Etude des Mécanismes d`Emission Electronique dans un Arc

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université des Sciences et de la Technologie d’Oran
Mohamed Boudiaf
FACULTE DE GENIE ELECTRIQUE
DEPARTEMENT D’ELECTROTECHNIQUE
MEMOIRE EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLOME DE MAGISTER
SPECIALITE : Electrotechnique
OPTION : Ingénierie des Plasmas et des Décharges
PRESENTE PAR:
Mr : BESSIS BENHALIMA
SUJET DU MEMOIRE:
Etude des Mécanismes d’Emission Electronique
dans un Arc électrique dans le Vide
Soutenue Le : 08/ 07 /2010 Devant le jury composé de :
Mr A. SETTAOUTI
Professeur, Univ, USTO-MB
PRESIDENT
Mr M. MESSAAD
Maître de Conférences A, Univ, USTO-MB
ENCADREUR
Mr A.W. BELARBI
Maître de Conférences A, Univ, USTO-MB
EXAMINATEUR
Mr A. HAMID
Maître de Conférences A, Univ, USTO-MB
EXAMINATEUR
Mr F. LAKHDARI
Maître de Conférences B, Univ, USTO-MB
INVITE
Dédicace
A mes chers parents.
A mes frères.
A ma femme.
A mes amis.
Remerciements
Ce travail n’aurait pu se dérouler dans les meilleures conditions sans l’aide
précieuse et nécessaire de Monsieur MOHAMMED MESSAAD, qui a toujours encadré
mon travail et m’a fait partager son savoir et son enthousiasme. Un énorme merci pour
sa disponibilité sans limites, sa patience et ses idées toujours constructives. Également
pour avoir su répondre à toutes mes questions. Encore mille mercis et qu’il trouve ici
l’expression de ma profonde estime.
Je tiens à remercier Monsieur le Professeur A. SETTAOUTI pour avoir accepté
d’évaluer ce travail et qui m’a fait l’honneur d’accepter la présidence du jury. Qu’il
trouve ici l’expression de mes vifs remerciements.
Je témoigne de ma profonde reconnaissance à Monsieur A. W. BELARBI Maître
de conférences à L’USTO pour avoir accepter d’examiner ce travail et de faire parti du
jury.
Mes vifs remerciements vont aussi à Monsieur A. HAMID
et à Monsieur
F.LAKHDARI, Maîtres de conférences à L’USTO qui ont accepté d’examiner ce travail,
qu’il trouvent ici ma respectueuse reconnaissance.
Je tiens à remercier aussi tous ceux m’ont aidé de prés ou de loin pour bien
accomplir ce travail.
Résumé
Le travail présenté dans ce mémoire est consacrée à l’étude des phénomènes d’émission électronique qui
ont lieu à la cathode dans une décharge d’arc électrique.
Dans un arc électrique, les électrons sont émis à partir de la surface de la cathode. Le spot cathodique
constitue le lieu d’où émergent les électrons. La densité de courant des électrons émis représente 90 % de la
densité de courant total. La part de 10% restante est assurée par les ions positifs présents devant la cathode.
Ainsi la détermination de la densité de courant total à la cathode dans une décharge d’arc se ramène au calcul de
celle des électrons émis.
Les deux facteurs importants gouvernant l’émission des électrons dans un arc électrique sont la
température et le champ électrique qui règnent à la surface de la cathode. Le champ électrique est crée par la
charge d’espace des ions positifs devant la cathode. Cette dernière est chauffée par les ions positifs qui lui cèdent
leurs énergies cinétiques acquises par le champ électrique le long de la zone de charges d’espace. La cathode est
également chauffée par effet Joule et peut être chauffée aussi par effet Nottingham.
Pour le calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode dans une décharge d’arc, on trouve
dans la littérature plusieurs équations qui sont basées sur les phénomènes suivants :
-Emission des électrons par effet de la température (émission T),
-Emission par effet de champ électrique (émission F),
-Emission par effet de la température et du champ électrique (émission TF)
Liste des Figures
Chapitre I
Figure (I.1)
Figure (I.2)
Figure (I.3)
Figure (I.4)
Figure (I.5)
Figure (I.6)
Figure (l.7)
Caractéristique tension-courant d’une décharge électrique
Amorçage par contact
Les différentes zones de la région cathodique
Distribution des potentiels et des courants entre les électrodes
Structure de la zone anodique
Formation de la couche double de Langmuir
Mécanisme de déplacement d'un spot cathodique
Page 5
6
7
11
12
13
18
Chapitre II
Figure (II.1)
Figure (II.2)
Statistique de Fermi-Dirac pour
0
0
Allure schématique de la barrière de potentiel à l’interface métal-vide.
Représente le niveau de Fermi
22
26
Chapitre III
Figure (III.1)
Densité de courant JRD en fonction de T
31
Densité de courant des électrons émis en fonction de T et F (équation
de Richardson-Dushman avec correction de Schottky)
33
Figure (III.3)
Figure (III.4)
Figure (III.5)
Densité de courant JFN en fonction de F
Domaine de variation de Wl en fonction du champ électrique en surface
Fonction de Nordhiem
en fonction de
37
41
42
Figure (III.6)
Variation du coefficient de transmission D (F, W) en fonction W pour
différentes valeurs du champ électrique
43
Figure (III.7)
Variation du coefficient de transmission D (F, W) en fonction W
43
Figure (III.2)
Pour valeur du champ électrique F
Figure (III.8)
Figure (III.9)
Figure (III.10)
Figure (III.11)
Figure(III.12)
1
10 V⁄m
Variation de la densité de courant JMG en fonction de F et T
44
Variation de JMG en fonction du champ électrique
valeurs de la température
45
pour différentes
Variation de JMG en fonction de la température pour différentes
valeurs du champ électrique
Variation de la densité de courant JHAN en fonction de
Densités de courant des électrons émis obtenues par différents auteurs
46
47
48
Chapitre IV
Figure (IV.1)
Figure(IV.2)
Potentiel énergétique d’effet Nottingham pour différente valeurs
de la température T
Variation de la température d’inversion
en fonction de F
56
59
Liste des symboles
Symboles
,
Paramètres
Unités
Coefficient de transmission des électrons à travers la barrière de
potentiel
Champ électrique à la surface de la cathode
Intensité de courant d’arc
⁄
Densité de courant
⁄
Densité de courant totale à la l’anode
⁄
Densité de courant électronique
⁄
Densité de courant des électrons émis par effet de champ
électrique- équation de Fowler-Nordhiem
⁄
Densité de courant des électrons émis par effet de la température
et du champ électrique- équation de Hantzsche
⁄
Densité de courant ionique
⁄
Densité de courant des électrons émis par effet de la température
et du champ électrique- équation de Murphy et Good
⁄
Densité de courant des électrons émis par effet de la
température-équation de Richardson-Dushman
⁄
Densité de courant des électrons émis par effet de la température
en présence d’un champ électrique-équation deRichardsonDushman avec correction de Schottky
⁄
Densité de courant total
⁄
Masse des ions positifs
Masse de l’électron
Flux d’électrons incidents par unité de surface de la cathode et
par unité de temps, dont l’énergie normale est comprise entre
Densité électronique à limite de la gaine
Concentration totale en électrons émis
Fraction électronique du courant
Température de la surface de la cathode
Température des électrons
-
Température d’inversion
Potentiel dans la zone d’ionisation
chute de tension cathodique
W
Vitesse thermique moyenne des électrons
⁄
Vitesse des électrons émis
⁄
Vitesse initiale
Potentiel électronique du métal
⁄ Energie cinétique
Energie cinétique des électrons émis
W
Travail d’extraction effectif
WF
Energie de Fermi
Energie moyenne
eV
Potentiel Nottingham
Travail de sortie du matériau
Distance critique
Distance à la surface de la cathode
Nombre moyen des ions positifs
-
Lettres Grecques
Mobilités électronique
Mobilités ionique
Longueur de Debye électronique
Libre parcours moyen des électrons
Épaisseur de la gaine anodique
Taux d’érosion ionique
Taux total de l’érosion
⁄ . ⁄ . µg⁄C
µg⁄C
Constantes
Charge de l’électron
Permittivité du vide
Constante de Boltzmann
Constante de Planck
Constante de Planck
.
1.602 10
⁄
8.84 10
⁄
1.3806 10
6.626 10 J. s
1.055 10 J. s
Sommaire
Introduction Générale……………………………………………………………
1
Chapitre I
Généralité sur l’arc électrique
I.1. Introduction……………………………………………………………………
4
I.2. Amorçage de l’arc électrique………………………………………………….
4
I.2.1. Transition continue………………………………………………………….. 4
I.2.2. Amorçage par surtension……………………………………………………. 5
I.2.3. Amorçage par contact……………………………………………………….
5
I.3. Structure générale de la région cathodique……………………………………
6
I.3.1. Zone d’ionisation……………………………………………………………. 7
I.3.2. Zone de charge d’espace…………………………………………………….
8
I.4. Répartition de la tension et des courants dans l’arc électrique………………... 10
I.4.1. Répartition du potentiel dans la colonne positive…………………………...
11
I.4.2. Répartition du potentiel au voisinage de l’anode……………………………
11
I.4.3. Répartition du potentiel au voisinage de la cathode………………………… 12
I.5. Fraction électronique du courant……………………………………………… 13
I.6. Phénomènes cathodiques……………………………………………………… 14
I.6.1. Erosion du matériau de la cathode…………………………………………..
14
I.6.2. Spot cathodique……………………………………………………………..
15
I.6.2.1. Classification des spots cathodiques………………………………………
16
I.6.2.1.1. Classification suivant le mécanisme d’émission électronique…………..
16
I.6.2.1.2. Classification suivant l’état de surface de la cathode…………………… 16
I.6.2.1.3. Classification suivant la vitesse du spot…………………………………
16
I.6.2.1.4. Classification suivant la pression du gaz plasmagène…………………... 17
I.6.3. Déplacement du spot cathodique……………………………………………
17
I.7. Densité de courant à la cathode……………………………………………….
18
I.8. Extinction de l’arc……………………………………………………………..
19
I.9. Conclusion…………………………………………………………………….. 20
Chapitre II
Mécanismes d’émission des électrons
à la cathode
II.1. Introduction…………………………………………………………………... 21
II.2. Modèle quantique de Sommerfeld……………………………………………
21
II.3. Théorie de l’émission électronique…………………………………………...
22
II.4. Procédés d’extraction………………………………………………………… 23
II.4.1. Emission thermoïonique……………………………………………………
24
II.4.2. Emission par effet de champ……………………………………………….. 25
II.4.3. Photoémission………………………………………………………………
27
II.4.4. Emission électronique secondaire………………………………………….. 27
II.4.5. Emission induite d’électron………………………………………………...
28
II.4.5.1. Emission cinétique………………………………………………………..
28
II.4.5.2. Emission potentielle……………………………………………………… 28
II.5. Conclusion……………………………………………………………………
29
Chapitre III
Calcul de la densité de courant
des électrons émis à la cathode
III.1. Introduction………………………………………………………………….
30
III.2. Emission thermoélectronique (émission T)………………………………….
30
III.3. Emission par effet de champ (émission F)…………………………………..
34
III.4. Emission TF…………………………………………………………………. 38
III.5. Influence de la présence d’ions positifs …………………………………….
49
III.6. Théorie de L’Ecton…………………………………………………………..
50
III.7. Conclusion…………………………………………………………………...
52
Chapitre IV
Effet Nottingham
IV.1. Introduction………………………………………………………………….
53
IV.2. Effet de l’émission électronique sur la température de la cathode………..
53
IV.3. Température d’inversion…………………………………………………….
57
IV.4. Conclusion…………………………………………………………………... 59
Conclusion Générale……………………………………………………………... 60
Bibliographie……………………………………………………………………...
62
Introduction Générale
Introduction Générale
Le travail présenté dans ce mémoire est consacrée à l’étude des phénomènes d’émission
électronique qui ont lieu à la cathode dans une décharge d’arc électrique.
L’arc électrique occupe une place toute particulière en raison du nombre, et de
l’importance économique de ses applications. De ce fait l’arc électrique à fait l’objet d’une
multitude de travaux aussi bien théoriques qu’expérimentaux. Bien que connu et étudié depuis
longtemps, il subsiste encore des coins d’ombre dans la physique de l’arc électrique. Cette
étude se veut être une contribution à élucider certains de ces points obscurs.
L’arc
électrique est un phénomène qui apparaît dans de nombreuses applications
industrielles, parmi lesquelles on peut citer : les dispositifs assurant l’ouverture et la fermeture
des circuits électriques notamment les interrupteurs, contacteurs et les disjoncteurs dont le
rôle est de couper le courant en cas de court-circuit ; la soudure à l’arc, ce dernier permettant
d’assurer la liaison électrique entre l’électrode et la pièce à souder en transmettant localement
son énergie thermique ; les fours à arc, ou celui-ci autorise une concentration d’énergie
localisée, une haute température et un flux gazeux très faible ; les lampes à arc, utilisant le
rayonnement de l’arc comme source de lumière ; la chimie des plasmas et notamment la
dépollution ; le décapage de surfaces polluées etc.[Va 00].
Théoriquement, la décharge d’arc peut être divisée en trois parties distinctes : la région
cathodique, la région anodique et la colonne de plasma qui les relie. C’est la colonne d’arc qui
occupe un espace important dans l’arc alors que les régions cathodique et anodique sont de
très faibles dimensions
0.1
.
L’arc électrique est une décharge électrique autonome caractérisée par une très forte
densité de courant à la cathode dépassant 1
flux
thermique
supérieures à 1
10
⁄
10
⁄
.
; cela correspond à des densités de
Cette
densité
d’énergie
provoque
l’échauffement, fusion et l’évaporation du métal de la cathode. Cela implique une érosion et
donc une limitation de la durée de vie des électrodes dans les appareils de coupure du courant
par exemple.
1 Dans un arc électrique, les électrons sont émis à partir de la surface de la cathode. Le
spot cathodique constitue le lieu d’où émergent les électrons. La densité de courant des
électrons émis représente 90 % de la densité de courant total. La part de 10% restante est
assurée par les ions positifs présents devant la cathode. Ainsi la détermination de la densité
de courant total à la cathode dans une décharge d’arc se ramène au calcul de celle des
électrons émis.
Les deux facteurs importants gouvernant l’émission des électrons dans un arc électrique
sont la température et le champ électrique qui règnent à la surface de la cathode. Le champ
électrique est crée par la charge d’espace des ions positifs devant la cathode. Cette dernière
est chauffée par les ions positifs qui lui cèdent leurs énergies cinétiques acquises par le champ
électrique le long de la zone de charges d’espace. La cathode est également chauffée par effet
Joule et peut être chauffée aussi par effet Nottingham.
Pour le calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode dans une décharge
d’arc, on trouve dans la littérature plusieurs équations qui sont basées sur les phénomènes
suivants :
-Emission des électrons par effet de la température (émission T),
-Emission par effet de champ électrique (émission F),
-Emission par effet de la température et du champ électrique (émission TF)
Dans le chapitre I, nous donnerons des notions générales sur la physique de l’arc
électrique : Définition, mode de création, les différentes zones constituant un arc électrique et
la répartition du potentiel dans chaque zone, érosion due à un arc électrique, la région
cathodique et sa subdivision en zone de charge d’espace et zone d’ionisation.
Au chapitre II, nous aborderons la théorie de l’émission électronique à partir d’une
surface métallique dans diverses conditions et nous allons voir les différentes équations
utilisées pour la détermination de la densité de courant des électrons émis. Nous exposerons
les différentes démarches qui ont servis à établir ces équations à savoir : la distribution de
Fermi-Dirac des électrons, la théorie de Sommerfeld, la forme de la barrière de potentiel vue
par un électron, la réduction du travail de sortie d’un métal en présence d’un champ électrique
élevé, etc.
2 Le chapitre III est consacrée à l’étude des différents types d’émission électronique à
partir de la cathode dans arc électrique : émission des électrons par effet de la température,
émission par effet de champ et émission par effet combiné de la température et du champ
électrique. Nous examinerons les différentes méthodes de calcul de la densité de courant des
électrons émis à la cathode. Les effets de la température, du champ électrique et de la valeur
du travail de sorti du métal seront analysés.
Le dernier chapitre est consacré à l’étude de l’effet Nottingham qui joue un rôle
important dans le bilan énergétique à la cathode. C’est la différence entre l’énergie moyenne
des électrons émis et l’énergie moyenne des électrons remplacement. Nous déterminerons le
potentiel Nottingham ainsi que la température d’inversion qui représente la valeur de la
température en dessous de laquelle la surface de la, cathode est chauffée alors qu’elle se
refroidit dans le cas contraire.
L’étude est terminée par une conclusion générale et une démarche à suivre dans le futur pour
l’évaluation de la densité de courant à la cathode dans un arc électrique avec plus de
précision.
3 Chapitre I
Généralité sur l’arc
électrique
Chapitre I
Généralité sur l’arc électrique
I.1. Introduction
Lorsque, au cours de l’année 1813, le physicien anglais Humphrey Davy fit fonctionner le
premier arc électrique artificiel (par opposition à l’éclair de la foudre), il venait d’ouvrir la
porte à un immense champ d’applications. Dans la physique des milieux ionisés, l’arc
électrique occupe une grande place, en raison du nombre, et de l’importance de ces
applications. Les ingénieurs ont rapidement compris le parti qu’ils pouvaient tirer d’un
phénomène capable de transformer l’énergie électrique en énergie thermique ou lumineuse
intense. L’arc électrique est une décharge électrique à très forte densité de courant et à faible
chute de tension [Va 00].
I.2. Amorçage de l’arc électrique
Généralement l’amorçage de l’arc électrique peut être réalisé par trois les mécanismes
suivants :
I.2.1. Transition continue
Puisque l’arc est défini comme étant une décharge à fort courant, il est possible de créer
un arc entre deux électrodes en amorçant une décharge à courant faible et en le faisant croître
progressivement. La figure (I.1) [Va 00] montre la caractéristique courant-tension des
décharges électriques, depuis les décharges non autonomes jusqu’à l’arc électrique. Sur cette
figure est également représenté le principe du montage permettant de tracer cette courbe partie
par partie. En A, le régime est celui de la décharge luminescente. La cathode est totalement
recouverte par le plasma de décharge et les électrons sont émis par l’émission secondaire due
au bombardement des ions positifs [Va 00]. Si l’on augmente l’intensité I du courant à partir
du générateur, la cathode ne pourra pas répondre à cet accroissement que par une
augmentation de la tension. Le champ électrique augmente donc au voisinage de la cathode et
l’épaisseur de la gaine cathodique diminue. Les ions perdent alors moins d’énergie par
collisions et en fournissent d’avantage à la cathode dont la température s’élève. Les électrons
qui étaient émis jusqu’ici sous l’effet du bombardement ionique (deuxième coefficient de
Townsend) commencent à être émis par effet thermoélectrique et de champ électrique. Cet
effet augmente avec l’accroissement du courant. En B, c’est ce dernier type d’émission
électronique qui est prépondérant.
4 Chapitre I
Généralité sur l’arc électrique
La densité de courant au niveau de la cathode devient très forte puisque la décharge se
concentre sur une surface de très petite dimension appelée spot cathodique. Au-delà du point
B, la tension entre les électrodes diminue et une tension de plus en plus faible est suffisante
pour maintenir l’arc [Ju 95, Ju 01, Va 00].
Figure (I.1) : Caractéristique tension-courant d’une décharge électrique.
I.2.2. Amorçage par surtension
Lorsqu’une tension très élevée (dépassant la tension de claquage de l’espace interélectrodes) est appliquée entre deux électrodes, la présence d’un électron germe conduit à une
multiplication des charges par des collisions ionisantes. Une décharge électrique se forme très
rapidement entre les électrodes et dégénère en arc de façon irréversible si la source
d’alimentation ne limite pas le courant [Me 07].
I.2.3. Amorçage par contact
Si l’on sépare deux contacts initialement parcourus par un courant, la conduction est
maintenue par une décharge électrique qui s’amorce dans l’espace inter-électrode (Figure I.2).
5 Chappitre I
Généraliité sur l’arcc électrique
Cet amorçage
a
e vue danss les disjonncteurs et lees contacteuurs au mom
est
ment de l’ou
uverture duu
circuuit [Va 00].
a : Le
L courant passe
p
par unee petite surfaace [Pe 73]
b : Vue agrrandie d’un contact électtrique
Figure (I.2)
(I : Amorççage par contact
Lorsque deux éllectrodes soont mises enn contact, elles ne prennnent pas apppui sur la to
otalité des
l aspéritéss et irrégulaarités de la surface
s
consstituent les zones
z
surfaaces en regaard. Seules les
d’apppui Figure (I.2.b).
Les lignes de courant se concentrennt ainsi en un très petit nombree de contacts jusqu’àà
verture. Par ailleurs, le circuit dan
ns lequel estt
atteinndre une suurface uniquue au momeent de l’ouv
insérré ce contacct présente tooujours unee certaine in
nductance quui va provoquer une su
urtension auu
mom
ment de la sééparation dees électrodes [Va 00].
I.3. Structure
S
g
générale
dee la région cathodique
c
e
La réégion cathoddique est elle-même suubdivisée en
n trois régioons :
- l’innterface cathhode-plasmaa : spot cathhodique,
- la zone
z
de charrge d’espace,
- la zone
z
d’ionissation.
6
6 Chapitre I
Généralité sur l’arc électrique
La figure (I.3) donne une représentation simplifiée des différentes zones de la région
cathodique.
Figure (I.3) : Les différentes zones de la région cathodique
j
, j et j sont respectivement la densité de courant des électrons émis à la cathode, la
densité de courant des électrons rétrodiffusés et la densité de courant des ions positifs.
I.3.1. Zone d’ionisation
A partir de la colonne d’arc et en se rapprochant de la surface de la cathode, nous
trouvons une zone dite d’ionisation dans laquelle il n’y a pas équilibre thermodynamique,
c'est-à-dire que la température des particules lourdes (ions et neutres) est différente de la
température des électrons. Les atomes de gaz neutre ainsi que les atomes de vapeur métallique
en provenance de la cathode y sont excités essentiellement au cours des collisions qui se
produisent avec les électrons. Ces collisions peuvent non seulement exciter les atomes du gaz
de couverture, mais elles peuvent aussi causer l’ionisation de ces particules. Partant de cette
zone un flux d’ions et un flux d’électrons rétrodiffusée du plasma se dirigent vers la cathode
et entrent dans la seconde zone considérée (la plus proche de la cathode) appelée zone de
charge d’espace.
L’épaisseur de la zone d’ionisation est :
- de l’ordre de 7
10
pour Rethfeld [Ret 96],
- de 0.1 à 0.5 μm pour Hantzsche [Ha 95].
Le chute de potentiel dans la zone d’ionisation
est faible devant celle dans la zone de
charge d’espace et peut être déterminée par [Vas 97] la relation
.
.
.
.
7 Chapitre I
Avec ,
Généralité sur l’arc électrique
,
désignant respectivement le nombre moyen de charge des ions positifs la
constante de Boltzmann, la température électronique et la charge élémentaire.
La zone d’ionisation a été bien décrite par différents modèle, notamment celui de Hsu [Hs
83], Delalondre [Del 90], Zhou [Zh 94] et Benilov [Ben 95, Ben 98]. On note que dans
plusieurs modèles, la zone d’ionisation est considérée comme une « boite noire » simplement
caractérisée par le nombre de charge des ions et un coefficient indiquant l’état d’ionisation et
le coefficient de retour des ions positifs en direction de la cathode.
La colonne d’arc est supposée être en équilibre thermodynamique locale, c'est-à-dire, que les
températures des différentes particules présentes sont identiques [Va 00, He 95, Ka 95]. En
effet, dans cette zone, vu que les densités de particules, les températures et le degré
d’ionisation sont élevés, les collisions entre particules sont suffisamment fréquentes pour
uniformiser leurs températures.
I.3.2. Zone de charge d’espace
La zone de charge d’espace se trouve immédiatement devant la surface cathodique. Le
champ électrique rencontré est suffisamment fort pour violer le quasi neutralité électrique. Le
champ électrique, qui joue un rôle important dans l’émission d’électrons dans une décharge
de type arc électrique, est créé essentiellement par les ions positifs. L’étendue cette zone n’est
pas très bien définie. Certains auteurs [Te 94, Ka 95] considèrent que cette zone s’étend sur
un libre parcours moyen d’ionisation électronique ou d’échange du moment cinétique ;
d’autres sur une longueur de Debye. Mais on admet tout de même que son épaisseur est
tellement faible que l’hypothèse de l’absence de collisions entre les particules dans cette zone
est raisonnable.
Par ailleurs, il semble intéressant de décomposer cette zone en deux parties :
- La première partie s’étendant sur quelques angströms devant la cathode, est le siège d’une
très forte interaction entre les ions les neutres excités et la surface de la cathode. Dans cette
zone, l’influence des ions sur le départ des électrons de la surface peut être importante, et les
ions y seront neutralisés selon divers processus qui seront détaillées plus loin. Nous
appellerons « zone 1 » cette région.
