TD11 - Sciences Physiques en MP au lycée Clemenceau Nantes Site

1 – Exercices : 11 - Principes de la Thermodynamique Sciences Physiques MP 2016-2017
Exercices : 11 - Principes de la Thermodynamique
A. Application des principes
1. Transformations polytropiques d’un gaz parfait
On appelle transformation polytropique une transformation r´eversible au cours de laquelle les transferts de
travail et thermique v´erifient δW =kδQ, o`u kest une constante. On ´etudie de telles transformations pour un
gaz parfait `a coefficient γconstant.
1. ´ Etablir la relation liant pet Vle long de cette transformation, sous la forme pV q= Cte.
D´eterminer les diff´erents cas particuliers : transformations isotherme, isobare, isochore et isentropique.
Repr´esenter l’allure de ces quatre transformations, `a partir d’un mˆeme ´etat initial, dans un diagramme
(p, V ).
2. L’air de l’atmosph`ere est en ´equilibre polytropique ; en d´eduire la loi de variation de la temp´erature avec
l’altitude. On consid´erera q6= 1 et on notera gl’acc´el´eration de la pesanteur (suppos´ee constante) et M
la masse molaire de l’air.
3. ´ Evaluer la hauteur totale de l’atmosph`ere si q= 1,2, l’atmosph`ere ´etant de l’air (M= 29 g ·mol−1) de
temp´erature au sol 0 ◦C, avec g= 9,8 m ·s−2.
2. Chauffe-eau au gaz
De l’eau dont la capacit´e thermique est c= 4,18 kJ ·kg−1·K−1entre `a T0(14 ◦C) dans un chauffe-eau et en
ressort `a la temp´erature Tf(33 ◦C). Pendant 5 minutes, il a circul´e 10 L d’eau pour une consommation de 27 L
de gaz. Le gaz poss`ede un pouvoir ´energ´etique P E = 10,4 kWh ·m−3.
1. Calculer le rendement du chauffage.
Le rendement du chauffage n’est pas de 100% car il s’effectue entre l’eau chaude et l’ext´erieur (qu’on
suppose toujours `a la temp´erature T0) un transfert thermique mod´elis´e par la puissance transf´er´ee suivante :
Ppertes thermiques =α(T−T0)
2. Calculer α.
3. Compresseur refroidi
(pE, TE) (pS, TS)
Pcomp
Pth
On ´etudie un compresseur simple (figure ci-contre) qui fait passer r´eversi-
blement de l’air de l’´etat (TE= 550 K, pE= 15 bar) `a l’´etat (TS= 450 K,
pS= 150 bar). Le d´ebit massique est D= 0,1 kg ·s−1. Pour l’air, on prendra
r= 287 J ·kg−1·K−1,cp= 1 kJ ·kg−1·K−1et γ= 1,40. On n´egligera les
variations d’´energie cin´etique. D´eterminer la puissance du compresseur ainsi
que la puissance thermique en sachant que le transfert thermique s’effectue
avec un thermostat `a T0= 300 K.
R´eponses : Dcp(TS−TE) = Pcomp +Pth,D∆s=˙ Stransf +˙ Scr =Pth
T0, ∆s=cpln TS TE−rln pS pE,Pth =−26 kW,
Pcomp = 16 kW.
4. D´etente dans une tuy`ere
Une masse d’air assimil´ee `a un gaz parfait arrive `a l’entr´ee d’une tuy`ere avec une temp´erature T0= 293 K et une
vitesse d’ensemble v. La tuy`ere la conduit dans un tr`es grand r´eservoir o`u elle se disperse et o`u sa temp´erature
est Tf= 500 K. La tuy`ere et le r´eservoir sont parfaitement calorifug´es. L’air sera assimil´e `a un gaz parfait
diatomique de coefficient γ= 1,40, la constante des gaz parfaits est r=R/Mair = 287 J ·kg−1·K−1. Calculer
la vitesse vde l’air `a l’entr´ee de la tuy`ere.
R´eponses : v= 643 m ·s−1.
