Atomes froids

a Z
md−→
v
dt =−Ze2 4π0
−→
ur
r2
−→
L=mr2˙ θ−→ uz=−−→ cste
˙
θ= cste d−→
v
dt =−v2 a−→
ur=−L2
m2a3−→
ur

L2
ma3=Ze2 4π0
1
a2
a→r(t) = a+δr(t)
Ω = L
mr2
−→
ur
m¨r=−Ze2
4π0
1
r2+mΩ2r
⇒m¨ δr =−Ze2
4π0
1
a2(1+ δr
a)2+mL2
m2a3(1+ δr
a)3
=−Ze2
4π0
1
a21−2δr a+L2 ma31−3δr a
=−Ze2
4π0
1
a3δr
−→
F=−k−→ δr k =Ze2
4π0
1
a3
−→
uθ
•−→ Fie =−2m−→ Ω∧( ˙r−→ ur) = −2mΩ ˙r−→ uθ
•Ω−md
−→
Ω
dt ∧−−→
OM =−mL
m
d
dt 1
r2−→
uz∧(r−→ ur) =
2L
r2˙r= 2m˙rΩ−→
uθ
−→
F=−k−→ r=−mω2
A−→
r−→ r
Ee−Eg=~ωA
−→
f=−mΓ−→ v
Γ = q2ω2
A
6π0mc3

Zmed2−→
r
dt2=−Zmω2
A−→
r−ZmΓ−→ v+Z(−e)−→ E
−→
E(−→ r , t) = Re −→ E(−→ r , t)= Re −→ E0(−→ r) exp (iϕ(−→ r)−iωt)
−→
r= Re (−→ r)
−→
r=−0e
m0
1
ω2
A−ω2−iωΓ
−→
dτ ndτ
d−→ p=ndτ ×e×(−−→ r)
=−→ P dτ
=0χ−→dτ
χ
χ0= Reχ
=ne2
m0
ω2
A−ω2
(ω2
A−ω2)2+ Γ2ω2
=ne2
m0ω2
A
1−ω2/ω2
A
(1 −ω2/ω2
A)2+ Γ2ω2/ω4 A
'ne2
m0ω2
A
−2δ/ωA
4δ2/ω2
A+ Γ2/ω2 A
=−ne2
2m0ωA
δ
δ2+ (Γ/2)2
=−χ0ωA
2
ωAδ
δ2+ (Γ/2)2
χ00 = Imχ
=ne2
m0
ωΓ
(ω2
A−ω2)2+ Γ2ω2
=ne2
m0ω2
A
ωΓ/ω2
A
(1 −ω2/ω2
A)2+ Γ2ω2/ω4 A
'ne2
m0ω2
A
Γ/ωA
4δ2/ω2
A+ Γ2/ω2 A
=ne2
2m0ωA
Γ/2
δ2+ (Γ/2)2
=χ0ωA
2
Γ/2
δ2+ (Γ/2)2
δ=ω−ωAχ0=ne2
m0ω2
A
−→
f=Ze−→ E(−→ rN, t) + Ze ˙
−→
rN∧−→ B(−→ rN, t)−Ze−→ E(−→ re, t)−Ze ˙
−→
re∧−→ B(−→ re, t)
−→
rN=˙
−→
rN= 0 −→ re=−→ r
−→
r