- Dans la seconde partie de la zone de charge d’espace, les électrons ne sont pas suffisamment
énergétiques pour pouvoir ioniser les particules neutres présentes en très grand nombre.
Cependant, les neutres excités peuvent être ionisés sous l’effet du champ électrique. Malgré
8 Chapitre I
Généralité sur l’arc électrique
cela, nous considérerons en première approximation que les flux électronique et ioniques se
conservent séparément. Cette région sera appelée « zone 2 ».
L’épaisseur de la zone de charge d’espace n’est pas connue avec une grande précision.
Cependant et à titre d’exemple nous donnons ci-après quelques ordres de grandeurs donnés
par quelques auteurs :
- Kubono [Ku 81] trouve que l’épaisseur de la zone cathode est de 10
à 10
10
et est donc inférieure ou égale au 1⁄1000 du rayon du spot cathodique. Dans ces conditions
un modèle 1 est justifie pour le calcul du champ et des différents densités de courant. A titre
d’exemple, pour un courant de 10
gaine cathodique est de 11.5
10
et une chute cathodique
20 . L’épaisseur de la
et diminue légèrement quand le courant augmente.
- Klein [Kl 81] considère également que l’épaisseur de la zone de charge d’espace est de
quelques longueurs de Debye et puisque cette dernière est très inférieure au rayon du spot
cathodique alors, un modèle 1 pour cette zone est justifié.
- Zhou [Zh 94] trouve que l’épaisseur de la zone de charge d’espace est égale à 33 fois la
longueur de Debye pour une cathode en tungstène de 6
l’argon à 200
de diamètre fonctionnant dans
.
- Hantzsche [Ha 95] prend une valeur comprise entre 0.05
0.01
pour l’épaisseur de
la zone de charge d’espace et pense que cette dernière est de quelques longueurs de Debye.
-Rethfeld [Re 96] obtient, pour une troche fonctionnant sous argon à la pression
atmosphérique, une épaisseur de la zone de charge d’espace de l’ordre de la longueur de
Debye
1.5
10
.
- Coulombe [Co 97] considère que la zone de charge d’espace est de quelques longueurs de
Debye. Dans cette zone, les ions sont librement accélérés vers la cathode puisque la longueur
de Debye est supposée être inférieure au libre parcours moyen des ions positifs et des
électrons. L’épaisseur de la zone de charge d’espace se situe entre 1
10
1
10
.
L’étude détaillée de la zone de charge d’espace est cruciale pour l’estimation des flux
d’énergie et de particules au niveau de la surface de la cathode car ceux-ci gouvernent à la
fois, les mécanismes d’émission d’électrons et de vapeurs « érosion » et les caractéristiques
de la colonne par le biais de son approvisionnement en vapeur métallique.
9 Chapitre I
Généralité sur l’arc électrique
Il est couramment admit que la chute cathodique se produit à 90 % dans cette zone et que le
champ électrique associé crée dans cette zone, prend des valeurs supérieures à 1
10
/
[Va 00, Te 94, He 95, Ha 95].
I.4. Répartition de la tension et des courants dans l’arc électrique
La figure (I.4) donne la représentation schématique de la distribution des potentiels et des
courants entre les électrodes. Ce champ est faible, Pour un arc de disjoncteur, fonctionnant à
20
dans du SF6 sous une pression de 3
supérieur à 3
10
10
, le champ dans la colonne peut être
/ . La décharge d’arc peut être divisée en cinq régions [Va 00].
1- Gaine cathodique ou (zone de charge d’espace ionique)
2- Zone de transition cathodique
3- Colonne positive
4- Zone de transition anodique
5- Gaine anodique ou (zone de charge d’espace électronique)
La figure (I.4.b) représente la variation du potentiel entre les électrodes en partant de la gaine
cathodique jusqu’à la gaine anodique.
Les courants entre les électrodes sont représentés sur la figure (I.4.c). Dans la pratique, on
raisonne sur la densité de courant . Dans la gaine cathodique, la densité totale de courant est
la somme de la contribution, d’une part, des ions et, d’autre part, des électrons. Le rapport
(
) dépend de la nature de l’émission cathodique, et qu’il est très difficile à
déterminer avec précision.
Dans la colonne, le rapport des densités de courant est égal au rapport des mobilités des
porteurs de charge.
Dans la gaine anodique, le courant ionique est pratiquement nul, et le courant électronique est
toujours considéré comme étant égal au courant total [Kh 03, Va 00].
10 Chapitre I
Généralité sur l’arc électrique
Figure (I.4) : Distribution des potentiels et des courants entre les électrodes
I.4.1. Répartition du potentiel dans la colonne positive
Dans la colonne positive (zone3), le potentiel croit de façon linaire entre la cathode et
l’anode. Les particules chargées sont soumises à un champ électrique longitudinal
sensiblement constant.
I.4.2. Répartition du potentiel au voisinage de l’anode
L’interprétation physique des phénomènes à l’intérieur de la région anodique, a
conduit à la subdiviser en plusieurs zones (figure I.4) dont les dimensions sont trop faibles.
Prés de l’anode, se trouve la zone de charge d’espace électronique (gaine anodique). Cette
zone est elle-même divisée en deux zones (figure. I.5) [Va 00].
•
Une zone de faible épaisseur
, sur l’anode (
étant égale à la longueur de Debye)
qui représente le potentiel de l’anode, c’est la gaine anodique.
•
Une zone dite de chute libre, ou les électrons ne subissent pas de collisions, son
épaisseur est de l’ordre du libre parcours moyen des électrons
.
Entre la zone de charge d’espace et la colonne positive se trouve une zone de plus grande
épaisseur appelée zone frontière ; son épaisseur
peut être de 2 à 3 fois l’ordre de grandeur
11 Chapitre I
Généralité sur l’arc électrique
supérieure à la zone de chute libre. Les électrons y produisent une ionisation par choc et cette
zone assure la transition entre la zone de charge d’espace et le plasma.
La chute de potentiel dans la gaine peut être déterminée par la formule suivante :
.
∆
Avec , ,
,
,
,
ln
. .
4.
.1
sont respectivement : la charge élémentaire, la densité de courant
totale à la l’anode, la température électronique, la constante de Boltzmann, la densité
électronique à limite de la gaine et la vitesse thermique moyenne des électrons [Va 00].
Figure(I.5) : Structure de la zone anodique
I.4.3. Répartition du potentiel au voisinage de la cathode
La cathode peut être considérée comme une sonde émissive portée à un potentiel
négatif par rapport au plasma. Donc on peut représenter la zone cathodique comme un espace
limité par deux plans parallèles : le plan représentant la cathode émet des électrons, et le plan
représentant la colonne positive émet des ions positifs. Les particules sont émises avec une
vitesse initiale nulle. Cette représentation de l’espace cathodique a permis à Langmuir de
proposer une formule du potentiel au voisinage de la cathode.
12 Chapitre I
Généralité sur l’arc électrique
1
2.
Avec :
, , ,
,
,
⁄
⁄
2.
⁄
.2
⁄
Sont respectivement la densité de courant ionique, la densité de
courant électronique, la chute de tension cathodique, la masse des ions, la masse de l’électron
et le potentiel à la cathode x [Va 00].
L’espace cathodique et la variation du champ électrique, ainsi que celle du potentiel au
voisinage de la cathode en fonction de la distance x sont représentés sur la figure (I.6).
Figure (I.6) : Formation de la couche double de Langmuir
I.5. Fraction électronique du courant
La connaissance de la fraction électronique du courant par rapport au courant total est
fondamentale pour l’étude théorique des phénomènes à la cathode, et elle fait l’objet d’un très
grand nombre d’estimations, des valeurs des différents auteurs différent de plusieurs ordres de
grandeurs allant de 0.01 jusqu’à 0.9 [Me 07].
13 Chapitre I
Généralité sur l’arc électrique
I.6. Phénomènes cathodiques
De tous les phénomènes physiques de la décharge d’arc, les phénomènes aux niveaux des
électrodes et tout particulièrement les phénomènes cathodiques sont les plus complexes et les
moins bien interprétés. Les dimensions caractéristiques de la tache cathodique et de la gaine,
rendent impossible toute étude expérimentale directe. La difficulté d’analyse est encore
renforcée par la considérable densité d’énergie de ce milieu de très faible volume, dont le
rayonnement intense interdit une étude spectroscopique fine. Cela explique le foisonnement
des théories proposées [Va 00, Me 07].
I.6.1. Érosion du matériau de la cathode
Dans un arc électrique, la densité de courant est très élevée au niveau du spot et donc
une densité d’énergie très élevée est mise en jeu sur la surface métallique supportant le spot.
Suite à la fusion suivie de l’évaporation du métal de l’électrode, une érosion va se manifester
et provoque dans beaucoup d’applications, une limitation de la durée de vie des électrodes
(Appareils de coupure du courant, lampes à arc, fours à arc, torches à plasma et c.).
Un grand nombre d’études ont été effectuées sur les matériaux de contact pour diminué
l’érosion à la cathode. Parmi les matériaux les plus utilisés on cite l’argent, le cuivre, le
tungstène thorie et l’argent associé aux oxydes tels que l’oxyde de cadmium (AgCdO)
l’oxyde de zinc (AgZnO), et l’oxyde d’étain (AgSnO2).
La vitesse d’érosion du métal de la cathode dépend de plusieurs paramètres : le courant d’arc,
la durée d’arc, la température de la cathode, le type de métal de la cathode, l’existence ou non
d’un champ magnétique etc. [Me 07].
Les cratères individuels sont aussi observables dans des décharges de longue durée. On
constate alors que leur diamètre change peu avec le temps pour
mêmes cratères pour des décharges d’une durée de
100
10
. On observe les
que pour des arcs en courant
continu [Ju 79], ce qui montre que la dynamique des spots est la même. Le flux issu des
cratères est constitué d’ion, de gouttelettes, et de vapeur neutre. Pour estimer la valeur de
l’érosion, on ne peut pas assimiler les cratères à des hémisphères en raison de leur faible
profondeur (puisqu’ils sont formés par plusieurs sites émissifs), mais on peut peser les
couches formées sur des cibles disposées autour des électrodes. Les résultats obtenus sont les
suivants [Ki 73] :
•
Pour des courants
1
, la masse enregistrée est proportionnelle au courant et au
temps, c’est-à-dire à la charge écoulée. Ainsi, on peut définir au taux d’érosion Γ en
unité de masse par unité de charge.
14 Chapitre I
•
Généralité sur l’arc électrique
Le taux d’érosion Γ présente un minimum correspondant à la perte due aux ions. Les
gouttelettes y ajoutent une quantité très variable qui augmente rapidement quand la
température de la surface s’élève [Da 78].
•
Le taux d’érosion dépend du matériau.
Le tableau (I.1) donne quelques valeurs du taux total de l’érosion Γ et taux Γ du aux ions
exprimé en µg⁄C obtenues par Daalder et Kimblin [Da 78, Ki 73].
[Kimblin 73]
[Daalder 78]
Γ µg⁄C
Γ µg⁄C
Cd
655
117
Zn
215
68
Ag
150
78
Matériau
Al
19
Cu
115
39
Cr
40
22-27
Ni
-
44
Fe
73
-
Ti
52
-
Mo
47
50
Ta
-
65
W
62
64
Tableau (I.1): Taux total de l’érosion
et taux
du aux ions en
⁄
.
Avec des surfaces polluées, il se peut qu’il n’existe que des microsites d’un diamètre inferieur
à1
. Dans ce cas, le taux d’érosion diminue jusqu’aux valeurs
1 µg⁄C [Va 00].
I.6.2. Spot cathodique
Le spot cathodique est la zone d’accrochage de la colonne d’arc à la cathode est constitué
par deux régions très différentes sur le plan physique : il s’agit d’une part du site émissif à la
surface métallique, émetteur de particules neutre et chargées sous l’action d’un champ
électrique et de la température, et d’autre part, du plasma de l’électrode, moteur de l’émission
qui assure la création du champ électrique dans la gaine cathodique et le chauffage de la
cathode, processus indispensables à la décharge de type arc [Me 07].
