Exercice 1 : On définie un octet comme une suite de huit bits, soit

Exercices
Loi binomiale
Fiche 10
Exercice 1 :
On définie un octet comme une suite de huit bits, soit une suite de huit nombres égaux à 0 ou
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1. A un octet, sous la forme a7 a8 ...a0 , on associe un nombre entier a, dont l’écriture décimale
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s’obtient par a   ai 2i ( avec ai  0;1 )
i 0
1.
2.
3.
4.
5.
2
2
Retrouver l’écriture décimale de 01010101 et de 10101010
Combien de nombre peut écrire avec 1 octet ?
Combien d’octet peut-on construire avec que des 1 ? que des 0 ?
Combien d’octet peut-on construire avec un seul 1 ? avec un seul 0 ?
On s’intéresse maintenant à une suite de 4 bits. A l’aide d’un arbre déterminer le
nombre de façon d’écrire la suite de 4 bits avec autant de 0 que de 1.
Exercice 2 :
On procède au jeu du pile ou face avec une pièce de monnaie. On décide de lance 6 fois de
suite la pièce, et on compte le nombre de fois où pile apparaît. Une issue est notée sous la
forme (P,P,P,F,F,P), correspondant au fait d’avoir eut 3 piles de suite, puis deux faces et enfin
un pile.
Combien d’issues comportent une seule fois pile ?
A l’aide des coefficients binomiaux :
1. Déterminer le nombre d’issues donnant 2 faces et 4 piles.
2. Déterminer le nombre d’issues donnant 3 faces et 3 piles.
3. Déterminer le nombre d’issues donnant 4 faces et 3 piles.
Exercice 3 :
On lance un dé à six faces 3 fois de suite.
On appelle X la variable aléatoire associant le nombre de fois où 6 est apparu.
On note A l’évènement « le 6 apparaît » .
1. Faire un arbre pondéré décrivant l’expérience.
2. Déterminer la probabilité de faire 3 fois de suite le 6.
3. Déterminer la probabilité de faire au moins un 6.
Exercice 4 :
Dans une urne, on a placé 20 boules, dont 4 noires. On tire successivement, avec remise, 8
boules de l'urne.
Soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de boules noires tirées.
1. Calculer la probabilité de tirer exactement 1 boule noire.
2. Calculer la probabilité de ne tirer aucune boule noire.
3. Calculer la probabilité de tirer au moins une boule noire.
4. Déterminer et interpréter E(X) .
Exercice 5 :
Un archer sait qu'il a une probabilité de 4/5 d’atteindre la cible lorsqu'il tire une flèche. Il tire
6 flèches. Soit X la variable aléatoire désignant le nombre de flèches ayant atteint la cible.
1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Calculer la probabilité pour qu'il atteigne la cible 2 fois (ni plus, ni moins).
3. Calculer la probabilité qu’il atteigne au moins une fois la cible.
4. Calculer la probabilité qu’il atteigne 6 fois la cible.
5. Déterminer E(X) . Interpréter E(X) .
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Exercice 6 :
Un exercice de devoir est un qcm avec 4 réponses proposées, et une seule réponse vraie.
L’exercice comporte 5 questions.
Un élève décide de répondre au hasard au 5 questions.
On note X la variable aléatoire associant le nombre de bonne réponse.
1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Déterminer la probabilité d’avoir les 3 bonnes réponses sur les 5.
3. Déterminer la probabilité d’avoir les 5 bonnes réponses.
4. Déterminer la probabilité de n’avoir aucune bonne réponse.
On suppose qu’une bonne réponse rapporte 1 point, et une mauvaise retire 0,25 points.
On note Y la variable aléatoire associant la note de l’élève sur cet exercice.
5. Quelles sont les différentes valeurs de la variable Y.
6. Déterminer la loi de probabilité de Y.
7. Calculer l’espérance mathématique de Y. Conclure.
Exercice 7 :
Considérons deux avions possédés par une compagnie de charters véreuse, un
biréacteur et un quadriréacteur. Nous supposerons que tous les réacteurs de ces deux avions
ont la même probabilité (40%) de tomber en panne et que leurs états sont indépendants les
uns des autres
En outre, nous estimons qu'un avion ne peut terminer son vol sans encombre pour ses
passagers que si au moins la moitié de ses réacteurs fonctionnent normalement.
Brigitte a le choix, pour son voyage, entre ces deux avions et choisi, par sécurité, le
quadriréacteur. A-t-elle fait le bon choix ?
Exercice 8 :
a. Nous disposons d’un dé à 6 faces. On note A l’évènement « obtenir un six ».
Un jeu consiste à lancer 4 fois de suite le dé.
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de 6 obtenu.
1. Déterminer P( A) .
 1
2. Justifier que X suit la loi binomiale de paramètre B  4,  .
 6
3. Déterminer la probabilité d’obtenir exactement 2 fois un six.
4. Déterminer la probabilité d’obtenir au moins un six.
Pour pouvoir jouer, il faut miser 10 €.
Les gains sont répartis de la façon suivante :
 Si le joueur fait 4 six, il gagne 1000 €.
 Si le joueur fait 3 six, il gagne 100 €.
 Si le joueur fait 2 six, il gagne 20 €.
 Sinon, il ne gagne rien.
On note Y la variable associant le gain algébrique du joueur.
5. Quelle est la probabilité de perdre 10 € ?
6. Déterminer dans un tableau la loi de probabilité de Y.
7. Calculer l’espérance mathématique E(Y). Le jeu est-il équitable ?
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