−→
f=Ze−→ E(−→ 0, t)−Ze−→ E(−→ re, t)−Ze ˙
−→
r∧−→ B(−→ re, t)
'Ze−→ E(−→ 0, t)−Ze −→ E(−→ 0, t) + −→ r .−→ ∇−→ E(−→ 0, t)−Ze ˙
−→
r∧−→ B(−→ 0, t)
=−Ze −→ r .−→ ∇−→ E(−→ 0, t)−Ze ˙
−→
r∧−→ B(−→ 0, t)
=−→ p .−→ ∇−→ E+˙
−→
p∧−→ B
−→
F dτ =−→ f dN =−→ f ndτ
−→
F=−→ P .−→ ∇−→ E+˙
−→
P∧−→ B
DA˙
BE=1
T´T
0A˙
Bdt
=1
T[AB]T
0−1
T´T
0˙
ABdt
= 0 −D˙ ABE
∂−→ B
∂t =−−→
∇ ∧ −→ E
D−→
FE=D−→ P .−→ ∇−→ E+˙
−→
P∧−→ BE=D−→ P .−→ ∇−→ E+−→ P∧−→ ∇ ∧ −→ EE
A= Re e−iωtB= Re e−iωt
hABi=1
4 e−iωt +∗e+iωt e−iωt +∗e+iωt
=1
4e−2iωt+1 4∗ ∗e+2iωt+1 4h∗i+1 4h∗i
=1
2Re ( B∗)
D−→
FE=1
2Re −→
P .−→ ∇−→ E∗+1
2Re −→
P∗∧−→ ∇ ∧ −→
1
0χ−→
P .−→ ∇−→ E∗=−→ E0(−→ r) exp (iϕ(−→ r)−iωt).−→ ∇−→ E0(−→ r) exp (−iϕ(−→ r) + iωt)
= exp (iϕ(−→ r)−iωt)−→ E0(−→ r).−→ ∇−→ E0(−→ r)exp (−iϕ(−→ r) + iωt)
+ exp (iϕ(−→ r)−iωt)−→ E0(−→ r).−→ ∇(exp (−iϕ(−→ r) + iωt)) −→ E0(−→ r)
=−−→ E0(−→ r).−→ ∇−→ E0(−→ r)−i−→ E0(−→ r).−→ ∇ϕ(−→ r)−→ E0(−→ r)

1
0χ−→
P∗∧−→ ∇ ∧ −→=−→ E0(−→ r) exp (−iϕ(−→ r) + iωt)∧−→ ∇ ∧ −→ E0(−→ r) exp (iϕ(−→ r)−iωt)
=−→ E0(−→ r) exp (−iϕ(−→ r) + iωt)∧exp (iϕ(−→ r)−iωt)−→ ∇ ∧ −→ E0(−→ r)
+−→ E0(−→ r) exp (−iϕ(−→ r) + iωt)∧−→ ∇(exp (iϕ(−→ r)−iωt))∧−→ E0(−→ r)
−→
∇ ∧ ρ−→ V=ρ−→ ∇ ∧ −→ V+−→ ∇ρ∧−→ V
=−→ E0(−→ r)∧−→ ∇ ∧ −→ E0(−→ r)
−i−→ E0(−→ r)∧−→ ∇ϕ(−→ r)∧−→ E0(−→ r)
=−→ E0(−→ r)∧−→ ∇ ∧ −→ E0(−→ r)
−i−→ E0(−→ r).−→ E0(−→ r)−→ ∇ϕ(−→ r)
+i−→ E0(−→ r).−→ ∇ϕ(−→ r)−→ E0(−→ r)
−→
A∧−→ B∧−→ C=−→ B−→ A .−→ C−−→ C . −→ A .−→ B
−→
P .−→ ∇−→ E∗+−→ P∗∧−→ ∇ ∧ −→=0χ−→ E0.−→ ∇−→ E0+−→ E0∧−→ ∇ ∧ −→ E0−iE2
0(−→
r)−→ ∇ϕ(−→ r)
=0χ−→ ∇E2
0
2−iE2
0(−→
r)−→ ∇(ϕ(−→ r))
−→
∇−→ A .−→ B=−→ B∧−→ ∇ ∧ −→ A+−→ A∧−→ ∇ ∧ −→ B+−→ A .−→ ∇−→ B+−→ B .−→ ∇−→ A
D−→
FE=D−→ P .−→ ∇−→ E+−→ P∧−→ ∇ ∧ −→ EE
=1
2Re −→
P .−→ ∇−→ E∗+1
2Re −→
P∗∧−→ ∇ ∧ −→
=0χ0
2
−→
∇E2
0(−→
r)
2+0χ00 2E2
0(−→
r)−→ ∇(ϕ(−→ r))
D−→
FE=−−−−−→ Fdipolaire +−−−−−−→ Fradiation
=0χ0
2
−→
∇E2
0(−→
r)
2+0χ00 2E2
0(−→
r)−→ ∇(ϕ(−→ r))
−−−−−→
Fdipolaire =0χ0
2
−→
∇E2
0(−→
r)
2
•ω, −→ k
ω, −→
k0
•−−−−−→
Fdipolaire =−−→ ∇U
δ
−−−−−−→
Fradiation =0χ00
2E2
0(−→
r)−→ ∇(ϕ(−→ r))
•