CHAPITRE 3 : TRANSFORMATION DE LAPLACE

CHAPITRE 3 :
TRANSFORMATION DE LAPLACE
TRANSFORMATION DE LAPLACE ............................................................................ 27
D ÉFINITIONS ....................................................................................................................... 28
P ROPRIÉTÉS ........................................................................................................................ 30
Linéarité......................................................................................................................... 30
Dérivation et intégration ............................................................................................... 32
Valeurs finale et initiale ................................................................................................ 33
Retard (décalage temporel) ........................................................................................... 36
A PPLICATION AUX SYSTÈMES LINÉAIRES ............................................................................ 38

Chapitre 3 Transformation de Laplace
Systèmes et commande linéaires GEL-2005 28
D ÉFINITIONS
Supposons y(t), un signal fonction du temps défini pour t > 0. La transformée de Laplace de y(t)
est Y(s), une fonction de la variable complexe s. La transformée de Laplace Y(s) de y(t) est
définie ainsi:
Y s e y t dt Ly t
st
o
( ) ( )= =
−
∞
−
∫
( )
La correspondance entre Y(s) et y(t) (t > 0) est biunivoque. Connaissant Y(s), on peut déduire y(t)
(t > 0). On dit que y(t) est la transformée inverse de Y(s):
y t L Y s( ) ( )=
-1
La transformée de Laplace de y(t) n'existe que si l'intégrale e y t dt
-st
0
−
∞
∫
( ) a un sens. Il faut donc
que la fonction y(t) soit intégrable et croisse moins vite, pour t infini, qu'une exponentielle.
Dans la définition de la transformée de Laplace, la borne d’intégration inférieure est prise à 0
-
pour tenir compte d’une éventuelle impulsion à t = 0. En absence d’impulsion à t = 0, la borne
pourrait aussi bien être 0 ou 0
+
.
__________________________________
E XEMPLE 3.1
Calculez la transformée de Laplace de y(t) = 1, t > 0.
[ ]
[ ]
Y s e dt ses s
st st
( ) = = − = − − =
−
∞
−∞
−
−
∫
0
0
1 1 0 1 1
Cette transformée n'est correcte que si lim
t
-st
e
→∞
→ 0 . Cette condition est le seuil de définition de
cette transformée de Laplace:
Re
s
>
0
__________________________________
Le tableau 3.1 donne les transformées de Laplace couramment utilisées.
Dans le cadre de l'étude des systèmes linéaires, il est très important de noter la correspondance
entre les pôles de Y(s) et la nature mathématique de y(t) (tableau 3.2).

Chapitre 3 Transformation de Laplace
Systèmes et commande linéaires GEL-2005 29
y(t) pour t > 0 Y(s) Seuil de définition Pôles de Y(s)
1 1
s
Re
s
>
0
0
δ
( )t 1
Re
s
>
−∞
-
t 1
2
s
Re
s
>
0
0, double
e
at−
1
s
a
+
Re
s
a
>
−
-a
te
at−
1
2
( )s a +
Re
s
a
>
−
-a, double
cos
t
ω
s
s
2 2
+ ω
Re
s
>
0
±
j
ω
sin t
ω
ω
ω
s
2 2
+
Re
s
>
0
±
j
ω
e t
at−
cos ω
( )
s a
s a
+
+ +
22
ω
Re
s
a
>
−
−
±
a
j
ω
e t
at−
sin ω
( )
ω
ωs a+ +
22
Re
s
a
>
−
−
±
a
j
ω
Tableau 3.1
Pôles de Y (s) y(t)
réel simple Exponentielle
imaginaires purs (paire) Sinus (ou cosinus)
complexes (paire) Sinus (ou cosinus) multipliée par une exponentielle
à partie réelle positive Amplifiée
à partie réelle nulle Périodique
à partie réelle négative Amortie
Tableau 3.2

Chapitre 3 Transformation de Laplace
Systèmes et commande linéaires GEL-2005 30
Si le pôle (ou la paire de pôles) est d'ordre n, alors y(t) est de même nature que si le pôle (ou la
paire de pôle) était simple mais en plus, il faut multiplier par
t
n− 1
.
La fréquence d'une fonction périodique correspond à la partie imaginaire des pôles de sa
transformée de Laplace.
Plus la partie réelle du pôle est négative plus la fonction est amortie rapidement. Lorsque la
partie réelle est nulle, la fonction n'est ni amortie ni amplifiée. Plus la partie réelle est grande et
positive, plus la fonction est amplifiée rapidement.
__________________________________
E XEMPLE 3.2
La fonction Y(s) possède deux paires de pôles complexes situés à
−
±
3
4
j
. Que pouvez-vous
dire sur y(t)?
Pôles complexes: y(t) est une exponentielle multipliée par une sinusoïde.
Partie réelle négative: l'exponentielle est amortie.
Valeur de la partie imaginaire: la fréquence de la sinusoïde est 4 rad/sec.
Pôles d'ordre 2: on multiplie par t.
La nature mathématique de y(t) est donc:
y t t e t
-at
( ) sin( )= + 4 φ
où a > 0.
__________________________________
P ROPRIÉTÉS
Linéarité
Additivité:
[
]
L y t y t L y t L y t
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )+ = +
Homogénéité:
L
ay
t
a
L y
t
(
)
=
(
)
où a est une constante
Combinaison linéaire:
[
]
L a y t a y t a L y t a L y t ..
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ... ( ) ( ) .+ + = + +

Chapitre 3 Transformation de Laplace
Systèmes et commande linéaires GEL-2005 31
où a a
1 2
, , ... sont des constantes.
Ces propriétés se démontrent facilement à l'aide de la définition de la transformée de Laplace.
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E XEMPLE 3.3
Calculez la transformée inverse de
Y s s s s ( ) ( )( ) =+ +
3
1 3
La décomposition en éléments simples donne:
Y s s s s
A
s
B
s
C
s
( ) ( )( ) =+ + = + +++
3
1 3 1 3
Calcul de A:
3
1 3 1 3( )( )s s ABs s
Cs
s+ + = + +++
Pour s = 0, on trouve:
3
3
1= =A
Calcul de B:
3
3
1 1
3s s
A s
sBC s s( )
( ) ( )
+=
+
+ +
+
+
Pour s = -1, on trouve :
3
2
15
−= = −B.
Calcul de C:
3
1
3 3
1s s
A s
s
B s
sC ( )
()()
+=
+
+
+
++
Pour s = -3, on trouve: