1 Théorème d`équipartition de l`énergie

Maitrise Sciences-Physique 2003-04
TD de physique statistique
Feuille de TD n5
Capacite thermique des solides
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Théorème d'équipartition de l'énergie
références : Guinnier p12, Diu p304
Théorème d'équipartition de l'énergie :
Supposons que l'énergie totale d'une particule soit de la forme
E = Ec + Ep (x)
Avec l'énergie cinétique selon x :
Ec =
1 2
p
2m x
et le potentiel quadratique Ep (x) = 1/2Kx2 .
Alors si la particule est dans un environnement à la température T , son énergie cinétique
uctue, mais en moyenne :
1
< Ec >= kT
2
1
Cela ne dépend pas du coecient 2m devant p2 , mait tient seulement au fait que la
variable p soit au carré dans l'expression de E .
Chaque terme quadratique intervenant dans l'énergie totale E vaut 1/2kT
en moyenne, (à condition que E soit une somme de termes quadratiques).
1. Supposer qu'un gaz dans une enceinte (à 3 dimensions) à la température T contienne
deux types de particules : de masse M et de masse m, avec m < M . Comparer la
moyenne des vitesses au carré respectives < V 2 > et < v 2 > ?
2. On considère un cristal (trois dimensions), où chaque atome peut vibrer autour
de sa position d'équilibre. Justier pourquoi, en première approximation, on peut
considérer que chaque atome oscille dans un potentiel harmonique. Donner alors
l'expression de l'énergie instantanée d'un atome.
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3. En appliquant le théorème d'équipartition de l'énergie, en déduire la contribution des
atomes à la capacité thermique molaire C = d < E > /dT du cristal (Loi empirique
de Dulong-Petit 1810). Comparer aux courbes expérimentales ci-dessous.
C
Cuivre
25 J/K
Diamant
0
2
300
T (K)
Capacité Thermique du réseau cristallin : modèle d'Einstein (1907)
référence : Guinnier p16, Diu p.378
Le résultat ci-dessus du théorème d'équipartition de l'énergie n'explique pas le comportement de C(T ) à basse température. En 1907 (avant la naissance de la mécanique
quantique) Einstein a montré que ce comportement est d'origine quantique.
1. On considère maintenant que la vibration de chaque atome sur son site est quantiée.
Il oscille à la pulsation ω. Rappeler l'expression des niveaux quantiques d'énergie
En , n = 0, 1, 2, ... d'une particule oscillant à une dimension ?
2. Avant tout calcul, montrer qu'il y a une énergie caractéristique, et donc une température caractéristique ΘE (température d'Einstein) dans le problème ? Discuter les
valeurs attendues de C(T ) pour T ΘE et T ΘE ?
3. Pour un atome oscillant à une dimension, écrire la probabilité d'occupation du
niveau n à la température T (donnée par la loi de Boltzmann) ?
4. En déduire l'expression de l'énergie moyenne < E > (en faisant intervenir ΘE ).
5. En déduire l'expression suivante de la capacité thermique molaire du réseau cristallin :
2
C=
ΘE
d<U >
= 3R
dT
2T
1
2
sinh
ΘE
2T
Allure de la courbe ? (cette courbe ne coincide pas avec les résultats expérimentaux
pour T → 0 (modèle de Debye))
2
6. Pour le diamant, corps très dur, ΘE = 2000K. Pour le cuivre, métal plus mou, ΘE =
244K. comment expliquer ce rapprochement entre ces deux propriétés apparemment
si éloignées, la constante d'élasticité, et la capacité thermique ?
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Solutions du TD 5
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Exercice
texte
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