Poly M4

DYNAMIQUE DES FLUIDES
Chapitre M4
PROGRAMME OFFICIEL :
Notions et contenus Capacités exigibles
Forces de pression. Équivalent volumique. Utiliser les relations d#» F=−p
# »
dSet # » dF=−
# »
gradpdτ
Contraintes tangentielles dans un écoulement #» v=
vx(y)#» uxau sein d’un fluide newtonien ; viscosité.
Équivalent volumique des forces de viscosité dans un
écoulement incompressible.
Utiliser l’expression fournie # » dF=η∂vx
∂y dS#»
ux
Établir sur cet exemple l’expression # » dF=η∆#» vdτ.
Utiliser sa généralisation admise pour un écoulement in-
compressible quelconque.
Coefficient de tension superficielle. Mesurer un coefficient de tension superficielle.
Utiliser l’expression de l’énergie de tension superfi-
cielle pour interpréter un protocole expérimental.
Traînée d’une sphère solide en mouvement rectiligne uni-
forme dans un fluide newtonien : nombre de REYNOLDS ;
coefficient de traînée Cx; graphe de Cxen fonction du
nombre de REYNOLDS ; notion d’écoulement laminaire et
d’écoulement turbulent.
Évaluer un nombre de REYNOLDS pour choisir un modèle
de traînée linéaire ou un modèle de traînée quadratique.
Équation de NAVIER-STOKES dans un fluide newtonien en
écoulement incompressible. Terme convectif. Terme dif-
fusif. Nombre de REYNOLDS dans le cas d’une unique
échelle spatiale.
Utiliser cette équation. Évaluer en ordre de grandeur le
rapport du terme convectif sur le terme diffusif et le re-
lier au nombre de REYNOLDS dans le cas d’une unique
échelle spatiale.
Notion d’écoulement parfait et de couche limite. Exploiter l’absence de forces de viscosité et le caractère
isentropique de l’évolution des particules de fluide. Utili-
ser la condition aux limites sur la composante normale du
champ des vitesses.
Équation d’EULER. Utiliser cette équation.
Relation de BERNOULLI pour un écoulement parfait, sta-
tionnaire, incompressible et homogène dans le champ de
pesanteur uniforme dans un référentiel galiléen.
Justifier et utiliser cette relation. Interpréter d’éventuels
écarts observés en vérifiant les conditions de validité.
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Table des matières
I Équation de Navier-Stokes 3
I.1 Actions volumiques à distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.2 Actions surfaciques entre particules de fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.2.a Action normale : densité volumique des forces de pression . . . . . . . . 4
I.2.b Action tangentielle : densité volumique des forces de viscosité . . . . . . 4
I.3 Tension superficielle (cf. TP-cours) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.4 Équation de Navier-Stokes pour un fluide réel . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.4.a Démonstration ................................ 8
I.5 Conditions aux limites pour un écoulement réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.6 Exemples ....................................... 10
II Nombre de Reynolds 12
II.1 Définition et interprétation par l’équation de Navier-Stokes .......... 12
II.2 Écoulement laminaire ou turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II.3 Force de traînée sur un obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II.3.a Casgénéral .................................. 15
II.3.b Cas particulier d’une sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
IIICas d’un fluide ou d’un écoulement parfait : équation d’Euler 19
III.1Fluideparfait..................................... 19
III.2Écoulementparfait.................................. 20
III.3 Équation d’Euler .................................. 22
III.4 Formulation intégrale : théorème de Bernoulli ................. 22
Synthèse 27
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I Équation de Navier-Stokes
Commençons par analyser les forces s’exerçant sur une particule de fluide, afin de pouvoir lui
appliquer le PFD et ainsi établir l’équation fondamentale de la dynamique des fluides, appelée
équation de Navier-Stokes.
I.1 Actions volumiques à distance
Les actions mécaniques à distance (gravitation, électromagnétisme...) sont généralement
volumiques : elles s’exercent sur une particule de fluide de volume dV.
