Nombre de points des surfaces de Deligne

Nombre de points des surfaces de Deligne-Lusztig 1
G´eom´etrie alg´ebrique/Algebraic geometry
Nombre de points des surfaces de Deligne-Lusztig
Fran¸cois Rodier
R´esum´e — On pr´esente des exemples de surfaces qui ont beaucoup de points
relativement `a leurs nombres de Betti et qui ont un groupe d’automorphismes
important. Ces exemples sont construits `a partir des vari´et´es de Deligne-Lusztig.
Number of points of Deligne-Lusztig surfaces
Abstract — We present examples of surfaces with many points with respect
to their Betti numbers and with a large automorphism group. These examples
are constructed from Deligne-Lusztig varieties.
1. Introduction
Goppa a montr´e comment construire des codes `a partir de courbes sur un corps fini
[4]. Les meilleurs codes proviennent de courbes ayant beaucoup de points relativement
`a leur genre. Le fait qu’elles aient un groupe d’automorphismes important permet au
code d’avoir beaucoup de propri´et´es de sym´etries.
Plus g´en´eralement, Manin a montr´e comment construire des codes `a partir de vari´et´es
de dimension quelconque (cf. [9]). Cela am`ene donc `a la recherche de vari´et´es ayant
beaucoup de points par rapport `a leurs nombres de Betti (voir [12]) et de nombreux
automorphismes.
Les courbes de Deligne-Lusztig ont ´et´e ´etudi´ees par J-P Serre [11] qui a montr´e qu’elles
ont un nombre de points maximum par rapport `a leur genre, puis par J.P. Hansen [5].
On se propose ici d’´etudier quelques surfaces provenant des vari´et´es de Deligne-Lusztig.
2. D´ efinition des vari´ et´ es de Deligne-Lusztig
Soit pun nombre premier et soit kune clˆoture alg´ebrique du corps fini Fp. Soit G
un groupe alg´ebrique r´eductif connexe d´efini sur k,Bl’ensemble des sous-groupes de
Borel de G,Wle groupe de Weyl de Get Sl’ensemble de ses g´en´erateurs canoniques.
Le groupe West naturellement en bijection avec le quotient G\(B × B) (cf. [3]). Si un
couple (B1, B2) de B×B correspond `a w, on dira que B1et B2sont en position relative
w. Dans tous les cas ´etudi´es ici (sauf 2F4, cf. §7) Fsera un endomorphisme de Frobenius
de Grelatif `a une structure rationnelle sur un sous-corps fini Fqde k. On notera GFle
groupe fini des ´el´ements de Gfix´es par F.

Nombre de points des surfaces de Deligne-Lusztig 2
D´efinition (cf. [3]).Soit wun ´el´ement de W. Le sch´ema de Deligne-Lusztig X(w)est
le sous-sch´ema localement ferm´e de Bform´e des sous-groupes de Borel Btels que Bet
F B soient en position relative w.
Soit s1. . . snune expression minimale d’un ´el´ement de W. On d´efinit X(s1, . . . , sn)
comme ´etant l’espace des suites de sous-groupes de Borel (B0, . . . , Bn) telles que
Bn=F(B0) et que Bi−1et Bisoient en position relative siou e. Alors
X(s1, . . . , sn) est une compactification lisse de X(s1. . . sn) sur laquelle GFagit ([3],
9.11).
L’endomorphisme Fagit sur le groupe Wet envoie Ssur lui-mˆeme. Nous nous
int´eresserons ici aux cas o`u Sa deux orbites par F. Si s1et s2sont des repr´esentants
de chacune de ces deux orbites, on pose w=s1s2. Alors X(w) est une vari´et´e lisse,
irr´eductible, de dimension 2, stable par GF, d´efinie sur Fqδo`u δest le plus petit entier
tel que Fδfixe S. (cf. [3] 1.4, [7] (1.6) et (4,8)).
Dans ce cas-l`a, l’application de X(s1, s2) dans Bqui envoie (B0, B1, B2) sur B0est
un morphisme bijectif de X(s1, s2) sur X(s1s2)∪X(s1)∪X(s2)∪X(e). En utilisant le
calcul des valeurs propres de Fdans la cohomologie `-adique `a supports compacts des
X(w) fait par Lusztig ([7]), on peut calculer la fonction zˆeta des vari´et´es X(s1, s2).
3. Nombre des points d’une surface projective
Soit Xune surface projective, lisse et connexe sur le corps Fq. On note Nnle
nombre d’´el´ements de X(Fqn). Grothendieck (cf. [2]) a d´emontr´e la formule de Lefschetz
exprimant Nnsous la forme :
Nn= 1 + q2n−(qn/2+q3n/2)
b1
X
1
ωn
1,j +qn
b2
X
1
ωn
2,j (∗)
o`u les bi= dimQ`Hi(X⊗Fqk, Q`) sont les nombres de Betti `-adiques de Xv´erifiant
b0=b4= 1 et b1=b3. Les ωi,j sont des nombres complexes et Deligne a montr´e
qu’ils sont de valeur absolue ´egale `a 1 ([1], (1.6)). D’o`u l’in´egalit´e de Weil-Deligne :
N1≤1 + q2+b1(q1/2+q3/2) + b2q. On dit que la surface Xatteint la borne de Weil-
Deligne s’il y a ´egalit´e, c’est-`a-dire si, pour tout iet j,ωi,j = (−1)i.