5. D´etente dans le vide
L’air atmosph´erique est assimil´e `a un gaz parfait diatomique, de pression et temp´erature constantes (1 bar,
20 ◦C). On fait le vide dans un r´ecipient `a parois bien isol´ees sur le plan thermique, ind´eformable, de volume
´egal `a 1 L. Il peut communiquer avec l’ext´erieur au moyen d’un robinet de petites dimensions.
1. On ouvre un bref instant le robinet, faisant entrer de l’air dans le r´ecipient. Le robinet est ensuite referm´e.
Quel est la temp´erature de l’air entr´e dans le ballon ? Quelle est l’entropie cr´e´ee par cette op´eration ?
2. On attend ensuite longtemps, de sorte que l’´equilibre de temp´erature se refasse entre l’int´erieur et l’ext´e-
rieur. Quelle est l’entropie cr´e´ee par cette transformation ?
JR Seigne Clemenceau Nantes

Sciences Physiques MP 2016-2017 Exercices : 11 - Principes de la Thermodynamique – 2
R´eponses : V0volume des moles d’air qui rentrent dans le r´ecipient p0V0=n0RT0, une fois entr´ees : p0V=
n0RT1, ∆U=n0R
γ−1(T1−T0) = p0V0,T1=γT0, ∆S=n0R γ−1ln T1 T0+n0Rln V V0=n0Rγ γ−1ln γ, ∆S=Scr = 0,28 J·K−1
positive, irr´eversible ; isochore Q= ∆U=n0R
γ−1(T0−T1) = −n0RT0, ∆S=n0R γ−1ln 1 γ=Stransf +Scr,Stransf =
−n0R,Scr =n0R[1 −1
γ−1ln γ] = 0,04 J ·K−1positive, irr´eversible.
B. Machines thermodynamiques
6. Syst`eme de climatisation
On ´etudie l’installation de climatisation d’un wagon. On n´eglige les variations d’´energie cin´etique. Un moteur
entraˆıne un compresseur puisant de l’air dans le wagon `a la temp´erature θA= 20 ◦C et `a la pression pA= 1 bar.
La compression est adiabatique et r´eversible. A la sortie l’air est dans l’´etat θB,pB. Il perd ensuite de l’´energie
par un transfert thermique isobare au profit de l’air ext´erieur au wagon qui est `a 37 ◦C. Sa temp´erature est alors
θC. Il effectue ensuite une d´etente adiabatique et r´eversible dans une turbine, `a la suite de quoi il est rejet´e dans
le wagon `a la pression pD= 1 bar et `a la temp´erature θD=−5◦C. Le compresseur et la turbine sont sur le
mˆeme axe. Pour l’air, on prendra r= 287 J ·kg−1·K−1,cp= 1 kJ ·kg−1·K−1et γ= 1,40. On raisonnera pour
un kilogramme d’air.
1. Quelle est la valeur minimale que l’on peut esp´erer atteindre pour θC? En d´eduire la valeur minimale pB
que le compresseur doit imposer. On donne pB= 1,7 bar, calculer θBet θC.
2. La puissance de climatisation est d´efinie comme la puissance thermique ´echang´ee par l’air qui entre refroidi
dans le compartiment et qui en ressort `a 20 ◦C. D´eterminer cette puissance sachant que la puissance
thermique rejet´ee `a l’ext´erieur, est de 5 kW. (On calculera le nombre de kilogrammes d’air qui doivent
ˆetre puis´es chaque seconde dans le wagon.)
3. Dans le cadre de la question pr´ec´edente, calculer la puissance fournie au compresseur, celle r´ecup´er´ee
dans la turbine, celle globalement fournie par le moteur. Calculer l’efficacit´e de l’installation d´efinie par
e=Pclim/Pmoteur. On justifiera cette d´efinition de l’efficacit´e.
7. Pompe `a chaleur
Une pompe `a chaleur cyclique ditherme fonctionne r´eversiblement entre une patinoire de dimensions 20 m ×
50 m ×30 cm et une piscine de dimensions 20 m ×50 m ×3 m.