15 Chapitre I
Généralité sur l’arc électrique
I.6.2.1. Classification des spots cathodiques
I.6.2.1.1. Classification suivant le mécanisme d’émission électronique
Dans la physique du spot cathodique, on distingue entre spot à effet de champ (arc à
effet de champ) et spot thermoélectronique (arc thermoélectronique) sur la base du
phénomène d’émission d’électrons à la cathode le plus prépondérant :
- spot à cathode froide (émission par effet de champ)
- spot à cathode chaude (émission thermoélectronique)
On distingue ainsi, dans la littérature suivant le matériau de la cathode, entre métal à bas point
de fusion et celui à pont de fusion élevé. Mais certains auteurs associent différents types de
spots au même métal [La 80, Ju 95].
I.6.2.1.2. Classification suivant l’état de surface de la cathode
Cette classification a été motivée par l’observation de comportements différents du
spot ainsi que les écarts dans les différents paramètres (tension d’arc, taux d’érosion de la
cathode, vitesse du spot, etc.). On distingue :
Spot de type 1 : cathode « contaminée ».
Spot de type 2 : cathode « propre » [Me 07].
I.6.2.1.3. Classification suivant la vitesse du spot
Une autre classification basée sur la vitesse du spot a été adoptée par certains auteurs.
En effet, Rakhovsky [Ra 76] et Lyubinov [Ly 78] ont remarqué qu’à fort courant
la vitesse du spot diminue de la valeur de 10
⁄ à moins de 1
1
⁄ lorsque le courant
augmente. D’après ces auteurs, ce phénomène est du surtout au regroupement de plusieurs
spots en un spot unique. Ainsi,
- le spot de type1 concerne un spot rapide ou plusieurs sous-spots sont séparés les uns des
autres et sont très mobiles et,
- le spot de type 2 concerne un spot unique après regroupement de plusieurs sous-spots.
Les causes pouvant ralentir la mobilité du spot sont diverses et peuvent être par exemple la
géométrie des électrodes, le chauffage de la cathode et la présence d’un champ magnétique
appliqué, etc. [Ju 95, Ju 01].
16 Chapitre I
Généralité sur l’arc électrique
I.6.2.1.4. Classification suivant la pression du gaz plasmagène
On distingue :
- le spot dans le vide : l’arc est créé dans un milieu initialement sous vide mais en réalité il
brule dans la vapeur métallique des électrodes,
- le spot à haut pression ; l’arc brule dans un gaz à haut pression [Me 07].
I.6.3. Déplacement du spot cathodique
La présence du spot cathodique provoque une érosion du métal par évaporation ou
projection qui conduit à une modification permanente de l’état de surface de la cathode. La
vitesse d’érosion est liée aux propriétés physiques du matériau et dépend du potentiel
d’ionisation et de la température de fusion. Un modèle de déplacement a été proposé par
Guile et Juttner pour schématiser les différentes phases conduisant à l’éjection de métal
(Figure I.7). A l’instant initial, la présence d’une seule micro pointe provoque une
augmentation du champ électrique, ceci combiné avec la densité du courant élevée provoque
la fusion brutale de la micro-pointe (Figure I.7.a), et dans les quelques nanosecondes qui
suivant, un cratère se forme, la fusion du métal se fait de plus en plus en profondeur (Figure.
I.6.b), et le métal liquide est alors éjecté à l’extérieur sous forme de petites gouttelettes et par
évaporation (Figure. I.7.c) la solidification du métal au voisinage du cratère entraine la
formation de nouvelles micro-pointes ou un nouveau spot fera son apparition, et le cycle
recommence de nouveau (Figure I.7.d). La direction du déplacement dépend de la force
magnétique extérieure et la pression ambiante. En l’absence de champ magnétique, le spot
cathodique se déplace de façon aléatoire sur la surface de la cathode.
En présence d’un champ magnétique externe le spot peut se déplacer intrinsèquement dans la
direction directe de la force magnétique appliquée ou pour certaines conditions dans le sens
inverse de celui de la force de Lorentz. Ce phénomène est connu sous le nom de mouvement
rétrograde.
17 Chapitre I
Généralité sur l’arc électrique
Figure (l.7) : Mécanisme de déplacement d'un spot cathodique.
I.7. Densité de courant à la cathode
Les théories conduisant aux valeurs de la densité de courant que ces dernières dépendent
de la surface de l’électrode, température, champ électrique…etc. , et de paramètres internes travail
de sortie, distribution en énergie des électrons…. En réalité, ces grandeurs évoluent avec
l’existence de la tache cathodique, c’est-à-dire qu’il est impératif de leur associer le facteur temps
[Dy 53].
Bien que théorique, montre la difficulté de définir la densité de courant (électronique ou ionique,
ou la somme des deux) pour un spot cathodique, et il montre surtout les difficultés rencontrées
pour une expérimentation dans ce domaine. Les principes de mesure, et les recommandations pour
les mettre en œuvre, sont multiples ; bien entendu, la densité moyenne de courant s’obtient par
18 Chapitre I
Généralité sur l’arc électrique
division de la valeur du courant d’arc par la surface de la tache cathodique, c’est la mesure de
cette surface qui est la plupart du temps remise en cause. Beaucoup de valeurs ont été obtenues à
l’aide des traces laissées sur le matériau par le pied d’arc ; une discussion sur l’interprétation de
ces empreintes par différents auteurs est très bien menée par Rakovski [Ra 76], à qui nous
empruntons quelques-unes des valeurs du tableau (I.2).
Métal Courant (A)
Densité de courant A⁄m
6.810
Référence
Cu
2-25
Cu
200
210
10
[Fe 63]
Cu
5-4000
310
10
[Ra 76]
Cu
5000
Cu
10000
Cu
16000
Cu
20000
510
[Gi 55]
W
2.6
7.710
[Co 48]
W
150
W
1000
W
30000
Hg
8000
[Sa 71]
1.210
10
510
810
[Os 68]
10
10
[Bas 67]
10
[Wr 52]
10
7.510
[Bas 67]
[Ec 71]
210
210
[Fro 48]
[Mi 67]
Tableau (I.2) : Valeurs mesurées de la densité de courant à la cathode.
Les remarques précédentes expliquent l’écart important 1
10 à 1
10
A⁄m
des valeurs
présentées dans ce tableau. Sur l’ensemble des publications rencontrées, la marge s’avère encore
plus importante.
I.8. Extinction de l’arc
L’annulation du champ électrique entre les électrodes conduit à l’annulation du courant,
mais pas à la disparition du plasma. La vitesse de récupération de la rigidité diélectrique dans
l’espace inter-électrode dépend de la vitesse de recombinaison électrons-ions et de la vitesse
de refroidissement du gaz. Ce dernier paramètre est lié au coefficient de conductivité
thermique du gaz, mais aussi à la présence d’une convection libre ou forcée. Le paramètre qui
décrit le mieux l’extinction d’un plasma est sa température. Notons que, s’il existe une
différence entre la température des électrons et celle des particules lourdes au moment de
l’annulation du champ électrique, le temps d’équipartition des énergies par collisions
19 Chapitre I
élastiques est de l’ordre de 10
Généralité sur l’arc électrique
, c’est-à-dire totalement négligeable devant le temps total de
recombinaison. On pourra donc, au moins pendant les premiers instants de l’extinction,
supposer que toutes les particules sont à la même température [Va 00].
I.9. Conclusion
L’arc électrique qui a pris naissance entre les contacts s’appui sur les surfaces cathodique et
anodique en deux régions très petites dimensions, appelées tache ou spot. Le spot cathodique
qui constitue la région de transfert de courant électrique du plasma de la colonne positive à la
cathode, est une zone ou la température et le champ électrique sont très élevés. Il constitue la
zone d’émission des électrons qui est à l’origine de la création et du fonctionnement d’un arc
électrique. Les électrons sont émis à partir d’un spot cathodique et pénètrent avec une vitesse
très faible dans la zone de charge d’espace où ils sont accélérés par un champ électrique
intense. Dans la zone d’ionisation, les collisions entre les collisions entre les électrons et les
particules neutres issues du matériau des électrodes sont nombreuses et provoquent leur
excitation et leur ionisation. Les ions ainsi produits et des électrons rétrodiffusés se dirigent
vers la cathode où ils sont collectés.
La densité de courant est un paramètre déterminant dans tous les modèles de l’arc électrique.
La densité de courant des électrons émis représente prés de 90 % de la densité de courant
totale ; c’est pourquoi il est nécessaire de calculer avec précision cette densité. Dans le
chapitre suivant, nous allons donner les différents mécanismes d’émission électronique à la
cathode.
20 Chapitre II
Mécanismes d’émission des
électrons à la cathode
Chapitre II
Mécanisme d’émission d’électron à la cathode
II.1. Introduction
L'émission thermoélectronique telle qu'elle est comprise aujourd'hui est une branche de
la physique qui traite des divers phénomènes liés à l'éjection d'électrons d'un corps solide
chauffé à une température suffisamment élevée. Il y a plus de deux cent ans (1725), le fait que
l'air devient conducteur au voisinage d'un corps incandescent a été découvert. En 1884, A.
Edison découvre que l'émission croît rapidement avec la température. En 1897, Joseph John
Thomson montra que les particules que les particules chargées émises par du carbone chauffé
à haute température dans le vide étaient des électrons. Les progrès réalisés ensuite par la
technique du vide ont permis, d'une part, d'éliminer un certain nombre de phénomènes
parasites tels que l'empoisonnement de l'émission par les gaz résiduels, les contaminations de
surface et, d'autre part, d'utiliser de façon reproductible et fiable l'émission thermoïonique, en
particulier dans les tubes électroniques. Les fondements théoriques sont maintenant bien
établis en ce qui concerne les métaux purs, et des progrès remarquables ont été effectués pour
les alcalino-terreux, bien que de nombreuses inconnues subsistent encore. L'effet
thermoélectronique sert à produire des faisceaux d'électrons dans un très grand nombre
d'appareils tels que les oscilloscopes ou les triodes [Gi 86].
II.2. Modèle quantique de Sommerfeld
Nous avons besoin dans notre étude de connaître le nombre d’électrons qui possèdent
une énergie W à la température T. Pour ce faire il existe deux modèles, un classique et un
quantique. Le premier est le modèle de Drude-Lorentz basé sur la statistique d’occupation des
niveaux électroniques de Maxwell-Boltzmann et le modèle quantique est le modèle de
Sommerfeld, basé sur la statistique de Fermi-Dirac.
Le second modèle physique que l’on va utiliser ici est du à Arnold Sommerfeld. D’après
ce modèle, un cristal d’un métal est assimilé à un puit de potentiel contenant un gaz dégénéré
d’électrons qui occupent dans le puit de potentiel un certain nombre d’états énergétiques [Gi
86].
Les lois de la statistique de Fermi-Dirac permettent de déterminer à une température
donnée, la distribution des électrons aux différents niveaux.
Soit
le nombre de places disponibles dans l’intervalle d’énergie compris entre
; le nombre
des électrons, qui occupent effectivement ces places à la
température absolue T, a pour expression :
21 Chapitre II
Mécanisme d’émission d’électron à la cathode
1
.1
1
KB est la constante de Boltzmann
WF est une constante que l’on appelle niveau de Fermi ; elle dépend de la température et de la
distribution des niveaux possibles.
est appelée fonction de Fermi-Dirac. Elle est représentée sur la figure (II.1) pour deux
1
valeurs de la température absolue. On vérifie immédiatement que
2 quel que soit
la température T [Ab 96].
Figure (II.1) : Statistique de Fermi-Dirac pour
D’autre part si
0,
1 pour
et
0
0 pour
0
ainsi au
zéro absolu tous les états d’énergie situés au-dessous du niveau de Fermi sont occupés, tous
les états d’énergie situés au-dessus sont vides. Le niveau de Fermi délimite donc, dans le
système, les états occupés et les états vides [Pa 00].
II.3. Théorie de l’émission électronique
On donnera tout d’abord quelques rappels sur la théorie de l’émission électronique.
L’émission spontanée d’électrons à la surface d’un métal dans le vide est empêchée par
l’existence d’un échelon d’énergie potentielle résultant des forces d’interactions entre les
22 Chapitre II
Mécanisme d’émission d’électron à la cathode
électrons qui se sont éloignés à des distances supérieures aux distances atomiques et les
charges positive restante non compensée des ions du réseau.
L’énergie cinétique maximale que les électrons de conduction peuvent posséder dans un
métal à la température de zéro absolu est égale à l’énergie de Fermi
. Pour qu’un électron
situé au niveau de Fermi puisse s’échapper de la surface, il doit recevoir une énergie
supplémentaire W
W
WF supérieure ou égale au travail de sortie du métal considéré.
A l’intérieur du métal, les électrons ont un potentiel constant puisqu’ils ne sont soumis à
aucune force. A l’extérieur du métal, un électron est soumis à une force d’attraction
au champ électrique
et une force de rétention
.
