HOMOLOGIE-HOMOTOPIE : NOTIONS ÉLÉMENTAIRES Table des

HOMOLOGIE-HOMOTOPIE : NOTIONS ÉLÉMENTAIRES
MAMOUNI MY ISMAIL
Table des matières
1. Catégories et foncteurs 2
2. Complexe de chaines 2
3. Homologie 2
4. Simplexe standard 3
5. Homologie Singulière 4
6. Cohomologie Singulière 5
7. Dualité de Poincaré 5
8. Homotopie 6
9. Groupes d’Homotopie 6
10. CW-complexes 7
11. Homotopie Rationnelle 8
12. Un peu d’Histoire 9
13. Annexe : Fibrations 11
Références 13
This notes were written for the 5th GeToPhyMa Summer School on ’“Rational Homotopy Theory and
its Interaction” (July 11–21, 2016, Rabat, Morocco) celebrating Jim Stasheff and Dennis Sullivan for their
respective 80th and 75th birthdays.
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2 M.I. MAMOUNI
1. Catégories et foncteurs
Une catégorie Cest la donnée :
— d’une collection d’objets.
— de flèches f:X−→ Yliant tout couple d’objets (X, Y ). Ces flèches, dont l’ensemble
est noté hom(X, Y )sont appelés des morphismes
— D’une composition de flèches
◦:: hom(X, Y )×hom(Y, Z)−→ hom(X, Z)
(f, g)7−→ g◦f
associative et admettant un élément neutre idXpour tout objet X.
Comme exemple de catégorie on peut citer celle des ensembles dont les morphismes sont
les applications, celle des espaces topologiques dont les morphismes sont les applications
continues, celle des groupes dont les morphismes sont les morphismes de groupes, ou enfin
celle des espaces vectoriels dont les morphismes sont les applications linéaires.
2. Complexe de chaines
On appelle complexe de chaines toute famille (Cn)n∈Nde modules équippés d’une famille
de morphismes dn:Cn−→ Cn−1vérifiant dn◦dn+1 = 0, avec la convention C−1= 0. En
particulier Imdn+1 ⊂ker dn.
Les éléments de c∈Cnsont dits de degré n, on écrit alors deg c=nou bien |c|=n. Pour
des raisons de simplicité d’écriture, on adoptera les notation suivantes :
—C=M
n∈N
Cn.
—d:C−→ Ctel que d|Cn=dn.
En particulier d2= 0. On dit que dest une différentielle.
3. Homologie
Soit (C, d)un complexe de chaine. Comme Bn+1 := Imdn+1 ⊂Zn:= ker dn, on pose
Hn(C, d) := Zn/Bn+1 n-ème groupe de homologie
βn(C) := rgHn(C, d)n-ème nombre de Betti
χc(C) := X
n
(−1)nβnInvariant homologique d’Euler-Poincaré.
— les éléments de Zns’appellent des n-cycles ;
— les éléments de Bns’appellent des n-bords ;
— les élèments de [x]∈Hn(C, d)s’appellent des classes d’homologie de degré n.
Les groupes d’homologie mesurent l’obstruction qu’un cycle soit un bord. Plus precisement
si [x] = [y], alors dx =dy = 0 et x−y=dc.
H∗(C, d) := M
n∈N
Hn(C, d)Homologie de (C, d).

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4. Simplexe standard
On appelle n-simplex standard (ou simplexe standard de dimension n), la partie de Rn
notée ∆ndéfinie par ∆n= l’enveloppe convexe dans Rndes points e0, e1,· · · , en, où e0=
(0,· · · ,0) et ei= (0,· · · ,0,1,0,· · · ,0), le 1 étant placé à la i-ème position. Ainsi :
—∆0est un point ;
—∆1est un segment ;
—∆2est un triangle plein ;
—∆3est un tétraèdre plein.
On appelle k-face d’un n-simplex donné ∆n, tout k-simplex σ⊂∆nengendré par une famille
de kéléments parmi e0, e1,· · · , en. En particulier
— les 0-faces d’un n-simplex stantard sont ses sommets ;
— ses 1-faces sont ses arêtes ;
— ses 2-faces sont ses triangles ;
Quand on calcule le nombre des n-faces des simplexes, on obtient une sorte de triangle de
Pascal comme suit :
Simplexe sommets arêtes 2-faces 3-faces 4-faces 5-faces 6-faces
Point 1 - - - - - - 0
Segment 2 1 - - - - - 2
Triangle 3 3 1 - - - - 3-3=0
Tétraèdre 4 6 4 1 - - - 4-6+4=2
Pentachore 5 10 10 5 1 - - 5-10+10-5=0
5-simplexe 6 15 20 15 6 1 - 6-15+20-15+6=2
6 simplexe 7 21 35 35 21 7 1 7+21-35+35-21+7=0
En posant
n−1
X
i=0
(−1)iNi, où Niest le nombre de i-faces de ∆n, on obtient la caractéristique
d’Euler-Poincaré du simplexe, qui vaut 0 pour les simplexes de dimension pair et 2 pour les
simplexes de dimension impair.
L’application bord ∂est définie sur tout n-simplex, ∆n, par :
∂∆n:=
n
X
i=0
(−1)i∆i
n−1,
où ∆i
n−1sont les (n−1)-faces de ∆n, il y en a exactement n+ 1. En particulier, on a :
— Si ∆0=Aest un 0-simplex, alors ∂∆0= 0 (convention) ;
— Si ∆1= [A, B]est un 1-simplex, alors ∂∆1=B−A;
— Si ∆2= (ABC)est un 2-simplex, alors ∂∆2= [A, B]−[B, C]+[C, A].

