Calcul différentiel sur Rn Premi`ere partie

Calcul diff´erentiel sur Rn
Premi`ere partie
Universit´e De Metz
2006-2007
1 D´efinitions g´en´erales
On note L(Rn,Rm) l’espace vectoriel des applications lin´eaires de Rndans Rm.
D´efinition 1.1 (diff´erentiabilit´e en un point ) :
Soit fune application d’un ouvert Ωde Rn`a valeur dans Rm. On consid`ere
deux normes sur Rnet Rmque l’on notera de fa¸on identique k.k. On dit que f
admet au point a∈Ωune d´eriv´ee L
1. Si Lest une application lin´eaire de Rndans Rm
2. Et si pour tout ´el´ement h∈Rntel que a+h∈Ωon ait
f(a+h) = f(a) + L.h +ε(h)khk
o`u ε(h)est une fonction de Rndans Rmqui tend vers 0l’origine de Rm
quand htend vers 0l’origine de Rn.
Notation 1.1 (notation o(h)):
On dit qu’une fonction ϕ(h)de Rndans Rmest n´egligeable devant khksi
lim
h→0
ϕ(h)
khk= 0
On note o(h)une telle fonction.
Avec cette notation on a
f(a+h) = f(a) + L.h +o(h) (1)
Cette relation est la propri´et´e fondamentale d’une fonction d´erivable en a.
Lemme 1.1 (arithm´etique des fonctions o(h)):
1. o(h) + o(h) = o(h)
2. o(h) = −o(h)
3. Pour tout r´eels (λ, µ)on a λo(h) + µo(h) = o(h)
1

Cela r´esulte des propri´et´es des fonctions qui ont pour limite 0
Remarque 1.1 :
La propri´et´e fondamentale (1) peut s’´ecrire de fa¸con ´equivalente
f(x) = f(a) + L.(x−a) + o(x−a) (2)
Remarque 1.2 :
Il faut faire attention que o(h)est un vecteur de Rm. On a ´evidemment avec la
d´efinition de limite
lim
h→0kϕ(h)k
khk= 0
On ne peut pas «diviser »par hqui est un vecteur de Rn.
Remarque 1.3 :
On ne peut d´efinir la notion de d´eriv´ee que en un point d’un ouvert. Cela signifie
que ce point doit ˆetre contenu dans un ouvert lui-mˆeme contenu dans le domaine
de d´efinition de f
Remarque 1.4 :
L’existence de la d´eriv´ee ne d´epend pas des normes choisies, puisque toutes les
normes sont ´equivalentes sur Rnet Rm.
Remarque 1.5 :
Puisque
kf(a+h)−f(a)−L.hk=o(h)
On dit que f(a) + L.h est une bonne approximation de f(a+h).
Remarque 1.6 :
La d´efinition est ´equivalente `a l’existence de L∈ L(Rn,Rm)telle que
lim
h→0kf(a+h)−f(a)−L.hk
khk= 0
o`u de fa¸con ´equivalente
lim
x→akf(x)−f(a)−L.(x−a)k
khk= 0
Notation 1.2 (de la d´eriv´ee en un point) :
La d´eriv´ee sera not´ee de fen asera not´ee Df (a)
Attention c’est une application lin´eaire.
Proposition 1.1 :
Si fest d´erivable en a, sa d´eriv´ee est unique et fest continue en a
2

preuve
Supposons que M∈(Rn,Rm) est aussi telle que
kf(a+h)−f(a)−M.hk=o(h)
Attention o(h) de cette formule n’est pas forc´ement la mˆeme que la fonction
o(h) apparaissant dans la formule avec L. Par commodit´e notons ∆(h) = f(a+
h)−f(a). On a L.h = ∆(h) + o(h)
kL.h −M.hk=ko(h)−o(h)k=ko(h)k
Soit x6= 0 un ´el´ement quelconque de Rn. Par hypoth`ese
(L−M)h
khk
a pour limite 0 quand htend vers 0. Posons h=λ x avec λ > 0. Alors
(L−M)h
khk= (L−M)λx kλxk= (L−M)x kxk=1 kxk(L−M) (x)
C’est une constante qui ne d´epend que de xet pas de λ. Par cons´equent
lim
λ→0(L−M)h
khk= 0 = 1 kxk(L−M) (x)
ce qui entraˆıne (L−M)(x) = 0 pour tout x. On a montr´e L=M
On a
k(fa +h)−f(a)k ≤ kL.hk+o(h)
Comme les applications lin´eaires de L(Rn,Rm) sont toutes continues, cette
in´eagalit´e prouve que f(a+h)−f(a) tend vers 0 quand htend vers 0. Ce
qui est la d´efinition de continuit´e.
2
1.1 Cas ou fest une application de Rdans Rm
La d´erivabilit´e de fen aimplique l’existence d’une application de Rdans Rm.
Mais on sait alors que
L(R,Rm)≈Rm
En effet soit Φ : L(R,Rm)−→ Rm
L7−→ L(1)
L’application Φ est clairement une application lin´eaire et son inverse est d´efinie
par
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Φ−1:Rm−→ L(R,Rm)
v7−→ (t7→ t.v)
On identifie traditionnellement L(R,Rm) avec Rm. Si on pense en terme de
matrices alors L(R,Rm) est isomorphe aux matrices mlignes et 1 colonne, au-
trement dit aux vecteurs colonnes. L’existence de la d´eriv´ee est donc ´equivalente
`a l’existence d’un vecteur vtel que
f(a+h)−f(a)−h.v =o(h)
Mais ici, dans ce cas particulier hest un r´eel, on peut diviser par h. La d´eriva-
bilit´e est donc ´equivalente `a l’existence d’un vecteur vtel que
lim
h→0
h6=0
f(a+h)−f(a)
h=v
Dans ce cas et dans ce cas seulement il y a ambigu¨ıt´e sur la d´efinition de
la d´eriv´ee qui peut d´esigner un vecteur de Rmou l’application lin´eaire associ´ee.
Cependant cette ambigu¨ıt´e n’est gu`ere gˆenante dans la pratique. Dans le calcul
matriciel on repr´esente un vecteur xde Rnpar une matrice colonne,
x1
x2
.
.
.
xm
c’est `a dire la matrice de l’application lin´eaire L:t7→ t.x. On a ´ecrit les
coordonn´ees de l’image par Lde la base canonique de Rpar Ldans la base
canonique de Rm. On autrement dit on ´ecrit les composantes de L.1 : xdans
Rm.
1.2 Matrice Jacobienne
D´efinition 1.2 :
Si on choisit une base {ei}i=1,··· ,n de Rnet une base {fj}i=1,··· ,m de Rmla
matrice de Df (a)dans ces bases s’appelle la matrice Jacobienne de fen a
relativement aux bases {ei}et {fj}. On la note
Jacf(a)
D´efinition 1.3 :
On dit que fest diff´erentiable dans l’ouvert Ωsi elle diff´erentiable en tout point
de Ω. L’application
Df : Ω −→ L(Rn,Rm)
x7−→ Df (x)
s’appelle l’application d´eriv´ee de f.
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2 R`egles de d´erivation
Th´eor`eme 2.1 :
1. Si fest une application constante, fest d´erivable et Df(x) = 0 pour tout
x∈Rn
2. Si f=Lest une application lin´eaire alors DL(x) = Lpour tout x∈Rn.
3. La d´eriv´ee d’une fonction affine f(x) = Lx +vest Df (x) = L
4. La d´erivation est op´eration lin´eaire
D(f+g)(a) = Df (a) + Dg(a)
D(λf)(a) = λ Df(a)
5. Si fde Rndans Rmest d´efinie ses applications composantes par f=
(f1, f2,···, fm)pour que fsoit diff´erentiable en a, il faut et il suffit que
chaque fisoit diff´erentiable en aet l’on a
Df(a) = (Df1(a), Df2(a),···, Dfm(a))
2.1 D´eriv´ee d’une application bilin´eaire
Lemme 2.1 :
Soit Bune application bilin´eaire de Rn×Rmdans Rp. Alors Best continue en
tout point (x, y)de Rn×Rmet il existe M > 0tel que
kB(x, y)k ≤ Mkxkkyk
preuve
On va le d´emontrer pour la norme kk∞puisque sur les espaces vectoriels de
dimension finie toutes les normes sont ´equivalentes.
Soit {ei}i=1,··· ,n et {fj}i=1,··· ,m les bases canoniques de E=Rnet F=Rm
muni de la norme kk∞.
En utilisant les propri´et´es de bilin´earit´e l’on a
B(x, y) =
i=n
j=m
X
i=1
j=1
xiyjB(ei, fj)
En notant M= max
i,j |B(ei, fj)|et en utilisant l’in´egalit´e triangulaire on a
kB(x, y)k ≤ Mkxk∞kyk∞
On peut quitte `a augmenter Mobtenir M > 0
2
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