Physique statistique de la mati`ere molle (II)

Physique statistique de la mati`ere molle (II)
(DEA de Physique des Liquides 2003 – 2004)
Claude ASLANGUL

Ce cours est l’un des deux volets du cours de Physique statistique de la mati`ere molle donn´e
au DEA de Physique des Liquides. Il expose les principes et les bases des m´ethodes de la Physique
statistique en vue de son application aux fluides classiques (=0). Lesdeux premiers chapitres
constituent un rappel succinct de la synth`ese connue entre la Thermodynamique et la M´ecanique
statistique. Le chapitre 3 expose les bases de la th´eorie de la r´eponse lin´eaire et discute bri`evement
l’importance des exp´eriences de diffusion (X et neutrons). Le chapitre 4 pr´esente les difficult´es pos´ees
par les interactions au sein d’un fluide et les m´ethodes utilis´ees pour les d´ecrire. Les chapitres 5 et 6
sont consacr´es aux transitions de phase, en adoptant une d´emarche ph´enom´enologique pour introduire
les id´ees essentielles, notamment la th´eorie de Landau. Les deux derniers chapitres sont consacr´es
aux situations hors d’´equilibre, d´ecrites en d´etail en prenant l’exemple du mouvement Brownien.

Table des Mati`eres
1Rappelssurladescription d’un syst`eme `al’´equilibre thermodynamique 7
1.1 Quelques propri´et´es des syst`emes macroscopiques ........................... 7
1.2Naturestatistique de l’entropie..................................... 9
1.3Grandeursinternesetgrandeursexternes ............................... 11
1.4Relations thermodynamiques fondamentales .............................. 13
1.5Potentielsthermodynamiques ...................................... 15
1.6 Ensembles microcanonique, canonique, grand-canonique et
isotherme-isobare............................................. 16
1.7Exemple :fonctiondepartition d’un fluide classique......................... 19
1.8 Principe variationnel pour l’´energie libre . ............................... 21
2Stabilit´edel’´equilibre. Fluctuations `al’´equilibre 23
2.1Stabilit´edel’´equilibre et cons´equences ................................. 23
2.2Fluctuationsd’une grandeur interne .................................. 24
2.2.1 G´en´eralit´es ............................................ 24
2.2.2 Le th´eor`emedelalimite centrale(T. L. C.).......................... 25
2.2.3Applicationaux fluctuations d’une grandeur interne ..................... 28
3El´ements de th´eorie delar´eponse lin´eaire 33
3.1 R´eponse d’un syst`eme `aune petite perturbation ........................... 33
3.1.1 Fonctions de r´eponse statiques................................. 34
3.1.2Exemples ............................................. 37
3.2 Fonctions de r´eponse dynamiques . ................................... 38
3.3 Absorption d’´energie........................................... 44
3.4 Th´eor`emedefluctuation–dissipation ................................. 46
3.5 Relaxation `apartird’un´etat (faiblement) hors d’´equilibre . ..................... 47
3.6 Relations de r´eciprocit´ed’Onsager ................................... 48
3

4TABL E DES MATI ` ERES
4Propri´et´es statiques des liquides 51
4.1Description statistiqued’un liquide ................................... 51
4.2 D´eveloppement du Viriel . ........................................ 54
4.3 Fonction de corr´elationspatiales .................................... 56
4.4 ´ EquationsdeKirkwood et d’Ornstein–Zernike ............................. 59
4.5Diffusiondes rayons Xetdes neutrons ................................. 61
5G´en´eralit´es sur les transitions de phase et les ph´enom`enes critiques 67
5.1Transition liquide-gaz .......................................... 67
5.1.1 Ph´enom´enologie......................................... 67
5.1.2 L’´equation de vander Waals.................................. 69
5.1.3Exposants critiquesdevan derWaals ............................. 71
5.2 La transition ferromagn´etique ...................................... 74
5.2.1 Ph´enom´enologie......................................... 74
5.2.2 Rudimentssurlemod`eled’Ising ................................ 75
5.2.3 Approximation du champ moyen : th´eorie de Weiss du ferromagn´etisme .......... 78
5.3 Notion de param`etre d’ordre...................................... 81
5.4 Rˆole de la limite thermodynamique pour l’apparition
d’une transition de phase. Brisure d’ergodicit´e............................ 82
6Th´eorie deLandau 87
6.1 Universalit´edesth´eories de champmoyen ............................... 87
6.2Fonctionnelle de Landau......................................... 88
6.3 Fluctuations d’´equilibre du param`etre d’ordre ............................. 93
6.4 Crit`eredeLandau–Ginzburg. . .................................... 95
6.5 Syst`emes inhomog`enes .......................................... 95
6.5.1 Abaissement de la temp´eraturecritiquepourunfilm mince................. 96
6.5.2 ´ Energied’une paroi ....................................... 97
7LeMouvementBrownien 99
7.1Origine physique du mouvementBrownien.. ............................. 99
7.2 ´ Equation de Langevin ..........................................100
7.3 Premi`eres cons´equences de l’´equation de Langevin ..........................104
7.3.1 R´eponse `aune force ext´erieure .................................104
Physique Statistique de la mati`ere molle (II) Cl. A.

TABL E DES M ATI ` ERES 5
7.3.2Fluctuationsdevitesse et relationsdefluctuation-dissipation ................105
7.3.3Fluctuationsdelaposition ...................................106
7.3.4 Dynamique des fluctuations de vitesse `al’´equilibre . .....................107
7.4 Analyse harmonique de l’´equation de Langevin ............................110
7.5Lacontributiond’Einstein........................................112
8Equationmaˆıtresse et ´equation de Fokker - Planck 115
8.1 Notions ´el´ementaires surles processusstochastiques classiques ....................115
8.1.1Processusdiscretsetprocessuscontinus ............................115
8.1.2ProcessusdeMarkov. ......................................118
8.2 Equation maˆıtresse ............................................119
8.3EquationdeFokker-Planck ......................................123
8.4 Comparaison entre l’´equation maˆıtresse et l’´equation de
Fokker -Planck..............................................127
8.5Equation(s) de Fokker -Planckpourlemouvement Brownien ....................130
8.5.1 Equation de Fokker - Planck pour la vitesse (Processus d’Ornstein -
Ulhenbeck) ............................................131
8.5.2 Equation de Fokker - Planck pour la coordonn´ee (limite visqueuse de
l’´equation de Langevin).....................................134
Cl. A. Physique Statistique de la mati`ere molle (II)