`
A l’´etat initial la piscine et la patinoire sont remplies d’eau liquide `a temp´erature T0; `a l’´etat final la glace de
la patinoire est `a T1.
On connaˆıt t0= 12 ◦C, t1=−5◦C, les capacit´es thermiques massiques ce= 4,18 kJ ·kg−1·K−1(eau liquide)
et cg= 1,9 kJ ·kg−1·K−1(glace) et la chaleur latente de fusion de l’eau Lf= 334 kJ ·kg−1.
La masse volumique de l’eau (liquide ou solide) est ρ= 1 000 kg ·m−3.
1. Calculer alors la temp´erature T′
1de la piscine.
2. Calculer le travail minimal `a fournir pour parvenir `a cette situation.
R´eponses : W+Qa+Qb= 0, Qb=mb[cet0−cgt1+Lf] = 1,182 ×1011 J, West minimale ∆S= 0,
maceln T′
1
T0+mbceln Tf T0−mb
Lf
Tf+mbcgln T1 Tf= 0, T′
1= 295 K (22 ◦C), Qa=−mace(T′ 1−T0) = −1,254 ×1011 J,
Wmini = 7,2×109J.
8. Turbomoteur
Un moteur thermique `a air fonctionne en r´egime permanent ; on n´eglige les variations d’´energie potentielle et
d’´energie cin´etique de l’air lors des diverses transformations. L’air, assimil´e `a un gaz parfait (M= 29 g ·mol−1
et γ= 1,40) subit les transformations suivantes :
1-2 Compression adiabatique r´eversible, le compresseur ´etant actionn´e par une partie du travail fourni par la
turbine ;
2-3 Chauffage isobare r´eversible dans un r´ecup´erateur de chaleur ;
3-4 Chauffage isobare par un thermostat `a la temp´erature tc= 1 200 ◦C ;
4-5 D´etente adiabatique r´eversible dans la turbine (phase motrice) ;
5-6 Refroidissement isobare r´eversible dans le r´ecup´erateur de chaleur ;
6-1 Refroidissement isobare par un thermostat de temp´erature ta= 0 ◦C.
On donne p1= 1 bar, p2= 4 bar, le d´ebit massique de l’air Dm= 10 kg ·s−1,t1= 15 ◦C et t4= 875 ◦C.
1. ´ Etablir la relation liant T1,T2,T4et T5.
2. D´eterminer la temp´erature et la pression de l’air aux points 2, 3, 4, 5 et 6 du cycle.
3. Pour chacune des transformations du cycle, donner l’expression litt´erale de la variation d’entropie massique.
Repr´esenter l’allure du diagramme (T, s) de ce cycle.
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3 – Exercices : 11 - Principes de la Thermodynamique Sciences Physiques MP 2016-2017
4. D´efinir et calculer le coefficient de performance ηde ce moteur `a turbine.
Que devient ce coefficient lorsque le r´ecup´erateur de chaleur est supprim´e, toutes autres choses restant
´egales par ailleurs ?
5. Calculer dans les deux cas (avec et sans r´ecup´erateur) l’entropie cr´e´ee par unit´e de temps. Conclure.
C. Statique des fluides
9. ´ Etude d’un barrage
Dans cet exercice, les solides et les liquides sont plong´es dans le champ de pesanteur uniforme g. Le r´ef´erentiel
terrestre est suppos´e galil´een. On se r´ef`ere au sch´ema de la figure 1. Le barrage est form´e d’un solide ind´eformable,
en forme de penta`edre de base rectangulaire. Sa section est un triangle isoc`ele, de hauteur h, de demi-angle au
sommet ´egal `a α. Sa masse volumique est ρ. Il est pos´e sur le sol horizontal et permet de retenir l’eau d’un lac
dont la masse volumique est ´egale `a µ. On suppose que les seules forces qui interviennent sont li´ees `a la pression
des fluides (eau et air), au poids du barrage et aux forces de contact exerc´ees par le sol. La longueur Ldu
barrage est suffisamment grande pour que l’on puisse n´egliger les forces de liaison intervenant `a ses extr´emit´es.
