Etude de fonctions QCM p.58 I. Fonctions usuelles 1) Variations Soit f une fonction définie sur in intervalle I. Dire que f est strictement croissante sur I signifie que pour tous réels x1 et x2 de I : Si x1 < x2 alors f(x1) < f(x2). (Une fonction croissante conserve l’ordre.) Dire que f est strictement décroissante sur I signifie que pour tous réels x1 et x2 de I : Si x1 < x2 alors f(x1) > f(x2). (Une fonction décroissante change l’ordre.) Pour une fonction croissante ou décroissante, on remplace les inégalités strictes de f(x1) et f(x2).par des inégalités larges. Dire que f est constante sur I signifie que pour tous réels x1 et x2 de I , on a f(x1) = f(x2). Une fonction monotone sur I est une fonction soit croissante sur I, soit décroissante sur I. Ex 9-10 p.80 2) Fonctions affines Soit f(x) = ax + b une fonction affine. Variations : Si a > 0, la fonction affine est croissante sur Ë. Si a = 0, la fonction affine est constante sur Ë. Si a < 0, la fonction affine est décroissante sur Ë. * Signe : Si a 0 x – f(x) – b a 0 + + Représentation graphique : La courbe représentative d’une fonction affine est la droite d’équation y = ax+b. 1 http://playmaths.free.fr 3) Fonction carré Définition : La fonction définie sur ℝ, qui à tout réel x associe son carré x², est appelée fonction carré. Signe : Parité : La fonction carré est paire ; f(-x) = f(x) Conséquence graphique : Dans un repère orthogonal, la parabole P représentant la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Variations : Dem : Soient a et b deux réels. f(a) – f(b) = a² - b² = (a + b)(a – b) … Représentation graphique : Dans un repère orthogonal d’origine O, la représentation graphique de la fonction carré est appelée parabole de sommet O. Ex 1-2-3-4 p.80 Ex 11 p.80 4) Fonction inverse Définition : La fonction définie sur ℝ*= Ë/{0} , qui à tout réel x associe son inverse fonction inverse. 1 , est appelée x Signe : Parité : la fonction inverse est impaire ; f(-x) = - f(x) Conséquence graphique Dans un repère orthogonal, l’hyperbole H représentant la fonction inverse est symétrique par rapport O. Variations : Dem : f(b) – f(a) = … = a b … ab Représentation graphique : Dans un repère orthogonal d’origine O, la représentation graphique de le fonction inverse est appelée hyperbole. Ex 5-6-7-8-12 p.80 2 http://playmaths.free.fr 5) Fonction racine carrée Définition ; La fonction définie sur Ë+ = [0 : +∞ [, qui à tout réel x associe racine carrée. x est appelée fonction Signe : Variations : Dem : f(b) – f(a) = … = ba b a … Représentation graphique : Ex 16-17-18 p.81 II. Fonction valeur absolue 1) Définition Soit x un réel, et M le point d’abscisse x de la droite des réels. La valeur absolue de x, notée x est la distance OM. Ainsi OM = d (O, x) = x Exemples : 2) Propriétés : Si x est positif, x = x Si x est négatif, x = – x Deux nombres opposés ont la même valeur absolue : x = x . La valeur absolue d’un nombre est toujours positive : x ≥ 0 Exemples : Propriété : Soient a et b deux réels ; A le point d’abscisse a et B le point d’abscisse b. La distance entre a et b est la valeur absolue de leur différence : AB = d (a, b) = b - a = a – b 3) Propriétés algébriques x = 0 équivaut à x = 0. x y équivaut à x = y ou x = -y xy x y 3 http://playmaths.free.fr Si y 0, x x y y Inégalité triangulaire : xy x y Applications : exemples d’équations Ex 20 à 25 p.81 4) Fonction valeur absolue Définition : La fonction valeur absolue est la fonction définie sur Ë par f(x) = x Parité : La fonction valeur absolue est paire. Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Propriété : La fonction variable absolue est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +∞[. Dem : La fonction valeur absolue est affine par morceaux … Tableau de variations Représentation graphique : Ex 28-29-30-32-33-34 p.82 III. Position relative de courbes 1) Définition Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et Cf et Cg leurs courbes représentatives dans un repère du plan. On dit que f est supérieure à g (on note f ≥ g) sur I lorsque pour tout réel x de I on a : f(x) ≥ g(x). La courbe Cf est au-dessus de Cg sur l’intervalle I. On dit que f est inférieure à g (on note f ≤ g) sur I lorsque pour tout réel x de I on a : f(x) ≤ g(x). La courbe Cf est en-dessous de Cg sur l’intervalle I. On dit que f est égale à g (on note f = g) sur I lorsque pour tout réel x de I on a : f(x) = g(x). La courbe Cf est confondue avec Cg sur l’intervalle I. 4 http://playmaths.free.fr 2) Positions relatives des fonctions usuelles Soit Cf, Cg et Ch les courbes représentatives des fonctions f, g et h définies sur [0 ; +∞[ par f(x) = x ; g(x) = x² et h(x) = x . Toutes ces courbes passent par l’origine O du repère, et par le point A(1 ;1). Si 0 ≤ x ≤ 1, alors x² ≤ x ≤ x . Si x ≥ 1, alors x ≤ x ≤x² Dem : Si 0 < x < 1 alors ] 0 ; 1[ x < 1 puis x < x puis en élevant au carré x²< x, d’où x²< x < x sur Si x > 1 …. Ex 40 p.83 IV. Fonctions associées 1) Fonction u + k Définition : Soit u une fonction définie sur un intervalle I, et k un réel. La fonction u + k est la fonction définie sur I par (u +k)(x) = u(x) + k. Propriété : La fonction u +k a les mêmes variations que la fonction u sur l’intervalle I. Dem : Représentation graphique Cu+k est l’image de la courbe Cu par la translation de vecteur k Error!. 2) Fonction ku Définition : Soit u une fonction définie sur un intervalle I, et k un réel. La fonction ku est la fonction définie sur I par (ku)(x) = k.u(x). Propriété : Si k > 0, les fonctions u et ku ont les mêmes sens de variations sur l’intervalle I. Si k < 0, la fonction u et ku ont des variations de sens contraires sur l’intervalle I. Dem : 5 http://playmaths.free.fr u 3) Fonction Définition : Soit u une fonction positive définie sur un intervalle I. ( u )(x) u(x) La fonction u est la fonction définie sur I par . Propriété : La fonction u a les mêmes variations que la fonction u sur l’intervalle I. Dem : 4) Fonction 1 u Définition : Soit u une fonction définie sur un intervalle I, telle que pour tout x de I u(x) est non nul et de signe constant. 1 1 1 (x) u(x) . La fonction u est la fonction définie sur I par u Propriété : 1 Les fonctions u et u ont des variations des sens contraires sur l’intervalle I. Exemples : Ex 42 à 46 p.83 3 1 2 ; ;3 1x Etudier les variations des fonctions x² 5 x² 1 Ex 48-50-51-52 p.84 Ex 58-60 p.85 6 http://playmaths.free.fr