, due
par le métal, due au trou qu’il
laisse en s’arrachant au métal. Le potentiel correspondant à cette force est appelé potentiel
image. L’énergie potentielle
de l’électron dans le vide est donnée par :
II. 2
Lorsque l’électron est dans le métal
4
. 2
0 et,
. .
Lorsque l’électron quitte la surface et est à une distance
II. 3
de celle-ci.
est appelée affinité électronique ou potentiel électronique du métal et est proche du niveau
de Fermi
et reste ainsi jusqu’à la température de fusion. Pour la plupart des métaux,
l’énergie de Fermi
est voisine de 10 eV [Me 07, Bo 02, Gi 96].
II.4. Procédés d’extraction :
Pour qu’un électron soit émis dans le vide à partir d’un corps solide, il lui faut un apport
d’énergie nécessaire pour son extraction. Cette énergie peut avoir différentes origines et
l’émission peut se manifester à la surface frontière lorsque celle-ci est soumise à l’action d’un
échauffement thermique, d’un rayonnement, d’un bombardement par ions ou électrons, ou
d’un champ électrique. Ainsi, en fonction de la nature énergétique de l’excitation, une forme
d’émission prend naissance.
23 Chapitre II
Mécanisme d’émission d’électron à la cathode
II.4.1. Emission thermoïonique :
Pour pouvoir extraire un électron du matériau, une énergie au moins égale au travail de
sortie
de celui-ci est nécessaire. Porté à forte température, le solide devient ainsi le siège
d’une agitation thermique intense ou certains électrons acquièrent cette énergie suffisante
pour pouvoir s’extraire du matériau. L’émission est appelée émission thermoïnique.
L’expression de la densité de courant est alors donnée par la formule de RichardsonDushman [Bo 02, Va00].
.
.4
Avec
6 10
⁄
: Température de la surface de la cathode en (K).
e : Charge élémentaire de l’électron (C).
: Constante de Boltzmann.
: Travail de sortie du matériau en (eV).
Un champ électrique à la surface de l'émetteur thermoélectronique renforce l'émission; la
formule de Richardson reste valable, mais le travail d'extraction apparent se trouve diminué
d'une quantité ∆
.
Néanmoins, en augmentant fortement le champ à la cathode, on constate un croissement
de la densité de courant .
A une distance
, que correspond à quelques diamètre atomique, le métal de la cathode
peut être considéré comme une surface équipotentielle ; lorsqu’un électron quitte le métal, à la
distance
de la surface, il est soumis à la force de rétention.
Si on applique un champ
sur la cathode, il existe une distance critique
à laquelle
l’électron est soumis à une force nulle. A condition d’être suffisamment énergétique pour
atteindre
, l’électron peut s’échapper à l’influence de la force d’attraction de Coulomb. La
distance critique
.
se calcule à l’aide de l’équation suivante :
16
1
2 4
.5
.6
24 Chapitre II
Mécanisme d’émission d’électron à la cathode
La réduction d’énergie permettant à l’électron de franchir la barrière de potentiel, appelée
« effet Schottky », se calcule aisément :
.7
16
En tenant compte de la relation (II.6), on aboutit à une diminution ∆
de la barrière de
potentiel :
e F
4πε
∆
II. 8
Cette diminution reste toujours faible, le travail d’extraction W
W
W
devient
F
III. 9
et la densité de courant correspondante est :
J
J
π kBe m T
. exp
h
W
KBT
III. 10
désigné la densité de courant des électrons émis calculée suivant l’équation de
Richardson-Dushman avec correction de Schottky
C’est la formule de Schottky qui traduit l’effet des champs électriques élevés, au
moins 10
⁄
, sur l’émission thermoélectronique.
A température ambiante, si on augmente le champ appliqué jusqu’à des valeurs de
l’ordre de 10
⁄ , il se produit l’émission de champ. Comme la distance critique
diminue, les électrons peuvent également franchir la barrière de potentiel par « effet tunnel » ;
dans ce cas, il suffit d’appliquer des champs de l’ordre de 10
⁄
[Fo 28]. L’émission de
champ se calcule à partir de la formule de Fowler-Nordheim [Fo 28].
II.4.2. Emission par effet de champ
Le phénomène d’émission des électrons qui se manifeste à la frontière entre le solide et
le vide lorsque la surface émissive est soumise à l’action d’un champ électrique statique est
appelé émission de champ, également « émission froide ».Wood dont la motivation était la
réalisation d’une source ponctuelle de rayons X en fait la première description en 1897 [Wo
25 Chapitre II
Mécanisme d’émission d’électron à la cathode
97]. Schottky [Sc 23] expliqua le phénomène par un abaissement de la barrière mais il a fallu
attendre 1928 [Fo 28] pour que l’on puisse apporter des éléments décrivant le passage des
électrons dans le vide. Fowler et Nordheim [Fo 28] ont ainsi élaboré la théorie de l’émission
de champ par des surfaces planes en s’appuyant sur un processus propre à la mécanique
quantique [Bo 02].
L’application d’un très fort champ électrique conduit à une triangularisation de la
barrière métal-vide et l’émission spontanée ne peut alors se produire que si la largeur de cette
barrière ∆
devient suffisamment faible quelques nanomètres (voir Figure (II.2)). Les
électrons peuvent alors la traverser par effet purement quantique (effet tunnel). Les électrons
qui ont franchi la barrière ne reçoivent de l’énergie de la part du champ électrique
que
dans l’intervalle de vide émetteur-anode.
Figure (II.2) : Allure schématique de la barrière de potentiel à l’interface métal-vide.
Représente
le niveau de Fermi
Plus l’intensité
du champ électrique extérieur est élevée, plus fort est la décroissance
de la barrière de potentiel
. .
. 11
26 Chapitre II
Mécanisme d’émission d’électron à la cathode
Avec la distance
à la surface, plus étroite est la barrière de potentiel ∆ et donc plus
grande est la densité du courant d’émission
qui dépend du coefficient quantique de
transparence de la barrière. Cette densité de courant émis est régie par la loi de FowlerNordheim dans le cas des surfaces planes qui est donnée par
exp
⁄
. 12
Avec :
1.52
10
6.83
10
: Travail de sortie en (eV)
: Champ électrique en (V/m)
II.4.3. Photoémission
L’émission spontanée d’électrons dans le vide résultant de l’action d’un rayonnement
électromagnétique incident est appelée émission photoélectronique. Ce phénomènedécouvert par Hertz en 1887- est de nos jours utilisé dans de nombreux appareils
photoélectronique (cellules photoélectronique, multiplicateurs photoélectriques…). Ce type
d’émission permet par ailleurs la connaissance de la structure énergétique des solides ; dans
ce domaine, on parle alors de spectroscopie photoélectronique [Bo 02].
II.4.4. Emission électronique secondaire
L’émission d’électrons à partir d’un corps solide résultant de son bombardement par un
faisceau d’électrons primaires est appelée émission électronique secondaire. Découvert par
Austin et starke [Fr 85], ce phénomène met en jeu des électrons primaires d’énergie allant de
100 eV à 100 KeV [Bo 02]. En heurtant, la surface les électrons cèdent leur énergie dans les
collisions dont une grande partie est communiquée aux électrons voisins de la zone d’impact.
Ce phénomène étant purement surfacique, une partie des électrons sont extraits du matériau
donnant ainsi naissance à une émission dite secondaire. Le taux de rendement de cette
émission dépend principalement des propriétés du matériau, de l’énergie des électrons
incidents et de l’angle d’incidence. Un bombardement ionique peut également être à l’origine
27 Chapitre II
Mécanisme d’émission d’électron à la cathode
d’une émission électronique secondaire mais se révèle plus ou moins efficace car les ions mis
en jeu sont plus lourds que les électrons [Bo 02].
II.4.5 Emission induite d’électrons
Les électrons peuvent également être émis à partir d’une surface métallique à la suite de
collisions de particules lourdes telles que les ions positifs et les atomes ou molécules neutres.
Ce type d’émission électronique est appelé émission induite. Pour le plasma d’arc, les ions
positifs et les neutres ont des énergies ne dépassant pas 30
[Tes 94].
Ce genre d’émission fait intervenir deux mécanismes généralement présents
simultanément : l’émission cinétique et l’émission potentielle
II.4.5.1 Emission cinétique
Cette émission est causée par un transfert d’énergie cinétique de la particule projectile
à la surface, ce qui peut conduire à l’éjection des électrons.
Dans ce type d’émission, la vitesse et la masse de la particule incidente sont des paramètres
prépondérants. Dans la gamme des énergies
30
[Te 94].
II.4.5.2 Emission potentielle
Dans ce cas les facteurs importants sont le nombre de charge de la particule incidente,
l’état d’énergie potentielle (vibratoire et rotationnelle) dans lequel se trouve la particule
incidente sur la surface. L’émission potentielle est causée par des processus de neutralisation
et de désexcitation qui prennent place au voisinage immédiat de la surface de la cathode. Le
rendement de ce processus est le rapport entre le flux d’électrons émis et le flux de particules
incidentes. Plusieurs études sur ce rendement ont été réalisées mais sans l’existence d’un
champ électrique appliqué à la surface du matériau cible. On doit noter que l’existence du
champ électrique au voisinage de la cathode dans un arc électrique peut changer
considérablement la valeur de ce rendement [Te 94].
Holmes [Ho 74] considère le mécanisme
et le processus d’émission électronique
par les neutres excités. Il conclut que ce dernier processus est important pour le cas d’une
cathode en mercure contribue pour 30% à l’émission électronique (pour une cathode en
mercure) mais son importance est négligeable pour une cathode en cuivre. Ce processus a été
critique par Lee [Lee 58], Ecker [Ec 61] et Bauer [Bau 64]. En définitif, dans la gamme des
28 Chapitre II
Mécanisme d’émission d’électron à la cathode
énergies des ions et des neutres, habituellement obtenues dans une décharge d’arc, l’émission
induite d’électrons peut être négligée
II.5. Conclusion
Nous avons aperçu dans ce chapitre un rappel théorique sur les différents mécanismes
d’émission des électrons à la cathode et les formules physique de la densité de courant de
Richardson-Dushman avec correction de Schottky et de Fowler-Nordheim.
Dans le chapitre suivant, nous allons traiter en détail les différents mécanismes d’émission des
électrons à la cathode sous l’effet de la température et (ou) du champ électrique régnant à la
surface de la cathode.
29 Chapitre III
Calcul de la densité de
courant des électrons émis
à la cathode
Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode III.1. Introduction
Dans ce chapitre, nous allons étudier les mécanismes d’émission d’électron à partir de la
cathode et les différentes équations utilisées pour le calcul de la densité de courant des
électrons émis et l’étude. Cette étude est ensuite complétée par une comparaison entre les
résultats obtenus par ces différentes équations.
Dans un arc électrique, les électrons sont émis à partir de la surface de la cathode. Donc
l’émission électronique est l’élément indispensable à la continuité du courant. Selon les
domaines de variation du champ électrique au voisinage du spot et de la température surfacique,
l’émission est soit thermoïonique, soit à effet de champ ou plus généralement thermoélectrique à
effet de champ. Les processus d’émission sont pour la plupart dépendants de l’état de surface
(température, géométrie et nature du matériau) [Ro 01].
III.2. Emission thermoélectronique (émission T)
Pour qu’un électron puisse quitter le métal, il doit posséder une énergie suffisante pour
franchir la barrière de potentiel à la surface, formée par l’énergie des électrons antérieurement
émis et/ou par un champ électrique extérieur, y compris celui crée par les ions de la charge
d’espace présente devant la cathode. La valeur critique de l’énergie qui permet aux électrons
de quitter la surface métallique varie avec la forme de la barrière [Me 07].
Si un corps métallique se trouve dans un champ électrique nul ou très faible, l’émission
électronique est dominée surtout par la température. Seuls les électrons possédant une énergie
cinétique suffisante peuvent franchir la barrière de potentiel. Ce type d’émission est
caractéristique des arcs dont la cathode est constituée de matériaux à point de fusion élevé
(graphite, tungstène). Les électrons qui sortent du métal correspondent à une densité de
courant dont l’expression est donnée par la formule de Richardson-Dushman [Va 00].
J
J
D
D
π kB e m T
. exp
h
W
KBT
désigné la densité de courant des électrons émis en
III. 1
⁄
, k B , h, e, m , T, et
sont
respectivement la constante de Boltzmann, la constante de Planck, la charge d’électron, la
masse d’électron, la température à la surface de la cathode et travail de sortie du métal de la
cathode.