Nombre de points des surfaces de Deligne-Lusztig 3
4. Les groupes Sp(4)
Le groupe GFest de type C2. La vari´et´e X(s1, s2) est obtenue `a partir de la sous-
vari´et´e Yde P3d’´equation : xq
1x3−x1xq 3+xq 2x4−x2xq 4= 0 par ´eclatement des
points de Y∩P3(Fq). La vari´et´e Yest une surface hermitienne tordue. Elle est lisse,
irr´eductible et stable par Sp(4,Fq) op´erant sur P3. Lusztig a calcul´e ([8], Lemme 31) le
nombre de points et la cohomologie de la vari´et´e Y.
Proposition 1. La fonction zˆeta de la surface Ysur Fqest donn´ee par
Z(t) = (1 −t)−1(1 −qt)−(q3+q+2)/2(1 + qt)−q(q−1)2/2(1 −q2t)−1.
Les nombres de Betti sont donn´es par b1= 0 ,b2=q3−q2+q+ 1 . La surface
Yaq3+q2+q+ 1 points d´efinis sur Fq.
La vari´et´e Yn’atteint donc pas la borne de Weil-Deligne.
5. Le groupe SU(4)
Le groupe GFest de type 2A3. Soit la sous-vari´et´e Yde P3d´efinie par l’´equation
xq+1
1+xq+1 2+xq+1 3+xq+1 4= 0.La vari´et´e X(s1, s2) est obtenue `a partir de Ypar
´eclatement des points de Y∩P3(Fq2). La vari´et´e Yest une surface hermitienne. Elle est
donc lisse, irr´eductible et stable par SU(4,Fq2) et elle atteint la borne de Weil-Deligne
(cf. [12]).
6. Le groupe SU(5)
Le groupe GFest de type 2A4. On montre les propositions suivante.
Proposition 2. La fonction zˆeta de la surface X=X(s1, s2)sur Fq2est
Z(t) = (1 + qt)b1(1 + q3t)b3
(1 −t)(1 −q2t)b2(1 −q4t).
On a b1=b3=q(q−1)(q2+ 1) ,b2=q8+q6+q4+q2+ 2.La vari´et´e Xa
(q2+ 1)(q3+ 1)(q5+ 1) points d´efinis sur Fq2. Elle atteint la borne de Weil-Deligne.
Proposition 3. La surface Xest minimale. C’est une surface de type g´en´eral dans la
classification des surfaces (cf. [10]).

