Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes

Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes
Petit supplément sur les fonctions à valeurs
complexes
Jean-Paul Vincent

Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes
1 Fonctions à valeurs complexes
Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes
Limites et continuité
Definition
Une fonction à valeurs complexes est une fonction dont l’image est
contenue dans C. En particulier, une suite complexe est une suite
(un )n≥0 où pour tout n : un ∈ C.
Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes
Definition
La conjuguée d’une fonction f à valeurs complexes est la
fonction f¯ définie par f¯ (x ) = f (x ).
La partie réelle d’une fonction f à valeurs complexes est la
fonction Re f := 21 (f + f¯ ) et sa partie imaginaire, Im f , est
définie par Im f = 2i1 (f − f¯ ).
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Limites et continuité
Definition
Une partie A de C est bornée s’il existe un réel M tel que tout
élément z de A soit tel que : |z | ≤ M.
Autrement dit, A est contenue dans le disque de centre 0 de rayon
M.
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Limites et continuité
Definition
Une partie A de C est ouverte, si tout élément a de A est le centre
d’un disque contenu dans A.
Une partie A est dite fermée si la partie complémentaire C \ A est
ouverte.
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Limites et continuité
La somme et le produit de deux fonctions complexes se définissent
de la même manière que pour les fonctions réelles.
Theorem
L’ensemble des fonctions complexes bornées est muni de structures
d’espace vectoriel et d’anneau (algèbre).
Les notions de limite, de convergence, sont analogues aux notions
réelles, le module remplaçant la valeur absolue.
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Limites et continuité
Definition
Nous dirons que la fonction complexe f admet une limite en a
si pour toute suite (réelle) (un )n≥0 qui tend vers a, la suite
(complexe) (f (un ))n≥0 admet une limite (cette limite étant
un (unique) complexe si f est bornée ou ∞ sinon).
La fonction complexe f est continue en a, élément de C, si
elle est définie en a et si elle admet une limite finie
(lima f ∈ C) en a.
Ces définitions peuvent s’écrire avec la notion de voisinage et
C = C ∪ { ∞ }.
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Limites et continuité
Theorem
Une fonction complexe admet une limite ` dans C si et seulement
si ses parties réelle et imaginaire admettent une limite.
Remarque
f a une limite infinie si et seulement si sa partie réelle ou sa partie
imaginaire admet une limite infinie.
Theorem
Une fonction complexe admettant une limite finie en un point est
bornée au voisinage de ce point.
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Limites et continuité
Opérations algébriques sur les limites de fonctions
Hormis ce qui concerne ±∞ toutes les relations réelles se récrivent
telles quelles. D’aprés ce qui précède, il est toujours possible de se
ramener au cas réel.
Theorem
Soit I un intervalle de R, l’ensemble C(I ) est muni de structures
d’espace vectoriel et anneau.
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Dérivation des fonctions à valeurs complexes
Tous les résultats concernant les fonctions à valeurs complexes ont
leurs équivalents pour les fonctions à valeurs dans R2 , sauf
exception. Les notions de fonctions dominantes, négligeables se
transcrivent au cas complexe, par exemple :
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et à valeurs
complexes, on dit que g = o(f ) en a (a ∈ R) si et seulement si
pour tout e > 0 il existe un voisinage V de a tel que x ∈ V
implique |g (x )| ≤ e|f (x )|. Par suite
Definition
f fonction définie au voisinage de a et à valeurs complexes est
dérivable en a, de dérivée égale à f 0 (a) si et seulement si, pour
tout x au voisinage de a :
f (x ) − f (a) − f 0 (a)(x − a) = o (|x − a|)
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Dérivation des fonctions à valeurs complexes
Theorem
f , fonction complexe, est dérivable en a si et seulement si Re f et
Im f sont dérivables en a. Dans ce cas :
f 0 (a) = Re f 0 (a) + iIm f 0 (a)
Démonstration.
L’opération qui à une fonction associe son développement limité
est linéaire.
Nous définirions de même une fonction dérivable sur un intervalle,
une fonction n fois dérivable, une fonction de classe C k
(k ∈ N ∪ {∞}). La formule de Leibniz est valable pour les
fonctions à valeurs complexes (les fonctions de classe C k forment
une algèbre).
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Dérivation des fonctions à valeurs complexes
Remarque

