V - Lycée Hoche
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Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique et/ou magnétique uniforme et permanent Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 1 Plan Création d'un champ électrique Création d'un champ magnétique Force de Lorentz Energie d'une particule Mvt dans E Mvt dans B Mvt dans E et B croisés Cas relativiste • Mvt dans E • Mvt dans B Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 2 Champ électrique Créé par une charge ponctuelle A partir de la loi de Coulomb, q qq0 u 2 r 4 0r F M où r q ur M 0M r 0 M 0 q0 en M on définit le champ électrique créé par F q E 0 (M ) E 0 (M ) Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud q0 4 0r 2 ur 3 Champ électrique Créé par une distribution de charges Charges ponctuelles : Ei ( M ) = champ créé en M par une charge qi (i=1 à N) placée en M i N E( M ) Ei( M ) i 1 Distribution continue : chaque volume élémentaire V porte la charge q qui crée en M le champ d E( M ) E( M ) d E( M ) V Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 4 Champ électrique uniforme et permanent Créé par un condensateur plan d x Q E -Q E U Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud U ux d 5 Champ magnétique Expérience d’Oersted Orientation de l’aiguille aimantée selon un cercle centré sur le fil I r Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 6 Champ magnétique Expérience d’Oersted Orientation de l’aiguille aimantée parallèlement au champ magnétique créé par le fil B I B r 0I 2 r Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 7 Champ magnétique Champ magnétique uniforme et permanent Bobines d’Helmholtz B I R Solénoïde « infini » I R R Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 8 Force de Lorentz • Particule de charge q et de masse • Vitesse v par rapport à R m référentiel galiléen • Présence d’un champ électrique E et d’un champ magnétique B La particule est soumise à la force F q ( E v B) appelée force de Lorentz Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 9 Force de Lorentz Elle traduit une des interactions fondamentales de la physique. Pas de limite à sa validité dans le cadre de nos connaissances actuelles. Valable en mécanique classique et relativiste La partie liée à la présence du champ magnétique est perpendiculaire au champ B et à la vitesse v . L’analyse dimensionnelle comparée des deux termes montre que E B est homogène à une vitesse. Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 10 Force de Lorentz Formule de transformation des champs • La force de Lorentz et la charge q sont indépendantes du choix du référentiel galiléen. • Soit R un référentiel galiléen en translation à la vitesse u par rapport à R . • Composition newtonienne des vitesses : donc F q E ( v' u ) B F q E ' v' E' E u B B' et v v u R R dans dans B' B Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 11 Force de Lorentz Equation du mouvement On néglige les effets du poids de la particule par rapport à ceux de la force de Lorentz Deuxième loi de Newton en mécanique classique : dv dt q E v B m Seule q / m , appelée charge spécifique, est expérimentalement accessible à la mesure Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 12 Energie mécanique d'une particule Pour E permanent , F E potentielle Ep q E dérive de l’énergie qV cte où V est le potentiel électrostatique F B qv B ne travaille pas L'énergie mécanique de la particule 1 2 Em mv qV 2 est une constante du mouvement Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 13 Energie mécanique d'une particule Application : optique électronique Emission d’électrons vitesse nulle v e, m en O à 0 et potentiel électrique nul : V 0 Grilles G 1 et G 2 transparentes aux électrons et portées aux potentiels électriques V et V avec 2 1 0 V1 V2 Absence de champ magnétique Mouvement des électrons entre l’émission et la première grille et entre les deux grilles ? Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 14 Energie mécanique d'une particule Application : optique électronique V2 V1 E V 0 Ep Ep 0 en O eV1 0 sur G1 force de O vers G1 U O U 0 V2 V1 donc E de G2 vers G1 force de G1 vers G2 G1 G2 Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 15 Energie mécanique d'une particule Application : optique électronique Conservation de Em : 1 2 mv1 eV1 2 1 2 mv 2 eV2 2 v1 2eV1 m v2 2eV 2 m Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 0 16 Energie mécanique d'une particule Application : optique électronique V2 V1 Projection de dv m dt E v2 v1 i1 eE perpendiculairement à E i2 v1 sin i1 v2 sin i2 V1 sin i1 Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud V2 sin i2 17 Mouvement d'une particule dans un champ électrique uniforme et permanent Particule q, m permanent soumise à l’action de dv dt E uniforme et q E m Point matériel M (m) soumis à l’action d’un champ de pesanteur g uniforme et permanent dv g dt Trajectoire parabolique dans les deux cas Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 18 Mouvement dans un champ électrique Application 1 : accélérateur linéaire Accélérateur linéaire de Stanford • 3,2 km de long-60 GeV pour les électrons et positrons • 3 prix Nobel : • 1976 : Découverte du quark charm • 1990 : Structure en quarks du proton et du neutron • 1995 : Découverte du lepton tau Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 19 v0 E Série de tubes conducteurs séparés par de faibles interstices Entre deux tubes voisins est appliquée une tension alternative champ électrique alternatif A l'intérieur d'un tube : le champ est nul et les particules conservent une vitesse constante Dans l'espace entre les tubes : le champ accélère les particules, à condition qu'elles soient convenablement synchronisées : Ec q(U n U n 1 ) Les tubes sont de plus en plus longs : le temps de parcours dans chaque tube doit être identique et égal à une demi-période Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 20 Mouvement dans un champ électrique Application 2 : déviation électrostatique U Déviation de la particule q, m par le champ électrique E (U / d )e y Passage en O( x avec la vitesse 0, y v0 0) à t 0 v0 e x Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 21 Mouvement dans un champ électrique Application 2 : déviation électrostatique Deuxième loi Newton projetée selon Ox : dvx dt selon Oy : dv y dt 0 vx qU md v0 v0t qUt md xA v Ay et x vy En sortie du condensateur : donc v Ax v0 v0t A qUt A md l qUl mdv0 Déviation de la trajectoire de la particule : tan Si L l, vay v Ax L tan qUl mdv02 qULl mdv02 Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 22 Mouvement dans un champ électrique Application 2 : déviation électrostatique Utilisation dans un tube cathodique Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 23 Mouvement dans un champ électrique Application 3 : Conduction dans un métal par les électrons libres Vecteur densité de courant : où j e ve ne ev e ne = densité volumique d’électron libre v e = vitesse d’ensemble (moyenne) des électrons Deuxième loi de Newton pour un électron dv m dt eE v Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud v0 et E m 24 Mouvement dans un champ électrique Application 3 : Conduction dans un métal Métal =réseau cristallographique idéal + défauts Déplacement des électrons + chocs sur les constituants du réseau et les défauts ve v v0 (e m) E v 0 : vitesse moyenne d’un électron après un choc v0 de direction aléatoire v0 0 : temps moyen entre deux chocs successifs Loi d’Ohm locale : je (ne e 2 Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud m) E E 25 Mouvement dans un champ électrique Application 3 : Conduction dans un métal Conductivité du métal : I ne e 2 je S U E U L U L S m I Résistance du conducteur Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud I S L 26 Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme et permanent La force de Lorentz se réduit à sa partie magnétique : FB qv B FB est perpendiculaire à v et B : PB FB v 0 Aucune puissance n’est fournie à la particule Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 27 Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme et permanent . v m dv dt qv B .v d 1 2 mv dt 2 0 L’énergie cinétique Ec mv 2 2 de la particule est une constante du mouvement Le module v de la vitesse est une constante du mouvement Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 28 Produit vectoriel • Cas général x v y z Bx B By Bz yBz zB y zBx xBz xB y yBx Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 29 Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme et permanent Expérience : particule q, m soumise à l’action d'un champ B uniforme et permanent avec une vitesse initiale v0 perpendiculaire à B Choix d’un repère adapté : • O position initiale de la particule • Ox dans le sens et la direction de v0 v0 e x • Oz dans le sens et la direction de B B ez • Oy tel que (Oxyz) orthogonal direct Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 30 Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme et permanent Deuxième loi de Newton : x y z qB y (1) m avec qB x (2) m 0 x(t 0) y(t x (t 0) v0 y (t 0) z(t Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 0) 0) z(t 0) 0 0 31 Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme et permanent • Selon Oz : z 0 z cte z(t 0) 0 z cte z (t 0) 0 Le mouvement de la particule se fait dans un plan perpendiculaire au champ magnétique Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 32 Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme et permanent • Dans le plan (Oxy) du mouvement : x qB y (1) m Soit u x iy u qB ( y ix ) m y qB x (2) m et l’équation (3)=(1)+ i(2) qB i ( x iy ) m Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud qB i u (3) m 33 Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme et permanent • Résolution de qB u i u m u(t avec u (t ) 0) v0 exp x(t 0 (3) 0) iy (t 0) v0 qB i t m Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 34 Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme et permanent • En utilisant u (t On obtient soit u (t ) 0) u (t ) x(t 0) iy (t mv0 i exp qB mv0 qB i cos t qB m qB i t m 0) 0 1 qB 1 i sin t m Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 35 Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme et permanent • Sachant que x(t ) et Re u(t ) on obtient y(t ) Im u(t ) x(t ) mv0 qB sin t qB m y (t ) mv0 qB cos t qB m Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 1 36 Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme et permanent • On constate que x 2 y mv0 qB 2 mv0 qB 2 Trajectoire circulaire de centre C : de rayon : X c 0 Yc R mv0 qB mv0 qB Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 37 Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme et permanent Si q>0 y v0 x B C R Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 38 Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme et permanent Si q<0 y B C R x v0 Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 39 Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme et permanent Dans les deux cas la trajectoire est parcourue avec la pulsation qB c m appelée pulsation cyclotron Cette pulsation c et la période correspondante Tc 2 c sont indépendantes de la vitesse de la particule Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 40 Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme et permanent Cas général : v0 avec et v 0 // v0 v0 B B B v0 v 0 // 2 (v 0 e z )e z v 0 v 0 // Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 41 Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme et permanent • On utilise • O position initiale de la particule • Oz selon B : B • Ox selon v 0 : v 0 B ez v0 e x • Oy tel que (Oxyz) orthogonal direct Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 42 Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme et permanent • On obtient mv0 qB x(t ) sin t qB m mv0 qB y (t ) cos t qB m z (t ) 1 v0 // t Mouvement hélicoïdal Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 43 Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme et permanent Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 44 Mouvement dans un champ magnétique Application : Déflexion magnétique tan y D l R y Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud si l R DelB mv0 45 Mouvement dans un champ magnétique Application : Cyclotron Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 46 Mouvement dans un champ magnétique Application : Synchrotron R v mv qB cte B Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 47 Mouvement dans un champ magnétique http://www.synchrotron-soleil.fr Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 48 Mouvement dans un champ magnétique Application : Spectrographe de masse Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 49 Mouvement dans un champ magnétique Application : Force de Laplace dF Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud Id l B 50 Mouvement dans un champ magnétique Application : Balance de Cotton mgl B Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud BIal ' mgl Ial ' 51 Mouvement dans E et B uniformes, permanents et perpendiculaires y E v0 x v(t 0) E Ee y Be