On appelle p0la pression uniforme de l’air au voisinage du barrage.
x
z
h
α
air
eau
sol
Figure 1 – Barrage
1. Exprimer la pression de l’eau en fonction de l’altitude z, de p0,µ,get h.
2. Calculer la force exerc´ee sur la face immerg´ee. En d´eduire la force exerc´ee sur la face ´emerg´ee.
On admet que ni l’air, ni l’eau ne peuvent p´en´etrer sous le barrage. On consid`ere que ce dernier ne tient
alors en ´equilibre sur le sol que par l’action de la force de frottement solide. Dans ce cas la r´eaction du sol
sur le barrage est repr´esent´ee par : une composante normale Nverticale ascendante et une composante
tangentielle Thorizontale qui s’oppose au glissement du barrage. L’´equilibre statique n’est garanti que si
|T| ≤ f|N|, expression dans laquelle fest un coefficient constant, appel´e coefficient de frottement statique
du barrage sur le sol. On d´efinit aussi l’angle de frottement ϕtel que tan ϕ=f. Cet angle repr´esente
l’inclinaison maximale de la r´eaction du sol par rapport `a la verticale.
3. D´eterminer les forces Net T.
4. En d´eduire la valeur minimale du coefficient de frottement, pour que le barrage reste en ´equilibre sur le
sol, sans glisser.
5. Montrer que si α+ϕ > π
2, alors le barrage reste en ´equilibre.
6. On suppose que h= 10 m, g= 10 m ·s−2,ρ= 2 ×103kg ·m−3,µ= 103kg ·m−3,α= 45˚. Calculer la
valeur limite de f.
7. Que se passe-t-il si l’air peut s’infiltrer sous le barrage et exercer la pression p0sur la base ? Quelle est la
nouvelle valeur limite du coefficient de frottement f?
8. Que se passe-t-il si l’eau peut p´en´etrer sous le barrage ?
R´eponses : p=p0+µg(h−z), ~ feau =−Lh(p0+µgh
2)[~ex+ tan α~ez], ~
fair =Lhp0[~ex−tan α~ez], M~g =
−ρLh2tan αg~ez,T=Lh µgh
2,N=Lh tan α[2p0+µgh 2+ρgh], fmin =µgh 4p0+µgh+2ρgh
1
tan α,ǫ=µgh 4p0+µgh+2ρgh ,
f > ǫ tan( π
2−α), si f= tan ϕ > tan( π 2−α) alors α+ϕ > π 2et non glissement, fmin = 0,111, Nair =
Lh tan α[µgh
2+ρgh] d’o`u fmin =µgh µgh+2ρgh = 0,333, Neau =Lh tan α[ρgh −3µgh 2] or ρ= 2µd’o`u Neau =
Lh tan αµgh
2,fmin =1 tan α= 1, f > 1 pas impossible mais il y a beaucoup de chances que le barrage soit
emport´e par l’eau.
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Sciences Physiques MP 2016-2017 Exercices : 11 - Principes de la Thermodynamique – 4
10. Film liquide sur une paroi
Une paroi est confondue avec le demi-espace z < 0, un gaz remplissant a priori le demi-espace z > 0. Le gaz est
assimil´e `a un gaz parfait, mais la paroi exerce sur un atome situ´e en un point Mde cote z > 0, une force de la
forme ~ fa=−4C
z4~ezo`u Cest une constante positive. On n´eglige les forces de pesanteur.
1. Sachant que la pression loin de la paroi vaut p(z=∞) = p∞, que la temp´erature est uniforme et qu’il y
a ´equilibre du gaz, ´etablir l’expression de la pression pen tout point du fluide en fonction de p∞,z,kB,
Tet C.
2. En d´eduire que la paroi se recouvre d’un film liquide et exprimer son ´epaisseur een fonction de p∞,kB,
T,Cet de la pression de vapeur saturante psat(T) `a la temp´erature T.
