TD-PT1 : Transport de charges - PCSI

Chapitre PT1: Transport de charges TD
TD-PT1 : Transport de charges
Révisions de cours :
Définir les grandeurs mésoscopiques suivantes : densité volumique de charge, vecteur densité de
courant et passer d’une description microscopique (porteurs de charge, vitesse des porteurs) à ces
grandeurs mésoscopiques.
Décrire les différents types de porteurs de charge. Faire la distinction entre charges mobiles et
charges fixes.
Ecrire l’intensité comme le flux du vetcuer densité de courant électrique à travers une surface
orientée.
Etablir l’équation locale de conservation de la charge en coordonnées cartésiennes à une dimen-
sion.
Citer l’équation locale dans le cas tridimensionnel et interpréter chacun des termes.
Définir une ligne et un tube de courant.
En régime stationnaire, exploiter le caractère conservatif du vecteur densité de courant électrique
pour relier cette propriété à la loi des branches et la loi des nœuds.
Conducteur ohmique : énoncer la loi d’Ohm locale.
Citer l’ordre de grandeur de la conductivité du cuivre.
En régime stationnaire, établir une expression de la conductivité électrique à l’aide du modèle
microscopique de Drude.
Etablir l’expression de la résistance d’un câble cylindrique parcouru uniformément par un courant
parrallèle à son axe.
Etablir l’expression de la puissance volumique reçue par un conducteur ohmique. Interpréter l’effet
Joule.
Décrire la conductivité des semi-conducteurs, les types de porteurs, l’influence du dopage.
1PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015

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Exercice 1 : Vitesse moyenne des électrons dans le cuivre
Exercice 2 : Résistance d’un tube cylindrique
Soit un conducteur constitué d’une couche cylindrique conductrice comprise entre les rayons R1et R2
(R2>R1), de longueur L et de conductivité γ. Le problème sera traité à une dimension : ~ j=j~ uxoù ~ uxest un
vecteur unitaire dirigé suivant l’axe du cylindre.
Déterminer la valeur de sa résistance en fonction de L, R1,R2et γ.
Exercice 3 : Temps d’établissement du régime stationnaire dans un conducteur ohmique
On considère un conducteur ohmique de conductivité γ, de permittivité εo. Chaque atome libère un électron
de conduction. La densité volumique d’électrons (charge -e) dans ce conducteur est n. On note ρle densité
volumique de charges dans le conducteur. A l’instant t=0 on applique un champ électrique ~ E, il y a alors un
excès de charges ρo.
En 1865 Maxwell réalise un synthèse des travaux de l’époque, entre autres il donne la relation entre le
champ électrique et la distribution de charge : div~ E=ρ
εo.
Données : γ= 6.107S.m−1,εo= 8,9.10−12F .m−1
1. Avant l’application du champ électrique, donner la valeur de ρ, la densité volumique de charges.
2. A l’instant t= 0+, peut-on utiliser la loi d’Ohm macroscopique "U=RI" pour ce conducteur ? Justifier.
3. Déterminer ρ(t)puis déterminer l’ordre de grandeur du temps au bout duquel on peut considérer le
conducteur en régime stationnaire.
4. Déterminer les fréquences pour lesquels il est raisonnable de considérer le conducteur comme ohmique.
Commenter.
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Exercice 4 : Modèle de Drude - approche macroscopique
1. On applique le champ ~ Eoà t=0, donner la valeur de la vitesse de l’ensemble des porteurs ~ v(0).
2. On considère un électron dont la vitesse ~ vcorrespond à la vitesse de l’ensemble des porteurs dans le
conducteur. Appliquer le principe fondamental de la dynamique à un électron et déterminer sa vitesse ~ v(t)
en fonction de ~ Eo, e et τM=m
k.
3. Déterminer la vitesse limite des porteurs de charge quand t tend vers l’infini.
4. Déterminer alors la conductivité γdu conducteur s’il s’agit d’un conducteur ohmique.
5. A quelle condition les modèles de Drude microscopique (vu en cours) et macroscopiques sont-ils équiva-
lents ?
Exercice 5 : Effet Hall dans un semi-conducteur
1. Etablir l’expression de la vitesse ~ vdes électrons dans la plaque en fonction du vecteur densité de courant
~
j, n et e (tant pour un champ ~ B=~ 0que ~ B6=~ 0en régime permanent).
2. A quelle force est soumis un électron de vitesse ~ vkdans un champ magnétique ~ B?
3. Initialement, le champ ~ Best nul dans la plaque semi-conductrice. Justifier l’apparition d’un champ élec-
trostatique, dont on précisera seulement la direction, lorsque ~ B6=~ 0.
4. Après l’application du champ magnétique ~ B, le système atteint rapidement un nouveau régime permanent
(avec toujours ~ j=j~ ux). Le champ électrostatique qui est alors créé est appelé champ de Hall et est noté
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~
EH. En utilisant le modèle de Drude appliqué à un électron de la plaque, déterminer l’expression de ~ EH
en fonction de v=~ vet B.
5. Déterminer alors EH=
~
EH
en fonction de I, B, b, h, n et e.
6. Montrer que la tension de Hall UH=V(1) −V(10)associée au champ de Hall s’écrit :
UH=IB
hne
7. L’effet Hall est souvent utilisé pour mesurer un champ magnétique. On place une plaque semi-conductrice
d’"antimoniure d’inidum" dans un champ magnétique B inconnu. On mesure une tension de Hall : UH=
131mV pour un courant I= 0,1A. Déterminer la valeur du champ magnétique B.
Données : n= 1,6.1022m−3,e= 1,6.10−19C,h= 0,3mm
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