Le théorème de Rolle est faux. En effet, soit f (x ) = eix , on a
f (0) = 1 et f (2π ) = 1 pourtant, pour tout x : |f 0 (x )| = 1.
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Dérivation des fonctions à valeurs complexes
Theorem
Soit f , fonction complexe définie et continue sur [a, b ], dérivable sur
]a, b [ (et à dérivée bornée), alors :
|f (b ) − f (a)| ≤ |b − a| sup |f 0 (t )|
t ∈]a,b [
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Dérivation des fonctions à valeurs complexes
Preuve
Soient f1 = Re(f ) et f2 = Im(f ), α et β deux réels quelconques, on
pose g (x ) = αf1 (x ) + βf2 (x ), on peut appliquer le théorème des
accroissement finis, version réelle, à g : il existe c dans ]a, b [ tel que
g (b ) − g (a) = g 0 (c )(b − a), d’où :
α(f1 (b ) − f1 (a)) + β(f2 (b ) − f2 (a)) = (αf10 (c ) + βf20 (c ))(b − a)
Posons α = f1 (b ) − f1 (a) et β = f2 (b ) − f2 (a), alors :
|f (b ) − f (a)|2 = (αf10 (c ) + βf20 (c ))(b − a)
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Dérivation des fonctions à valeurs complexes
(suite).
D’après Cauchy-Schwarz-Bouniakovsky :
q
|f (b ) − f (a)|2 ≤ α2 + β2 |f 0 (c )| |b − a|
L’inégalité attendue est obtenue car :
p
α2 + β2 = |f (b ) − f (a)|.
(si la dérivée n’est pas bornée, la conclusion reste valide mais pas très
utile.)
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Intégration
La définition de l’intégrale s’étend naturellement au cas d’une fonction
f définie sur un intervalle [a, b ] et à valeurs complexes.
Definition
Soit f , définie sur [a, b ] à valeurs complexes, continue par morceaux
(telle que Re f et Im f soient continues par morceaux). Alors l’intégrale
de f sur [a, b ] est :
Z b
a
f (t ) dt =
Z b
a
Re (f )(t ) dt + i
Z b
a
Im (f )(t ) dt
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Intégration
Theorem (Propriétés)
Soit f une fonction complexe définie et continue par morceaux sur
[a, b ] où a ≤ b :
R
R
b
b
a f (t ) dt ≤ a |f (t )| dt
R
b
a f (t ) dt ≤ |b − a| sup[a,b ] |f |
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Intégration
Démonstration.
Soient f1 = Re(f ) et f2 = Im(f ), α et β deux réels quelconques
(a ≤ b) :
Z b
Z b
Z b
Z b α
f1 + β
|αf1 + βf2 |
αf1 + βf2 ≤
f2 = a
a
Intégrons |αf1 + βf2 | ≤
p
α2 + β2 |f | en posant :
α=
Z b
a
il vient :
a
a
f1 ,
β=
Z b
a
f2
Z b 2 Z b Z b
a f ≤ a f a |f |
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Primitives
Theorem
Soit f , définie et continue
sur [a, b ] à valeurs complexes, alors la
Rx
fonction F : x 7→ a f (t ) dt est l’unique primitive de f , nulle
pour x = a.
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Formules de Taylor
Theorem
Les formules de Taylor-Young et de Taylor avec reste intégral sont
valables pour les fonctions complexes.
Il n’y a pas d’égalité pour la formule de Taylor-Lagrange mais
l’inégalité est valide (et utile lorsque la dérivée d’ordre n + 1 est
bornée).
Theorem
Soit f , définie, de classe C n sur [a, b ], n + 1 fois dérivable sur
]a, b [, à valeurs complexes. Alors :
k
(
b
−
a
)
| b − a | n +1
f ( b ) − ∑ f (k ) ( a )
≤ sup |f (n+1) (t )|
t ∈]a,b [
k!
(n + 1) !
0≤k ≤n