z B v0 v0 e x B z Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 52 Mouvement dans E et B uniformes, Mise en équation Deuxième loi de Newton x ma y z x q E E q v y 0 z 0 0 B 0 B y B xB 0 Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 53 Mouvement dans E et B uniformes, Equations du mouvement x qB y m y z 0 qB x m ...... qE m z 0 t 0 Mouvement plan Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 54 Mouvement dans E et B uniformes, Equations du mouvement Détermination de x(t) et y(t) avec ou… x qB y (1) m y qB x m qE (2) m u=x+iy vérifiant l’équation Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud (1)+i(2) 55 Mouvement dans E et B uniformes, Equations du mouvement Détermination de x(t) et y(t) x y qB y m x qB x m y qB y v0 m qB m avec y(t puisque x (t 0) v0 y(t 0) 0 qE m 2 y 0) qB E m B 0 et v0 y (t Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 0) 0 56 Mouvement dans E et B uniformes, Equations du mouvement y(t ) donc x x(t ) m v0 qB qB y v0 m 1 c v0 E (cos B v0 E cos B E sin B E t B ct ct ct 1) E B puisque x(t Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 0) 0 57 Mouvement dans E et B uniformes, Cas particuliers Si v0 0 vD x(t ) c vD y(t ) ct sin (1 cos ct où vD ct ) E B est la vitesse de dérive c Cycloïde Si v0 vD , x(t ) v0t y(t ) 0 t 0 Mouvement rectiligne et uniforme Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 58 Mouvement dans E et B uniformes, Filtre de vitesse v0 vD v0 vD diaphragme Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 59 Mouvement dans E et B uniformes, Effet Hall Champ magnétostatique B Déplacement des charges positives et négatives sur les faces 1 et 2 Création d’un champ électrique E H de la face 1 vers la face 2 VH a Mouvement des charges selon Ox F b 1 EH x q( E H EH v B) 0 vB IB n q ab aE H IB nqb (n q v)ab 2 Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud VH 60 Mouvement dans E et B uniformes, Sonde à effet Hall pour mesurer des champs magnétiques L’intensité I est imposée par le circuit d’alimentation. Le nombre de porteur de charge n par unité de volume et la charge q de chaque de porteur dépendent du métal conducteur utilisé. b dépend de la géométrie du conducteur La mesure de la tension VH (quelques micro volts) permet grâce à VH IB nqb de déterminer le module B du champ magnétique Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 61 Mouvement dans E et B uniformes, Cas relativiste Si la condition v<<c n’est plus vérifiée, la seconde loi de Newton s’écrit toujours dp dt avec p mv et F 1 1 (v / c) 2 Les forces conservent les mêmes expressions F q[ E v B ] Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 62 Mouvement dans B uniforme, Cas relativiste Résultats de la dynamique relativiste dE dt avec F et E E=cte F .v q(v B) mc 2 v (E mv 2 / 2 mc 2 si v c) γ =cte et v=cte dv m dt qv B Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 63 Mouvement dans B uniforme, Cas relativiste Si v(t 0) R B , la trajectoire est circulaire : mv qB qB c m La période du mouvement dépend de v contrairement au cas du cyclotron dans le cas non relativiste Désynchronisation progressive du mouvement hémicirculaire de la particule par rapport au champ électrique accélérateur. Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 64 Mouvement dans E uniforme, Cas relativiste Particule (q,m) initialement au repos et soumise au champ électrique E uniforme et permanent. Mise en équation : E Ex e x x(t 0) d dt x (t 0) x c x 1 mx 1 0 2 x c 2 qE x t m qE x Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 65 Mouvement dans E uniforme, Cas relativiste • On en déduit qE x t m x 1 • Si t mc qE x , x • Si mc qE x , t qE x mc 2 t2 qE x t (mécanique classique) m x c Existence d’une vitesse limite Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 66 Mouvement dans E uniforme, Cas relativiste • On obtient x(t ) • Si t mc 2 qE x mc qE x , x(t ) 1 qE x mc 2 t2 1 qE x 2 t 2m 12 en utilisant (1 u) • Si t mc qE x , x(t ) 1 u 2 si u 1 ct Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 67 Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique et/ou magnétique uniforme et permanent Création d'un champ électrique Création d'un champ magnétique Force de Lorentz Energie d'une particule Mvt dans E Mvt dans B Mvt dans E et B croisés Cas relativiste • Mvt dans E • Mvt dans B Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 68
