Introduction a la cohomologie des faisceaux

Introduction a la
cohomologie des
faisceaux
Projet professionnel
Master 2 - Math´ematiques et Applications
Universit´e Montpellier II 2015
J´er´emy NUSA
[email protected]

1—Cohomologie des faisceaux
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Etant donn´e un espace topologique Xet des donn´ees locales sur X,
on cherche `a connaitre les conditions d’existence et les obstructions pour
obtenir des donn´ees globales sur Xrecouvrant les donn´ees locales.
Exemple
– Orientation des vari´et´es : Passer d’une orientation locale `a la classe
fondamentale de la vari´et´e.
– Fonctions m´eromorphes sur C: Recoller des s´eries de Laurent
– Surfaces de Riemann : Probl`eme de Mittag-Leffler.
D´efinition 1.1 (Faisceau)
Un faisceau F, sur Xest la donn´ee de deux ensembles
•Les sections de F: Pour tout ouvert Ude X, on a un groupe
ab´elien F(U), l’ensemble des sections de Fau-dessus de U.
•Les restrictions de F: Pour tout couple d’ouvert V⊂U, on a un
morphisme de groupes ab´eliens rU,V :F(U)→ F(V), la restriction
de U`a V.
V´erifiant les conditions suivantes
•Pour tout triplet d’ouverts W⊂V⊂Uon a rU,W =rV,W ◦rU,V et
rU,U =idF(U)
•Pour tout couple d’ouverts U, V , pour tout σ∈ F(U)et τ∈ F(V)
si rU,U∩V(σ) = rV,U∩V(τ)alors il existe une section π∈ F(U∪V)
telle que rU∪V,U (π) = σet rU∪V,V (π) = τ.
•Pour tout couple d’ouverts U, V , pour tout σ∈ F(U∪V)si
rU∪V,U (σ)=0et rU∪V,V (σ)=0alors σ= 0.
En l’absence d’ambigu¨ıt´e on note σ|V:= rU,V (σ)la restriction d’une
section σ`a V⊂U.
Exemple
– Orientation des vari´et´es : F(U) = Hn(X, X \U) et rU,V est induit par
le quotient.
– Fonctions m´eromorphes sur C:F(U) = O(U), l’anneau des fonctions
holomorphes sur Uet rU,V est la restriction de fonctions.
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D´efinition 1.2 (Morphisme de faisceaux )
Soient F,Gdeux faisceaux sur X. Un morphisme de faisceau α:F → G
est une collection de morphismes de groupes ab´eliens αU:F(U)→ G(U)
qui commute avec l’op´eration de restriction. Autrement dit on a le
diagramme commutatif suivant
F(U)rF
U,V //
αU
F(V)
αV
G(U)rG
U,V //G(V)
Tout morphisme de faisceaux α:F → G induit l’existence de deux
autres faisceaux importants, son noyau et son conoyau.
•Ker(α) : C’est le faisceau sur Xtel que Ker(α)(U) := Ker(αU)
•CoKer(α) : Si on d´efinit le conoyau de fa¸con usuelle via
G(U)/αU(F(U)), alors cet ensemble peut ne pas satisfaire les
conditions requises pour ˆetre un faisceau. A la place on d´efinit donc
une section σde CoKer(α)(U) comme ´etant un ensemble de couples
{(Ui, σi)}io`u les Uiforment un recouvrement de Uet les σi∈ G(Ui)
sont tels que pour tout i, j on ait
σi|Ui∩Uj−σj|Ui∩Uj∈αUi∩Uj(F(Ui∩Uj))
De plus on identifie deux telles sections {(Ui, σi)}iet {(U0
j, σ0 j)}j
si pour tout x∈Uet pour tout couple Ui, U0
jcontenant x
dans leur intersection, il existe un ouvert V⊂Ui∩U0
jtel que
σi|V−σ0
j|V∈αV(F(V)).
D´efinition 1.3 (Suite exacte de faisceaux )
Soient E,F,Gdes faisceaux et α, β deux morphismes de faisceaux. Une
suite de faisceaux
0//Eα//Fβ//G//0
est dites exacte si, E=Ker(β)et G=CoKer(α). Dans ce cas on dit
aussi que Eest un sous-faisceau de Fet que Gest le faisceau quotient
de Fpar Enot´e F/E.
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D´efinition 1.4 (Suite exacte longue de faisceaux )
Soient {Fi}ides faisceaux et {αi:Fi→ Fi+1}des morphismes de
faisceaux. Une suite longue de faisceaux
. . . αi−1//Fi
αi//Fi+1
αi+1 //. . .
est dites exacte si, αi+1 ◦αi= 0 et si la suite courte
0→Ker(αi)→ Fi→Ker(αi+1)→0est exacte pour tout i.
Remarque
Le fait qu’une suite courte soit exacte n’implique pas que la suite
courte induite par un ouvert U
0//E(U)αU//F(U)βU//G(U)//0
le soit ´egalement. On verra plus loin comment s’y ramener dans certains
cas. Cependant on a que
•La suite est exacte en E(U) et F(U).
• ∀σ∈ G(U),∀x∈U, ∃V⊂X, x ∈Vtel que σ|V∈Im(βV).
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