation des propriétés des porteurs, ici les électrons.
Deux bandes d’énergies sont possibles : pour les basses énergies les électrons sont rapides et légers.
Pour les hautes énergies les électrons sont lourds et lents.
Masse effective 0,068 1,2
Mobilité cm²/Vs 80000 180
Champ E kV/cm <3,4 >3,4
Energie meV <36 >36
35. Dans un échantillon d’épaisseur 10µm, quelle tension permet attendre le champ seuil ?
36. Montrer que, si les porteurs changent de vallée, la mobilité moyenne baisse.
37. Comment varie le courant en fonction de la tension ?
38. Illustrer sur une courbe le comportement de type RDN (résistance différentielle négative).

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H. Formulaire électrocinétique
Nombre volumique de charges de conduction
3
1
1. . .
.10
Am
n N
V M
−
=
Lien densité de charge, nombre volumique
.
ne
ρ
=
Relation densité de courant, vitesse des porteurs
.
j v
ρ
=
Relation densité de courant intensité
.
surface
I j dS
=
∫∫
Loi d’Ohm locale
.
j E
σ
=
Relation champ potentiel
( ) .
A
D A D
V E dl
→
∆ = −
∫
.
E l U
=
(E constant)
Puissance volumique dissipée
²
( )
dP j
dV
σ
= −
I. Tableau récapitulatif des grandeurs pour les deux situations :
Filament de tungstène d’une ampoule Fil de distribution de cuivre s=1,5 mm²
caractéristiques\matériau tungstène W cuivre Cu
masse volumique kg m-3
19300 8900
masse molaire kg mol-1
1,84E-01 6,35E-02
L longueur du fil (m)
1 1
rayon du fil m
4,37E-06 6,91E-04
S surface de la section droite (m²)
6,00E-11 1,50E-06
σ conductivité sigma S m-1
1,89E+07 5,88E+07
résistivité Ω m-1
5,29E-08 1,70E-08
U tension entre les bouts du fil V volt
230 8,50E-02
Champ électrique E V m
-1
230 8,50E-02
I intensité A ampères
2,61E-01 7,50E+00
j densité de courant A m
-2
4,35E+09 5,00E+06
n nombre volumique d'électron libres m
-3
6,32E+28 8,43E+28
ro densité de charges C m
-3
1,01E+10 1,35E+10
vitesse de dérive des électrons
4,30E-01 3,71E-04
τ constante de temps du mvt s
1,06E-14 2,48E-14
masse de l'électron kg
9,10E-31 9,10E-31
e charge de l'électron C
1,60E-19 1,60E-19
dp/dv puissance volumique W m
-3
1,00E+12 4,25E+05
R résistance Ω
8,82E+02 1,13E-02
Puissance totale dissipée W
60 6,38E-01