30 Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode Sur la figure (III.1) on a représenté la variation de la densité de courant J
D
(en
coordonnées logarithmiques) en fonction de la température de la cathode suivant la formule
de Richardson-Dushman pour plusieurs valeurs de travail de sortie. La dépendance
exponentielle de cette loi avec la température et le travail de sortie. On remarque que plus
petit est le travail de sortie du métal, plus grand est la densité de courant des électrons émis.
Pour une émission optimale le choix d’un métal à faible travail de sortie et à forte température
Log10 (J
D
A⁄m
de fusion.
T K
Figure (III.1): Densité de courant JRD en fonction de T.
Si on applique un champ électrique F perpendiculaire à la surface émissive, la forme de
la barrière de potentiel est modifiée. La formule de Richardson reste valable, mais le travail
d'extraction apparent se trouve diminué d’une quantité ∆W donnée par :
F
∆W
III. 2
Cette diminution reste toujours faible, Le travail d’extraction W
W
W
F
devient :
III. 3
31 Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode En remplaçant (III.3) dans la formule (III.1) on obtient une augmentation du courant
d’émission (car W diminue) avec le champ électrique, c’est l’effet Schottky, qui permet
d’augmenter les valeurs de la de courant, et de se rapprocher des valeurs expérimentales [Bo
02].
J
π kBe m T
. exp
h
W
KBT
III. 4
La figure (III.2) montre la variation de la densité de courant en fonction de la
température en présence d’un champ électrique (équation de Richardson-Dushman avec
correction de Schottky), et ce pour W
4 eV et W
4.5 eV. On remarque que la densité de
courant augmente de façon exponentielle en fonction du champ électrique et de façon
logarithmique en fonction température.
32 Log10 (J
A⁄m
Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode T K Log10 (F V⁄m Log10 (J
A⁄m
4
T K Log10 (F V⁄m 4.5
Figure (III.2): Densité de courant des électrons émis en fonction de T et F (équation de
Richardson-Dushman avec correction de Schottky).
33 Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode III.3. Emission par effet de champ (émission F)
On rappelle tout d’abord le mécanisme de l’émission de champ et le déroulement du
calcul qui permet d’aboutir à l’expression de la densité de courant émise par un matériau en
fonction du champ électrique appliqué à sa surface. Cette théorie de l’émission de champ, qui
s’appuie sur le modèle de l’électron libre proposé par Sommerfeld, a été initiée par le travail
de Fowler et Nordheim à la fin des années 1920 et porte d’ailleurs le nom de théorie de
Fowler-Nordheim. La théorie a largement évolué depuis et notamment avec les travaux de
Murphy et Good [Mu 56] (transition entre émission thermoïonique et émission de champ) [Mi
06]. Ne peut donner ici le détail de tous les développements historiques de la théorie mais
uniquement la méthode générale de calcul et la formule largement utilisée pour décrire
l’émission de champ dans un contexte plus technologique [Mi 06].
Lorsqu’un champ électrique élevé
1
10
⁄
est appliqué, la barrière de potentiel
vue par les électrons se déforme et la théorie quantique autorise le franchissement de cette
barrière. Cela se traduit par une certaine probabilité de présence des électrons dans des
régions classiquement interdites. Ce phénomène est appelé effet tunnel et l’émission
électronique est appelée dans ce cas, émission par effet de champ. Plus le champ électrique à
la surface du métal est élevé, plus la barrière de potentiel est étroite (de l’ordre de 2-3 nm) et
donc plus la densité de courant des électrons émis par effet de champ est grande. Ainsi, une
surface métallique propre soumise à un champ électrique supérieur à 1
10
⁄
émet des
électrons même si la température de cette surface est faible et, c’est pour cette raison que cette
émission électronique est dite émission froide [Me 07].
Ce type d’émission à lieu pour tous les matériaux, et en particulier les matériaux dits non
réfractaires, ou à bas point de fusion, comme le cuivre ou l’argent [Gu 96].
Pour calculer la densité de courant extrait en fonction du champ électrique appliqué,
Fowler et Nordheim se sont basés sur le modèle de Sommerfeld, qui considère les électrons du
métal comme un gaz de particules libres obéissant à la statique de Fermi-Dirac. Ce modèle
permet de calculer le flux
ayant une énergie comprise entre
,
d’électrons dans la direction
et
perpendiculaire à la surface et
.
désigné par fonction d’alimentation est donné par :
,
1
2
1
.5
34 Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode ,
ln 1
2
.6
Pour de faibles valeurs de la température
,
.7
2
S’appuyant sur le développement de la théorie quantique, Fowler et Nordheim ont ensuite
,
calculé la probabilité
,
la barrière.
de passage par effet tunnel d’un électron d’énergie
à travers
est désigné comme le coefficient de transmission et son calcul peut
notamment se faire de façon simplifiée en utilisant l’approximation WKB (Wentzel-KramersBrillouin) [Bo 02] :
,
2
2
.8
étant l’énergie potentielle de l’électron et
normale à la barrière de largeur e t
son énergie cinétique dans la direction
la constante de Planck.
.
La barrière ayant une forme triangulaire
. .
.9
Cette expression s’écrit :
⁄
4 2
3
,
. 10
La densité de courant est alors obtenue en intégrant à l’ensemble des énergies possibles, le
produit du coefficient de transmission
,
,
,
,
par la fonction d’alimentation
:
. 11
35 Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode En général, la borne inférieure d’intégration est loin en dessus du niveau de Fermi
∞ [Bo 02]. L’intégration de l’équation
bien qu’elle peut être prise égale à
, si
. 11 vaut
alors :
4 2
3
16
⁄
étant le champ électrique
la densité de courant
⁄
,
⁄
. 12
,
le travail de sortie en
la constante de Planck,
.
En remplaçant les différentes constantes par leurs valeurs numériques appropriées, on
obtient :
1.54
10
6.81
⁄
10
. 13
La figure (III.3) montre la variation de la densité de courant en fonction du champ
électrique à la surface de la cathode pour plusieurs valeurs du travail de sortie, en utilisant
l’équation (III.13). Cette figure montre que la densité de courant augmente de façon
exponentielle dés que le champ électrique dépasse 1
⁄
10
critique dépend du travail de sortie. Alors le travail de sortie
. Cette valeur de champ
, fortement tributaire des
propriétés de la surface des émetteurs, est un des facteurs les plus influents sur l’émission.
Dans un arc électrique, l’émission par effet de champ est caractéristique des matériaux à bas
point de fusion. Dans ce type d’émission, la densité de courant peut dépasser de plusieurs
ordres de grandeur celle de l’émission T et peut même, dans bien des cas, dépasser
10
A⁄m .
Certains auteurs [Dy 53, Ba 53] se sont intéressés au domaine de validité de la loi de
Fowler-Nordheim lorsque la densité de courant devient très importante. Ainsi, Dyke et Trolan
[Dy 53] ont montré que les points expérimentaux s’écartaient de la représentation linéaire de
Fowler-Nordheim pour une densité de courant proche de 1
à un champ de 6.5
10
⁄
pour un travail de sortie
10
4.5
⁄
, ce qui correspond
[Bo 02].
36 Log10 (
⁄
Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode Log10 (F V⁄m
Figure (III.3): Densité de courant JFN en fonction de F
L’influence de la température n’est pas prise en compte dans la formulation de FowlerNordheim et, elle a cependant pour effet de modifier la distribution de Fermi-Dirac des
électrons ou les états d’énergie supérieurs au niveau de Fermi ont une probabilité non nulle
d’être occupés. Les électrons qui s’y trouvent peuvent ‘tunneller’ au travers de la barrière de
potentiel de hauteur et d’épaisseur moindres. A température élevée (au-delà de 1500 K) et
pour de faibles champs électriques, ils contribuent alors majoritairement au flux d’électrons
incidents : l’émission est alors thermoïonique (TF). La température a pour effet de pondérer
la densité de courant à 0 K telle que [Bo 02] :
J F, T
π kBT
α
J F, 0
π kBT
sin
α
III. 14
est exprimé en eV. Pour une gamme de champs électriques variant de
2
10
⁄
à6
10
⁄
et pour une température de 300 , le terme
de
l’équation (III.14) varie respectivement de 1.15 à 1.02. Cette faible variation justifie
l’absence de la prise en compte de la température dans l’expression de Fowler-Nordheim
(III.12).
37 Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode II.4. Émission TF
Le problème majeur de l’interprétation mathématique des mécanismes d’émission est
qu’elle nécessite la connaissance a priori du mode d’émission. Les domaines de validité des
mécanismes d’émission thermoïonique ou à effet de champ présentés ci-dessus étant réduits,
une combinaison de ces deux émission offre un plus large domaine. Ces types de mécanismes
tout comme leur combinaison, s’adaptent mal pour des densités de courant de valeurs
appartenant au domaine 10
10
⁄
⁄
ou supérieure à 10
[Va 00]. Murphy et
Good [Mu 56] s’intéressent à la généralisation de la densité de courant en tenant compte des
paramètres du champ électrique
à la surface et de la température à la surface . Cette
émission électronique est dénommées l’émission thermoélectronique à effet de champ (TF).
Dans le cas du spot cathodique, le champ électrique au voisinage de la surface est compris
entre 10
10
⁄
et la température dépasse la température de fusion et celle
d’évaporation. L’état de la surface émissive peut être solide, liquide ou en phase de
vaporisation. Murphy et Good traitent le problème de l’émission électronique en considérant
le réseau métallique cristallin comme un réseau d’ions positifs entre lesquels évolue un gaz
libre d’électrons de conduction. Ces électrons, statistiquement distribués selon Fermi-Dirac,
ont leur niveau d’énergie compris dans un puit de potentiel. Le champ électrique au voisinage
de la surface réduit le travail d’extraction selon l’effet Schottky. Il y a émission électronique si
les électrons passent la barrière de potentiel au voisinage de la surface. La mécanique
quantique montre qu’il existe une probabilité non nulle de transmission par effet tunnel [Mu
56].
Murphy et Good définissent la densité de courant par la relation :
,
,
. 15
est le potentiel énergétique des électrons dans le métal ou l’affinité
Où
électronique ; la fonction
quantité
,
,
est la probabilité de transmission par effet tunnel et la
représente le nombre d’électrons atteignant la cathode par unité de
surface et de temps avec une énergie comprise entre
,
,
.
est calculé comme suit :
38 Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode 4
,
1
. 16
1
,
4 2
3 4
1
,
⁄
⁄
2
⁄
⁄
. 17
1
Avec :
. 18
8
1
. 19
| | 4
L’explicitation du coefficient de transmission par effet tunnel
la fonction de Nordheim
,
nécessite d’introduire
combinaison des fonctions elliptiques
et
:
⁄
sin
1
⁄
. 20
1
. 21
sin
√1
2
1
1
. 22
1
On note à ce propos que la fonction
1
a reçu plusieurs simplifications, on cite à titre
d’exemple, les simplifications proposées par les auteurs suivants :
Beilis [Bei 71]:
39 Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode 1
1
1
0.85
. 23
2
Beukema [Beu 72]:
0.95
1.06
. 24
Hantzsche [Ha 82]:
1.31103y
1
⁄
y
0.89861 y
⁄
1
0.375. ln
y
0.48954y
0.96729
⁄
0.09886 y
0.02248 y
⁄
0.02174 y
0.01023 y
⁄
,
1
,
1
. 25
Forbes [Fo 06] :
1
1
3
ln
L’influence du champ électrique sur
domaine de variation de
variant entre 10 à 10
. 26
est mis en évidence sur la figure(III.4). Le
est de l’ordre de 2.64 à
⁄ . Ces valeurs de
0.84
. Pour des champs électriques
donnent un ordre de grandeur des bornes
d'intégration dans l'équation de Murphy et Good (III.15).
40 Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode 10
Figure (III.4) : Domaine de variation de Wl en fonction du champ électrique en surface pour
La figure (III.5) montre la variation de la fonction de Nordheim obtenues par les équations
des différents auteurs. Cette figure montre que la formule approximative qui s’approche le
mieux de la formule exacte de Murphy et Good est celle de Hantzsche et Forbes. Néanmoins
dans l’intervalle de y allant 0.33 à 0.65 toutes les formules approximatives donnent des
valeurs proche de celles fournie par celle de Murphy et Good.
41 Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode Figure (III.5) : Fonction de Nordhiem
en fonction de .
Les figure(III.6) et figure(III.7) représentent le coefficient de transmission de la barrière
de potentiel D F, W en fonction de l’énergie W. sur cette figure montre l’influence du champ
électrique sur le coefficient de transmission de la barrière de potentiel D F, W . On constate
effectivement que les électrons de faibles énergies pourront être émis plus facilement. On
remarque que le coefficient de transmission de la barrière de potentiel D F, W croit de
manière importante entre 0 à 1.