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Un calcul simple montre que ∂2A= 0, ∂2[A, B]=0et ∂2(ABC) = 0.
Exercice 1. ∂2∆n= 0 pour tout n∈N.
Soit Kun module, on appelle n-chaine toute somme formelle Pniσi, à coefficient dans K
et a support fini de n-simplex. Si Cndesigne l’ensemble des n-chaines, alors ∂:Cn−→ Cn−1.
On obtient alors un complexe de chaines (C∗, ∂)où C∗:= M
n∈N
Cn.
Exercice 2. Donner des exmples de
— 0-cycles et 0-bords ;
— 1-cycles et 1-bords ;
— 2-cycles et 2-bords.
5. Homologie Singulière
On appelle n-simplex singulier d’un espace topologique X, toute application continue
σ: ∆n−→ X. En identifiant σavec son image dans X, on conclut que
—0-simplex singulier de X: point inclu dans X;
—1-simplex singulier de X: chemin inclu dans X;
—2-simplex singulier de X: "surface" inclue dans X;
—3-simplex singulier de X: "volume" inclu dans X.
Si Kest un module, on appelle n-chaine toute somme formelle Pniσide n-simplex, à
coefficient dans Ket a support fini. Cn(X;K)designera dans toute la suite l’ensemble de
telles chaines.
L’opérateur de bord ∂:Cn(X;K)−→ Cn−1(X;K)est défini par
∂σ :=
n
X
i=0
(−1)iσ|∆i
n−1.
Exercice 3.
∂2= 0
On obtient un complexe de chaines (C∗(X;K), ∂), dont l’homologie associée s’appelle
homologie singulière de Xà coefficients dans Ket se note H∗(X;K).
H0(X;Z)décrit le nombre de composantes connexes, Hn(X;K)celui des creux independants
de dimension n. Un creu de dimension 1 est un cercle, en dimension 2 c’est sphère, ...
Exercice 4.
(1) H∗(pt;Z) =? ;
(2) H∗(S1;Z) =? ;
(3) H∗(S2;Z) =? ;
(4) H∗(T2;Z) =?.

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6. Cohomologie Singulière
Un complexe de cochaines est la donnée d’une famille (Cn)n∈Nde modules équippés d’une
famille de morphismes dn:Cn−→ Cn+1 vérifiant dn+1 ◦dn= 0.
En particulier Bn:= Imdn⊂Zn+1 = ker dn+1, on pose alors
Hn(C, d) := Zn+1/Bnn-ème groupe de cohomologie
— les éléments de Zns’appellent des n-cocycles ;
— les éléments de Bns’appellent des n-cobords ;
— les élèments de [x]∈Hn(C, d)s’appellent des classes de cohomologie de degré n.
Pour un espace topologique donnée Xet un module donné K. Si on muni
Cn(X;K) := Hom(Cn(X;K))
de d:= ∂#(transposée de ∂), on obtient le complexe de cochaine C∗(X;K), d), dont la
cohomologie associée est appellée cohomologie singulière de Xà coefficients dans K.
7. Dualité de Poincaré
Soit Xun espace topologique et Kun anneau. Le cap produit noté _est défini par
_:: Cp(X;K)×Cq(X;K)−→ Cp−q(X;K)
(σ, δ)7−→ σ _ δ := δ(σ|[e0,...,eq])σ|[eq,...,ep]
où [e0, . . . , eq]désigne la face engendrée par les vecteurs e0, . . . , eq. On obtient alors une ap-
plication bilinéaire, qui se prolonge naturellement en homologie et cohomologie pour donner
_:Hp(X;K)×Hq(X;K)−→ Hp−q(X;K).
Si Xest une variété fermée orientable de dimension n, il est connu que dim Hn(X;Q)=1et
que Hk(X;Q) = 0 pour tout k > n. On note par [X]le généréteur Hn(X;Q), appellé classe
fondamentale de X.
En particulier, pour tout [σ]∈Hk(X;Q), on a [X]_[σ]∈Hn−k(X;Q). Ce qui permet de
définir une application linéaire :
D:: Hk(X;Q)−→ Hn−k(X;Q)
[σ]7−→ D[σ] := [X]_[σ]
.
Théorème de dualité de Poincaré.
Si Xest une variété fermée orientable de dimension n, alors l’application
D:Hk(X;Q)−→ Hn−k(X;Q)est un isomorphisme. Autrement dit :
Hk(X;Q)∼
=Hn−k(X;Q).(Dualité de Poincaré)
De façon similaire et duale, on peut définir la notion du cup produit,
^:Hp(X;K)×Hq(X;K)−→ Hp+q(X;K),
comme suit : Pour tout α∈Cp(X;K), β ∈Cq(X;K)et tout p+q-simplexe singulier
σ: ∆p+q−→ X, on pose
(α ^ β)(σ) := α(σ|[e0,...,ep].β(σ|[ep,...,ep+q]).
On a les propriétés suivantes