Nombre de points des surfaces de Deligne-Lusztig 4
Une surface est minimale si elle ne peut pas se d´eduire d’une autre surface lisse par
´eclatements. On d´emontre ceci en utilisant le calcul du diviseur canonique Kde X.
Soit la vari´et´e Yd´efinie par l’intersection de deux hypersurfaces de P4donn´ees par
les ´equations
5
X
i=1
xq+1
i= 0 et
5
X
i=1
xq3+1
i= 0.
La surface Yest singuli`ere et son lieu singulier est donn´e par YF2 =Y∩P4(Fq2).
Si Best un sous groupe de Borel de Get si Pest le sous-groupe parabolique de G
stabilisant un point de P4et contenant B, l’application compos´ee B×B×B pr1 −→ B '
G/B −→ G/P 'P4induit un morphisme de Xdans Yqui est bijectif, sauf au dessus
des points de YF2 . En ces points la fibre est une courbe hermitienne.
7. Le groupe 2F4
Supposons p= 2. Soit Gun groupe semi-simple dont le syst`eme de racine est de type
F4. Soit Fun endomorphisme de Gqui conserve les sous-groupes Bet Tet qui, dans
l’ensemble des caract`eres de T, transforme une racine simple courte en un multiple d’une
racine simple longue. Le carr´e de Fest alors un endomorphisme de Frobenius relatif `a
une structure rationnelle de Gsur le corps Fq2avec q2= 22m+1. Le groupe GFest un
groupe fini simple de type 2F4.
Proposition 4. La fonction zˆeta de X=X(s1, s2)sur Fq2est donn´ee par
Z(t) = (1 + √2q t +q2t2)n1(1 + √2q3t+q6t2)n3
(1 −t)(1 −q2t)m1(1 + q2t)m2(1 + q4t2)m3(1 −q2t+q4t2)m4(1 −q4t)
avec n1=n3=1
√2qq4−1 q6+ 1et m1,m2,m3et m4sont donn´es par
des polynˆomes de degr´e respectivement 22,20,20 et 20 en q.
Corollaire. Les nombres de Betti de Xsont
b1=√2qq4−1 q6+ 1
b2=q22 + 2q20 +√2q19 + 2q18 −2√2q15 +q14 +√2q13 +√2q11 +q10
−2√2q9+ 2q6+√2q5+ 2q4+q2+ 2.
On a |XF2 |= (q12 + 1)(q6+ 1)(q4+ 1)(q2+ 1).
Donc la vari´et´e Xn’atteint pas la borne de Weil-Deligne. Mais on peut modifier
l´eg`erement la d´efinition de Xpour obtenir une vari´et´e Σ qui atteigne une certaine borne

Nombre de points des surfaces de Deligne-Lusztig 5
maximale. Soit Bun sous-groupe de Borel de G, soit P1le sous-groupe parabolique
contenant Bdont la partie semi-simple soit de type A1×A1et soit
B × B × B pr1 −→ B ' G/B −→ G/P1
l’application compos´ee qui envoie Xsur une surface Σ. C’est un morphisme bijectif sur
X, sauf au dessus des points de ΣF2, o`u la fibre est isomorphe `a la droite P1. Le nombre
de points Nnde ΣF2nest encore donn´e par une formule du type (∗) o`u les ωj,i sont de
valeur absolue 1 :
Nn=|XF2n | − q2n|GF/P F
1|= 1 + q4n−(qn+q3n)
b1
X
j=1
ωn
j,1+q2n
b0
2
X
j=1
ωn
j,2
Posons S2,n =Pb0
2
j=1 ωn
j,2. On peut montrer, en utilisant les formules explicites de Weil
(cf. [6]) la proposition suivante.
Proposition 5. La vari´et´e Σa le nombre maximum de points sur Fq2parmi les vari´et´es
v´erifiant une formule du type (∗), avec le mˆeme nombre b1et des sommes S2,1et S2,2
au plus ´egales `a celles de Σ.
8. Les groupes G2et 3D4
Les surfaces X(s1, s2) que l’on peut d´efinir `a l’aide de ces groupes (sur Fq, resp. Fq3)
n’atteignent pas la borne de Weil-Deligne. Cependant, on peut montrer que sur le corps
Fq6, ces surfaces atteignent cette borne.
Proposition 6. Dans le cas des groupes de type G2, les nombres de Betti de X(s1, s2)
v´erifient b1= 0 et b2= 3q5+q4+q2+ 3q+ 2 et le nombre de points de la
surface X(s1, s2)sur Fqest |XF|= (q+ 1)(q5+q4+q3+q2+q+ 1).
Proposition 7. Dans le cas des groupes de type 3D4, les nombres de Betti de X(s1, s2)
v´erifient b1= 0 et b2=q11 +q9+ 2q8+q7−2q6+q5+ 2q4+q3+q+ 2 et le
nombre de points de la surface X(s1, s2)sur Fq3est |XF3 |= (q3+ 1)2(q8+q4+ 1).
9. R´ ef´ erences
[1] P. Deligne, La conjecture de Weil I, Publ. Math. I.H.E.S. 43, 1974, 273-307.
[2] P. Deligne avec J-F. Boutot, A. Grothendieck, L. Illusie et J-L.
Verdier, SGA 41
2, Cohomologie ´etale, Lecture Notes in Math. 569, Springer-Verlag,
Heidelberg, 1977.