Le cours - Playmaths

Etude de fonctions
QCM p.58
I.
Fonctions usuelles
1) Variations
Soit f une fonction définie sur in intervalle I.
Dire que f est strictement croissante sur I signifie
que pour tous réels x1 et x2 de I :
Si x1 < x2 alors f(x1) < f(x2).
(Une fonction croissante conserve l’ordre.)
Dire que f est strictement décroissante sur I
signifie que pour tous réels x1 et x2 de I :
Si x1 < x2 alors f(x1) > f(x2).
(Une fonction décroissante change l’ordre.)
Pour une fonction croissante ou décroissante, on remplace les inégalités strictes de f(x1) et
f(x2).par des inégalités larges.
Dire que f est constante sur I signifie que pour tous réels x1 et x2 de I , on a f(x1) = f(x2).
Une fonction monotone sur I est une fonction soit croissante sur I, soit décroissante sur I.
Ex 9-10 p.80
2) Fonctions affines
Soit f(x) = ax + b une fonction affine.
Variations :
Si a > 0, la fonction affine est croissante sur Ë.
Si a = 0, la fonction affine est constante sur Ë.
Si a < 0, la fonction affine est décroissante sur Ë.
*
Signe :
Si a  0
x
–
f(x)
–

b
a
0
+
+
Représentation graphique :
La courbe représentative d’une fonction affine est la droite d’équation y = ax+b.
1
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3) Fonction carré
Définition :
La fonction définie sur ℝ, qui à tout réel x associe son carré x², est appelée fonction carré.
Signe :
Parité : La fonction carré est paire ; f(-x) = f(x)
Conséquence graphique :
Dans un repère orthogonal, la parabole P représentant la fonction carré est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées.
Variations :
Dem :
Soient a et b deux réels.
f(a) – f(b) = a² - b² = (a + b)(a – b) …
Représentation graphique :
Dans un repère orthogonal d’origine O, la représentation graphique de la fonction carré est
appelée parabole de sommet O.
Ex 1-2-3-4 p.80
Ex 11 p.80
4) Fonction inverse
Définition :
La fonction définie sur ℝ*= Ë/{0} , qui à tout réel x associe son inverse
fonction inverse.
1
, est appelée
x
Signe :
Parité : la fonction inverse est impaire ; f(-x) = - f(x)
Conséquence graphique
Dans un repère orthogonal, l’hyperbole H représentant la fonction inverse est symétrique
par rapport O.
Variations :
Dem :
f(b) – f(a) = … =
a b
…
ab
Représentation graphique :
Dans un repère orthogonal d’origine O, la représentation graphique de le fonction inverse
est appelée hyperbole.
Ex 5-6-7-8-12 p.80
2
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5) Fonction racine carrée
Définition ;
La fonction définie sur Ë+ = [0 : +∞ [, qui à tout réel x associe
racine carrée.
x est appelée fonction
Signe :
Variations :
Dem :
f(b) – f(a) = … =
ba
b a
…
Représentation graphique :
Ex 16-17-18 p.81
II. Fonction valeur absolue
1) Définition
Soit x un réel, et M le point d’abscisse x de la droite des réels.
La valeur absolue de x, notée x est la distance OM.
Ainsi OM = d (O, x) = x
Exemples :
2) Propriétés :
Si x est positif, x = x
Si x est négatif, x = – x
Deux nombres opposés ont la même valeur absolue :  x = x .
La valeur absolue d’un nombre est toujours positive : x ≥ 0
Exemples :
Propriété :
Soient a et b deux réels ; A le point d’abscisse a et B le point d’abscisse b.
La distance entre a et b est la valeur absolue de leur différence :
AB = d (a, b) = b - a = a – b
3) Propriétés algébriques
x = 0 équivaut à x = 0.
x  y
équivaut à x = y ou x = -y
xy  x  y
3
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Si y  0,
x
x

y
y
Inégalité triangulaire :
xy  x  y
Applications : exemples d’équations
Ex 20 à 25 p.81
4) Fonction valeur absolue
Définition :
La fonction valeur absolue est la fonction définie sur Ë par f(x) = x
Parité :
La fonction valeur absolue est paire.
Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Propriété :
La fonction variable absolue est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0] et strictement
croissante sur [0 ; +∞[.
Dem :
La fonction valeur absolue est affine par morceaux …
Tableau de variations
Représentation graphique :
Ex 28-29-30-32-33-34 p.82
III. Position relative de courbes
1) Définition
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et Cf et Cg leurs courbes
représentatives dans un repère du plan.
On dit que f est supérieure à g (on note f ≥ g) sur I lorsque pour tout réel x de I on a :
f(x) ≥ g(x).
La courbe Cf est au-dessus de Cg sur l’intervalle I.
On dit que f est inférieure à g (on note f ≤ g) sur I lorsque pour tout réel x de I on a :
f(x) ≤ g(x).
La courbe Cf est en-dessous de Cg sur l’intervalle I.
On dit que f est égale à g (on note f = g) sur I lorsque pour tout réel x de I on a :
f(x) = g(x).
La courbe Cf est confondue avec Cg sur l’intervalle I.
4
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2) Positions relatives des fonctions usuelles
Soit Cf, Cg et Ch les courbes représentatives des fonctions f, g et h définies sur [0 ; +∞[ par
f(x) = x ; g(x) = x² et h(x) = x .
Toutes ces courbes passent par l’origine O du repère, et par le point A(1 ;1).
Si 0 ≤ x ≤ 1, alors x² ≤ x ≤ x .
Si x ≥ 1, alors
x ≤ x ≤x²
Dem :
Si 0 < x < 1 alors
] 0 ; 1[
x < 1 puis x <
x puis en élevant au carré x²< x, d’où x²< x <
x sur
Si x > 1 ….
Ex 40 p.83
IV. Fonctions associées
1) Fonction u + k
Définition :
Soit u une fonction définie sur un intervalle I, et k un réel.
La fonction u + k est la fonction définie sur I par (u +k)(x) = u(x) + k.
Propriété :
La fonction u +k a les mêmes variations que la fonction u sur l’intervalle I.
Dem :
Représentation graphique
Cu+k est l’image de la courbe Cu par la translation de
vecteur k Error!.
2) Fonction ku
Définition :
Soit u une fonction définie sur un intervalle I, et k un réel.
La fonction ku est la fonction définie sur I par (ku)(x) = k.u(x).
Propriété :
Si k > 0, les fonctions u et ku ont les mêmes sens de variations sur l’intervalle I.
Si k < 0, la fonction u et ku ont des variations de sens contraires sur l’intervalle I.
Dem :
5
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u
3) Fonction
Définition :
Soit u une fonction positive définie sur un intervalle I.
( u )(x)  u(x)
La fonction u est la fonction définie sur I par
.
Propriété :
La fonction
u a les mêmes variations que la fonction u sur l’intervalle I.
Dem :
4) Fonction
1
u
Définition :
Soit u une fonction définie sur un intervalle I, telle que pour tout x de I u(x) est non nul et
de signe constant.
1
1
1
 (x) 
u(x) .
La fonction u est la fonction définie sur I par  u 
Propriété :
1
Les fonctions u et u ont des variations des sens contraires sur l’intervalle I.
Exemples :
Ex 42 à 46 p.83
3
1
2
;
;3 
1x
Etudier les variations des fonctions x²  5 x²  1
Ex 48-50-51-52 p.84
Ex 58-60 p.85
6
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