42 ,
Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode Figure (III.6): Variation du coefficient de transmission D (F, W) en fonction W
Pour différentes valeurs du champ électrique F
Figure (III.7): Variation du coefficient de transmission D (F, W) en fonction W
Pour valeur du champ électrique F
1
10 V⁄m
Les figures (III.8.a) et (III.8.b) montrent la variation de la densité de courant
en fonction
de la température T et du champ électrique F, calculée par l’équation (III.15) de Murphy et
Good. On remarque que la densité de courant croit de façon fortement non linéaire avec T et F
pour W
4.5 eV et W
4 eV.
43 Log10 ( J
G
A⁄m
Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode Log10(F V⁄m )
W
4.5 eV
Log10 (
⁄
a
T (K)
Log10(F
b
W
⁄
T (K)
)
4 eV
Figure (III.8) : Variation de la densité de courant JMG en fonction de F et T.
44 Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode Les courbes de la figure (III.9) détaillent la variation de la densité de courant en fonction
du champ électrique, pour différentes valeurs de la température. On remarque que plus la
température est grande et moins importante est la variation de JMG avec le champ électrique.
A faible température, la croissance de la densité de courant dépend fortement du champ
Log10 (
⁄
électrique. Ceci est caractéristique de l’mission T.
Log10(F
⁄
)
Figure (II.9) : Variation de JMG en fonction du champ électrique
pour différentes valeurs de la
température .
Sur la figure ((III.10) on donne pour différentes valeurs du champ électrique la variation
de la densité de courant en fonction de la température. On remarque que pour des valeurs
élevées du champ électrique la densité de courant des électrons émis JMG est moins influencée
par la valeur de la température. Ceci est caractéristique de l’émission F.
45 Log10 (
⁄
Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode T (K)
Figure (III.10) : Variation de JMG en fonction de la température
pour différentes valeurs du
champ électrique .
Certains auteurs comme Hantzsche [Ha 82] et Paulini [Pa 93] par exemple, proposent
des formules plus simple pour le calcule de
, mais leur utilisation évite seulement les
calculs numériques exigés par le formalisme rigoureux de Murphy et Good et, réduite de
façon importante le domaine de validité. A titre d’exemple la formule de Hantzsche donnant
la densité de courant des électrons émis sous l’action de la température et du champ électrique
est donnée par l’équation suivante :
⁄
⁄
. 27
K, A, B, C et D sont des constantes obtenues par Hantzsche et dépendent de la température
Tc, du champ électrique
et du travail de sortie
. Pour
4.5
et en unités SI, ces
10
.
constantes ont pour valeurs :
8.1 10 .
3.5
9.1 10 .
53. .
1.74
10 ,
1.14
10 ,
3.83
10
10 .
7.5 10
,
2.52
46 Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode La figure (III.11) montre la variation de la densité de courant des électrons émis JHan par effet
de la température et du champ électrique. On remarque que cette équation représente une
Log10 (
⁄
bonne approximation de la formule générale de Murphy et Good.
Log10(F
⁄
)
T (K)
Figure (III.11) : Variation de la densité de courant JHAN en fonction de
.
Sur les Figures (III.12.a) et (III.12.b) sont représentées les variations de la densité de
courant des électrons émis calculées par les différentes équations (Murphy et Good,
Hantzsche, Richardson-Dushman, Richardson-Dushman-Schottky) pour un champ électrique
4
10
⁄
1
10
⁄
. D’après la figure (III.11.a), On remarque que les valeurs
obtenues par l’équation de Murphy et Good sont supérieurs à celles obtenues par toutes les
autres. La formule de Richardson-Dushman est donc plus restrictive. D’après la figure
(III.11.b), on constate que les formules sont équivalentes pour des valeurs de température
supérieures à 3500 K, et de valeur de champ électrique égale à 1
10 V⁄m.
47 Log10 (
⁄
Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode T (K)
4
10
⁄
1
10
⁄ .
Log10 (
⁄
4.5
T (K)
4.5
Figure (III.12) : Densités de courant des électrons émis
obtenues par différents auteurs.
48 Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode III.5. Influence de la présence d’ions positifs au voisinage de la surface sur l’émission
électronique-émission TF-I
10
Pour expliquer l’origine des valeurs très élevées
⁄
de la densité de
courant des électrons émis dans un spot cathodique, on s’est orienté vers l’étude de
l’influence des ions positifs proches de la surface cathodique sur le mécanisme d’émission
électronique [Ec 59]. On montre que la densité des ions positifs au voisinage de la surface
cathodique est très importante 10
à 10
[Me 07].
Cette densité de charge contribue à créer le champ électrique macroscopique nécessaire à
l’émission d’électrons. De plus, quand les ions s’approchent de la surface, ils déforment à
l’échelle microscopique, la barrière de potentiel en ajoutant à celle-ci, leur propre énergie
potentielle locale résultant du potentiel de l’ion et du potentiel de l’image de celui-ci. Les
résultats montrent que la présence d’un ion peut provoquer une augmentation du courant émis
[Ec 59, Sh 97, Vas 97, Vas 99a, Vas 99b]. En effet, non seulement la hauteur de la barrière de
potentiel est légèrement diminuée mais aussi la barrière est divisée en deux barrière plus
fines, ce qui a pour effet de rendre encore plus aisée l’extraction des électrons par effet tunnel.
Ce passage peut se faire alors en deux étapes : tout d’abord, l’électron est émis par la surface
et vient dans le puits de potentiel de l’ion puis l’électron peut, si le champ électrique est
suffisant (c'est-à-dire si la seconde barrière est suffisamment étroite) de nouveau quitter l’ion.
Ecker et Muller [Ec 59] remarquent que le calcul de la densité de courant des électrons
émis à la cathode considère la valeur moyenne du champ électrique
à la surface de la
cathode. Cependant, les ions positifs en traversant la région de charge d’espace font que le
champ électrique en un point donné sur la surface de la cathode, fluctue autour d’une valeur
moyenne donnée par l’équation de Mackeown et, la densité de courant est liée à la valeur
réelle et non pas à la valeur moyenne du champ électrique. A cause de la dépendance non
linéaire de la densité des électrons émis en fonction de , l’effet net est que la densité de
courant est plus élevée que celle prédite par le mécanisme . Ecker et Muller nommèrent ce
mécanisme : émission I-F (Individual Field I-F Emission Mechanism) [Ec 59].
Suivant les calculs de Ecker, pour une valeur du rapport entre la densité de courant
électronique
et la densité de courant ionique
densité de courant total
valeur de
10
⁄
10
10
⁄
⁄
10 , l’émission
exige une
alors que l’émission (I-F) n’exige qu’une
et, ceci pour un travail de sortie
4.5
.
49 Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode III.7. Théorie de l’Ecton
La théorie de l’Ecton repose sur une autre formulation pour l’étude des mécanismes
relatifs au spot cathodique. Selon cette théorie, le spot cathodique résulterait d’une séquence
continue d’explosions du métal cathodique.
Dans ce modèle, on rencontre la notion d’émission explosive [Mes 94, Mes 96, Mes 00].
Elle suppose une émission simultanée d’électrons et de particules lourdes (ions positifs et
neutres), ce qui permet d’obtenir des densités de courant très élevées
10
⁄
.
Mesyats a proposé de nommer les spots qui fonctionnent sur la base de ce type d’émission,
« Ectons ».
Rothstein [Rot 48, Rot 64, Rot 65] en critiquant l’utilisation du mécanisme
et
dans
les modèles du spot cathodique, propose une autre alternative basée sur le phénomène
d’explosion d’un fil conducteur.
Le spot cathodique est vu comme résultant d’une suite d’explosions avec un apport
d’énergie par les ions positifs si la densité de courant est faible
effet Joule si la densité de courant est élevée
10 à 10
10 à 10
⁄
⁄
ou par
. Dans les deux cas
Rothstein considère l’existence d’un jet de plasma émis de la cathode.
Pour initier un Ecton, il faut que la concentration d’énergie dans un très petit volume de la
cathode soit suffisante
10
⁄
pour le cuivre par exemple) pour que le matériau de ce
microvolume puisse exploser. Cette concentration d’énergie est équivalente à un chauffage du
microvolume à un taux supérieur à 10
⁄ . L’énergie concentrée dans le microvolume doit
être atteinte en un temps plus petit que le temps caractéristique de dissipation d’énergie dans
ce microvolume.
Globalement, un spot cathodique fonctionne comme suit :
A l’initiation d’un Ecton, la densité de courant est voisine de 10
⁄
(émission ).
L’échauffement très rapide du microvolume produit une intensification de l’émission T. A un
moment donné, ce microvolume explose et durant le développement de l’explosion, la zone
d’émission s’élargit. Les pertes par conduction, évaporation et émission de gouttelettes du
bain fondu diminuent. Ceci entraine une diminution de la température dans la zone ou opère
l’ecton, et donc, une diminution de la densité de courant. La diminution de la densité de
courant fait décroitre d’avantage l’échauffement par effet Joule et la température dans le
microvolume diminue jusqu’ au refroidissement et l’extinction totale du spot.
50 Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode Le problème avec le modèle de l’ecton est le manque de description théorique et
mathématique rigoureuse et simple, qui soit susceptible d’être vérifiée expérimentalement. La
théorie de l’ecton n’est pas acceptée unanimement mais a le mérite de bien estimer la densité
de courant (surtout au-dessus de 10
⁄
), les temps caractéristiques de la dynamique du
fonctionnement du spot cathodique, la vitesse d’expansion du plasma après l’explosion, le
taux d’érosion de la cathode et le champ électrique [Han 95, Han 03].
Par ailleurs, le modèle de la pointe très utilisé pour expliquer le claquage dans le vide.
L’existence de l’émission de champ indique l’existence des pointes microscopiques. Bien que
les courants émis soient de quelques
à quelques
[We 04], la densité de courant est très
élevée et fait augmenter la température de la pointe. Vu que la pointe est de taille
microscopique, la conduction de la chaleur en volume est rendue très difficile et cette pointe
subit un échauffement excessif. La pointe est vaporisée et fournit des atomes neutres qui
seront ionisés et retourneront vers la cathode et contribuent au chauffage de celle-ci. Mais ce
modèle de claquage du vide, basé sur une pointe, se heurte avec un fait expérimental. En effet,
expérimentalement il a été prouvé que l’émission d’électrons n’émane pas toujours des
pointes assez longues et minces pour pouvoir expliquer l’élévation importante de la
température [We 04].
Plusieurs mécanismes sont invoqués pour expliquer le claquage dans le vide mais, pas un
seul n’est unanimement accepté. Ce sont des modèles partiels qui s’appliquent dans des
conditions données : distance entre électrodes, nature du métal des électrodes, état de surface
des électrodes etc. La validité de chaque modèle repose sur l’explication de la manière suivant
laquelle est produite la vapeur, et donc les particules chargées dans l’intervalle. Plusieurs
modèle sont basés sur les particules solides qui se détachent d’une électrode et en heurtant
l’autre électrode, produisent une explosion et donc de la vapeur.
51 Chapitre III Calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode III.8. Conclusion
La valeur de la densité de courant des électrons émis joue un rôle décisif dans le bilan de
puissance à la cathode dans un arc électrique. C’est pourquoi il est important de calculer avec
précision cette densité de courant. Dans la littérature, on trouve plusieurs équations de calcul
de cette densité. Dans ce chapitre, on a étudié l’effet de la température et/ou du champ
électrique sur la densité de courant des électrons émis. Dans un arc électrique ces facteurs
sont tous les deux importants. Il convient donc de calculer la densité de courant des électrons
émis en tenant compte de l’effet de la température et du champ électrique d’après l’équation
de Murphy et Good. L’utilisation des autres équations peut sous-estimer ou surestimer la
valeur de la densité de courant.
52 Chapitre IV
Effet Nottingham
Chapitre IV
Effet Nottingham
IV.1. Introduction
A la surface de la cathode, le spot cathodique est le lieu de l’émission des électrons. Il se
déplace rapidement sur la cathode, sa vitesse pouvant atteindre une centaine de mètres par
seconde. L’énergie apportée par les ions à la surface et l’effet Joule, responsable de
l’échauffement dans le volume de la cathode, au niveau du spot, sont compensés par la perte
d’énergie due à l’émission électronique, l’énergie évacuée par conduction thermique dans le
métal et l’énergie emportée par la fusion et l’évaporation du matériau.
L’émission de champ conduit à une vaporisation cathodique. La vaporisation cathodique
est due soit à l’effet joule, soit à l’effet Nottingham, ce phénomène bien connu de
refroidissement ou de réchauffement de cathode par émission électronique.
Les principaux
échanges énergétiques entre une cathode et un arc électrique s’effectuent de différentes
façons ;
- par radiations de la colonne d’arc ;
- par bombardement de la surface par les ions positifs ;
- par bombardement de la surface par les particules neutres ;
- par le départ des électrons émis à la cathode.
IV.2. Effet de l’émission électronique sur la température de la cathode
Le phénomène de l’émission d’électrons s’accompagne d’un échange d’énergie entre les
électrons de conduction et le réseau cristallin. Deux phénomènes se produisent: un effet
thermique familier (l’effet Joule), lié à la résistivité du métal, produit un échauffement lorsque
le courant est important. Un autre effet résulte de la différence entre l’énergie moyenne des
électrons émis
. Cet effet, connus
et l’énergie moyenne des électrons de remplacement
sous le nom d’effet Nottingham, prévoit que la cathode soit chauffée pendant l’émission si
est supérieure à
et inversement, refroidie lorsque
est inférieure à
.
En l’absence d’ions à proximité de la surface de la cathode (quelques Angstrom), les électrons
émis sont ceux qui possèdent dans le solide la plus grande énergie cinétique
:
.1
L’énergie moyenne
électrique
1. 10
sur la population sauf pour de très grandes valeurs du champ
⁄
sera supérieure à l’énergie de Fermi
et les électrons émis
auront pour effet de refroidir la cathode. Les expressions du potentiel d’effet Nottingham
trouvées dans la littérature sont multiples.
53
Chapitre IV
Effet Nottingham
Certains auteurs confondent souvent ce potentiel soit avec le travail de sortie du matériau de
cathode, soit avec l’abaissement Schottky de la barrière de potentiel [Te 94].
Dans ce qui suit nous présentons la méthode du calcul du potentiel Nottingham.
En partant des mêmes hypothèses que celles admises dans le calcul de la densité de courant à
la cathode, c’est-à-dire en considérant un espace des vitesses électroniques isotrope qui rend
valide la cathode la théorie de Sommerfeld, nous pouvons calculer l’énergie cinétique totale
de l’ensemble des électrons émis.
Cette énergie est notée
∞
et vaut [Te 94].
,
∞
.2
.
Ou
est l’énergie cinétique des électrons émis dans les directions
:
.3
En divisant
par le nombre moyen d’électrons émis par unité de surface, nous obtenons
l’énergie cinétique moyenne d’un électron émis qui vaut :
.
∞
.4
,
.
L’expression du potentiel Nottingham
.
s’obtient en faisant la différence entre l’énergie
moyenne des électrons émis et l’énergie moyenne des électrons qui alimentent la cathode.
s’exprime sous la forme :
.5
Ou
est l’énergie moyenne des électrons « arrivant » dans la cathode. Habituellement,
cette énergie moyenne peut être prise égale au niveau de Fermi. Certains auteurs [ Sw 66] ont
montré que, dans le cas du tungstène, et pour des champs électriques très élevés. Cette énergie
diffère de
de quelques dixièmes d’électrons-volts. Cette différence peut en fait s’expliquer
par le fait que le modèle Sommerfeld décrit assez mal la structure électronique du tungstène.
54
Chapitre IV
Effet Nottingham
Dans la suite du paragraphe, nous prendrons l’expression suivante pour l’effet Nottingham
[Te 94].
.6
,
Dans ces calculs, nous avons fait l’hypothèse simplificatrice pour le calcul de
que
le champ électrique est constant devant l’électrode.
Sur les figure (VI.1.a), (VI.1.b) et (VI.1.c) nous avons tracé le potentiel d’effet Nottingham
en fonction du champ électrique appliqué en surface de l’électrode pour différentes
valeurs de la température de la surface de la cathode et ce pour plusieurs valeur de travail de
sortie
4.5
4
. On remarque sur cette figure que le potentiel Nottingham
diminue quand le champ électrique augmente c'est-à-dire que l’effet Nottingham devient
de moins en moins chauffant avec l’augmentation du champ électrique. Les résultats obtenus
nous montrent la croissance de l’effet Nottingham en fonction de la température.
D’après la figure (IV.1.a), on a constate que pour des valeurs de champ électrique inferieur
9.25 et pour à une température est égale 1500 K, l’énergie moyenne des électrons de
remplacement est supérieur à l’énergie moyenne des électrons émis, donc l’effet Nottingham
produit nécessairement le chauffage de la cathode, si la température de la cathode dépasse à
1500 K, dans ce cas, l’énergie moyenne des électrons de remplacement est inférieur à
l’énergie moyenne des électrons émis et inversement alors l’effet du chauffage au
refroidissement de l’émetteur. Le potentiel énergétique d’effet Nottingham est égale à zéro
0 pour une valeur de champ électrique
1.96
10
⁄
et une température
1500 , ces valeurs sont important pour déterminé la température d’inversion.
Sur la figure (IV.1.b) nous remarque que aussi influence du travail de sortie sur l’évolution de
cet effet, on constate que sur cette figure l’effet Nottingham produit le refroidissement de la
cathode pour des valeurs de champ électrique supérieur à
3.5
10
⁄
et à des
températures supérieures à 1500 .
D’après la figure (IV.1.c) on montre que l’effet Nottingham provoque le refroidissement pour
des valeurs de champ électrique inférieur à 1
10
⁄ .
55
Effet Nottingham
WN eV
Chapitre IV
Log10 F V⁄m
10.9
WN eV
4.5
Log10 F V⁄m
10.9
WN eV
4
Log10 F V⁄m
4
10.9
Figure (IV.1) : Potentiel énergétique d’effet Nottingham pour différente valeurs de la
température T.
56
Chapitre IV
Effet Nottingham
IV.3. Température d’inversion
A une température
0, tous les électrons émis ont une énergie inférieure ou égale à
et
l’effet Nottingham produit nécessairement le chauffage de la cathode. Si la température
augmente (par exemple, par effet joule lorsque le courant devient élevée), l’énergie moyenne
. Inversant alors l’effet du chauffage au
des électrons émis peut être supérieure à
refroidissement de l’émetteur. Une température dite d’inversion
équilibre s’établit et que
, est atteinte lorsqu’un
. Ces procédés d’échanges sont importants pour déterminer
la température locale à la surface de la cathode [De 98]. Si la température de la cathode est
inférieure à la température d’inversion
supérieure à
on a l’échauffement. Par contre si elle est
on a le refroidissement de la cathode [Me 07].
Plusieurs formules ont été proposées pour la détermination de la température d’inversion par
différents auteurs. Citons à titre d’exemple (avec
en (K), F en (V/m) et
en (eV) les
travaux de.
-Levine [Le 62]:
.
.7
- Hantzsche [Ha 81] :
est en Joule dans cette équation
.
.8
.
.9
Latham [La 81]:
est issue de la formule de Fowler-Nordheim. D’après Forbes [Fo 06] t(y)=1.1.
57
Chapitre IV
Effet Nottingham
Paulini [Pa 93] :
1
Avec
en V/m et
7.1130
1
. 10
en eV.
10
0.98604
,
0.47483
,
0.91905
,
4.8022
,
0.15358
,
30.371
,
1.0296
8.8832
tanh
10
Mesyats [Mes 00] :
.
. 11
La figure (IV.2) montre la variation de la température d’inversion en fonction de champ
électrique (Formules de Levine, Mesyats, Hantzsche et Paulini), et ce pour W
4.5 eV . On
remarque que les valeurs obtenues par la formule de Hantzche sont supérieurs à celles
obtenues par toutes les autres. À titre d’exemple pour un champ électrique
et un travail de sortie de
1274 ,
4.5
1334 ,
(cuivre) la température d’inversion
1466
5
10
/
1253 ,
, sont respectivement pour les formules
Mesyats, Paulini, Levine, et Hantzche.
On montre que la cathode est chauffée en départ par l’effet Nottingham et l’effet Joule.
Jusqu’à la fusion et évaporation puis par les ions positifs puis refroidie par Nottingham car la
température inferieur de la température d’inversion et émis de gouttelettes.
58
Effet Nottingham
T
K
Chapitre IV
Log10 F V⁄m
Figure (IV.2) : Variation de la température d’inversion
en fonction de F.
IV.4. Conclusion
Dans ce chapitre, on calculé la concentration en électrons émis devant la surface et le
potentiel énergétique d’effet Nottingham. Ce dernier se manifeste par un échauffement lorsque
la température de la surface d’émission est inférieure à la température critique et par un
refroidissement lorsque la température est suffisamment élevée (supérieure à une valeur
critique appelée température d’inversion
). La différence réside dans la différence entre
l’énergie de l’électron émis et celle de l’électron qui le remplace. Si la température est
inferieure à la température d’inversion, l’énergie de l’électron émis est inferieure à l’énergie
de Fermi et le résultat est un apport d’énergie à la cathode se traduisant par un échauffement.
La température d’inversion est la valeur pour laquelle l’électron émis et l’électron de
remplacement ont la même énergie. La température d’inversion dépend du travail de sortie, du
champ électrique et de la température.
59
Conclusion Générale
et Perspectives
Conclusion Générale et Perspectives
Dans ce travail nous avons étudié le phénomène d’émission d’électrons à la cathode sous
l’effet d’un champ électrique et une température élevées. Nous avons calculé la densité de
courant des électrons émis par les différentes équations rencontrées dans la littérature. En
effet, il existe plusieurs formules pour évaluer cette densité de courant à savoir :
L’équation de Fowler-Nordheim pour l’émission par effet de champ ;
L’équation de Richardson ou émission par effet de la température ;
L’équation de Richardson avec correction de Schottky
L’équation de Richardson de Hantzsche et enfin
L’équation de Murphy et Good qui représente à l’état actuel l’équation la plus générale
et la plus exacte.
L’étude a montré que pour avoir une bonne estimation de la densité de courant des électrons
émis il est préférable d’utiliser l’équation de Murphy et Good bien qu’elle est difficile à
mettre en ouvre comparée aux autres équations plus simples. En effet, la densité de courant
entre dans les différentes équations du bilan énergétique de la cathode et donc dans la région
cathodique et dans la colonne positive dans une décharge d’arc dans le vide.
Dans un arc électrique, les électrons sont émis par effet combiné d’une haute température et
d’un fort champ électrique régnant à la surface de la cathode. La cathode est chauffée par
effet joule et par les ions positifs retournant vers la cathode après ionisation des atomes de la
vapeur métallique issue de la cathode après échauffement, fusion suivie d’une évaporation. Le
facteur qui conditionne tout ces phénomènes est la valeur de la densité de courant qui est
représentée par celle des électrons émis à 90%. La densité de courant des électrons émis au
niveau de la cathode (spot cathodique) est très élevée
10
à 10
/
. Cet ordre de
grandeur de densité de courant est en bon accord avec les résultats expérimentaux de Daalder
[Da 74] et de Juttner [Ju 01].
Nous avons étudié également l’influence de l’émission électronique sur la température de la
cathode et cela en calculant le potentiel énergétique lié à l’effet Nottingham. Ce dernier se
manifeste par un échauffement de la surface d’émission lorsque la température est inférieure à
la température dite ‘’ température d’inversion’’ et par un refroidissement dans le cas contraire.
Ce fait réside dans la différence entre l’énergie de l’électron émis et celle de l’électron de
60 remplacement. Nous avons fait varier la valeur du travail de sortie et nous avons constaté
qu’une petite variation de ce travail influe beaucoup sur les résultats.
Une des perspectives ouvertes par cette étude est que la théorie de Murphy et Good utilisée
pour le calcul de la densité de courant des électrons émis à la cathode sous l’effet de la
température et le champ électrique est à l’heure actuelle la plus exacte. Mais, elle souffre
d’une insuffisance puisque le calcul du coefficient de transmission de la barrière de potentiel
est basée sur une méthode approchée (méthode WKB). Il serait intéressant de calculer ce
coefficient en résolvant directement l’équation de Schrödinger en régime stationnaire. Cela
d’une part, et d’autre part, la théorie de Murphy et Good ne prend pas en considération
l’influence des champs électrique individuels des ions positifs qui se dirigent vers la cathode,
sur l’émission. Il serait fort utile d’étudier soigneusement l’influence des ions positifs sur
l’émission électronique puisque la présence des ces ions modifie la forme de la barrière de
potentiel devant la surface cathodique. Enfin et vu que la densité de courant au niveau de la
cathode intervient dans tous les phénomènes cathodiques, il semble nécessaire d’élaborer une
théorie plus générale comblant toutes ces insuffisances.
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