3. Dans une exp´erience r´eelle avec de l’h´elium, on a p∞= 1,2 Pa, T= 0,8 K, psat(T) = 1,52 Pa et C=
5,1×10−51 N·m4. La densit´e mol´eculaire de l’h´elium liquide vaut n= 2,7×1028 m−3. Calculer l’´epaisseur
edu film liquide et la distance moyenne aentre deux atomes dans l’h´elium liquide. Le film liquide est-il
r´eellement pr´esent ?
4. On chauffe la paroi. Montrer que l’´evolution de la temp´erature au voisinage de la paroi permet de distinguer
le cas o`u le film liquide est pr´esent du cas o`u le film liquide est absent.
11. Balle de tennis bouchant un abreuvoir
Figure 2 – Abreuvoir et balle de tennis empˆechant la baignoire de se vider
La question que l’on pose est la suivante : peut-on boucher une baignoire avec une balle de tennis ? La balle de
tennis est une sph`ere de rayon R= 3,5 cm et de masse m= 58 g. Elle est compl`etement immerg´ee dans une
baignoire remplie d’eau qui sert d’abreuvoir `a des chevaux dans un pr´e. La baignoire contient une hauteur d’eau
H= 40 cm et le rayon de la bonde d’´evacuation de la baignoire est r= 3,0 cm. La pression environnante est la
pression atmosph´erique not´ee p0. Voir la figure 3 et les photos de la figure 2.
OR
z
p0
p0
r
H
eau
Figure 3 – Balle de tennis empˆechant la baignoire de se vider
R´eponses : Pour des raisons de sym´etrie, la force due `a la pression de l’eau exerc´ee sur la balle de tennis est
verticale, on la note fz. Si N, elle aussi verticale, est la force de contact entre la baignoire et la balle, on peut ´ecrire
`a l’´equilibre au fond de la baignoire N−mg+fz= 0 et donc N=mg−fz. Si N > 0 alors la balle de tennis reste au
fond de la baignoire et empˆeche qu’elle se vide mais si Ns’annule alors la baignoire se vide. Il faut donc calculer
fz. L’eau ´etant incompressible, dP
dz=−µg donne une loi affine de zpour la pression s’exer¸cant sur la balle de
tennis. Comme la pression p0va contribuer en tout point de la sph`ere, elle n’intervient pas dans le bilan des forces
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5 – Exercices : 11 - Principes de la Thermodynamique Sciences Physiques MP 2016-2017
pressantes, seule la surpression ∆pcompte. On note θ0> π/2 l’angle entre l’axe Oz et la direction marquant le
contact entre la balle de tennis et la baignoire. On a cos θ0=−√R2−r2
Ret sin θ0=r R. En un point sous l’eau de
la surface de la balle de tennis rep´er´e par l’angle θ, on a une surpression ∆p=µg(H−R(cos θ−cos θ0)). La force
exerc´ee par l’eau sur une surface ´el´ementaire est d ~ f=−∆pR2sin θdθdϕ~er. Seule la projection de cette force
sur l’axe Oz contribue `a fz, on a dfz=−µgR2(H+Rcos θ0−Rcos θ) cos θsin θdθdϕ. On int`egre pour θ= 0
jusqu’`a θ=θ0et ϕ= 0 jusqu’`a ϕ= 2π. On trouve fz=−µgπR2[H(1−cos2θ0)+ R
3(3 cos θ0−cos3θ0−2)]. Cette
expression fonctionne dans le cas o`u la balle de tennis serait compl`etement immerg´ee, on aurait cos θ0=−1,
on retrouve alors fz=4
3πR3µg, c’est-`a-dire le poids du volume de fluide d´eplac´e. `a partir de l’expression de
fz, on arrive `a l’expression de N=g(m+µ4
3πR3[3H 4R(1 −cos2θ0) + 1 4(3 cos θ0−cos3θ0−2)]). Avec les valeurs
num´eriques propos´ees, on trouve bien N > 0 puisque N= 153 N.
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