On définit pour ces forces la densité volumique de force :
Soit une particule de fluide en M, de volume élémentaire dV(M), de masse élémen-
taire dm(M) = ρ(M)dV(M). Si d
#»
F(M)est la force subie par cette particule de
fluide, on définit la densité volumique de force
#»
f(M)telle que la force élémentaire
s’appliquant au point Ms’écrive :
# »
dF(M) =
#»
f(M).dV(M)
Définition
Exprimer les densités volumiques de force pour le poids et les forces d’inerties dans
un référentiel non galiléen.
Application 1 : Trois exemples courants
Poids : d
#»
P(M) = ........................................................................
..........................................................................................
Force d’inertie d’entrainement : # » dFie(M) =...............................................
..........................................................................................
Force d’inertie de Coriolis :# » dFic(M) = .................................................
..........................................................................................
I.2 Actions surfaciques entre particules de fluides
L’action mécanique d’une particule de fluide sur sa voisine comporte 2 composantes :
→une composante normale (à leur surface de contact) : c’est ce qu’on appelle la pression ;
→une composante tangentielle qui n’apparaît qu’en cas de mouvement relatif, qui correspond
à une sorte de frottement : c’est ce qu’on appelle la viscosité.
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I.2.a Action normale : densité volumique des forces de pression
L’étude des forces de pression a été menée en PCSI. Celles-ci sont fondamentalement surfa-
ciques, mais peuvent s’exprimer comme un effet volumique.
Soit une surface élémentaire dSentre le système considéré et le fluide en contact. La
force de pression exercée par le fluide sur le système s’écrit : # » dFP=P
# »
dS, où # » dS
est orientée du fluide vers le système.
Définition : (rappels)
Unité : Ps’exprime en pascals : 1 Pa=............
La pression est un scalaire, la force est un vecteur !
Important
En effectuant un bilan des forces de pression qui s’exercent sur une particule de fluide, on
montre que la résultante peut s’exprimer en fonction de dV, ce qui fait apparaître une densité
volumique de force.
Les forces de pressions sont intrinsèquement surfaciques, mais la résultante des
forces de pression s’exerçant sur une particule de fluide s’écrit :
# »
d~ FP=−
# »
gradp(M)dV(M)
Elle est donc équivalente à une action volumique de densité :
~
fP=−
# »
gradp(M)
Conclusion
I.2.b Action tangentielle : densité volumique des forces de viscosité
On appelle écoulement de cisaillement un écoulement tel que :
•le champ de vitesse est dirigé dans une unique direction ;
•le champ de vitesse en dépend que d’une variable orthogonale à la direction de la
vitesse.
Définition
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Exemple : :~v(M, t) = v(y, t)#» ux
Soit un fluide en écoulement de cisaillement du type ~v(M, t) = v(y, t)#» ux
Soit une surface élémentaire dS(M)dans le plan y=y0. Alors la composante tangen-
tielle de l’action de la particule de fluide située en y > y0sur celle située en y < y0,
sur la surface dS(M), est donnée par la loi :
# »
d~ Fη,s =η∂v
∂y y=y0
dS(M)#» ux
où ηest la viscosité dynamique du fluide.
Loi de Newton
Unité : ηs’exprime en poiseuilles : 1 Pl=............
Quelques ordres de grandeur :
•air : η∼1,8.10−5Pl
•eau : η∼10−3Pl
•huile : η∼0,1Pl
•glycerine : η∼1,4Pl
Cette loi n’est pas valable pour tous les fluides, mais seulement pour les fluides dits
"newoniens", pour lesquels la viscosité est une constante.
Important
Remarque :
•cette force est nulle au repos, ou si la vitesse est uniforme
•si v(y > y0)> v(y < y0)alors dFx>0: la particule de fluide la plus rapide entraine sa
voisine (et est donc réciproquement retenue par celle-ci) :
•cette force tend à uniformiser les vitesses, ce qui est caractéristique d’un phénomène de
diffusion.
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