Arithmétique et codes secrets

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2
PC
Date de création
2005
Auteur (s) de la ressource pédagogique :
FACK Hélène
ARITHMETIQUE ET
CODES SECRETS
Cours, Exercices,

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ARITHMETIQUE ET CODES SECRETS
Hélène FACK
Institut National des Sciences appliquées de Lyon
PREMIER CYCLE
Mathématiques
Cryptographie

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Sommaire
ARITHMETIQUE ET CODES SECRETS 2
1 INTRODUCTION 3
2 STRUCTURES ALGEBRIQUES 4
2.1 Groupes 4
2.1.1 Définition .................................................................................................. 4
2.1.2 Exemples et contre exemples ................................................................... 4
2.1.3 Sous-groupe ............................................................................................. 5
2.2 Anneaux 6
2.3 Corps 7
2.3.1 Exemples et contre exemples ................................................................... 7
3 RELATION D’EQUIVALENCE, STRUCTURE QUOTIENT 8
3.1 Définition 8
3.2 Classes d’équivalence 8
3.3 Ensemble quotient 9
3.3.1 Exemples .................................................................................................. 9
3.4 Quotient d’un groupe par un sous-groupe 10
4 CONGRUENCES DANS
12
4.1 Division euclidienne 12
4.2 Divisibilité dans
12
4.3 Sous-groupes additifs de
12
4.4 Congruences dans
13
4.5 Opérations sur les « congruences » 13
4.6 Application des congruences à la divisibilité 14
4.7 Codages de tous les jours utilisant les congruences 14
4.8 Cryptographies historiques utilisant les congruences 15
4.8.1 Le cryptage de Vigénère ......................................................................... 16
4.9 Cryptographies actuelles fondées sur les congruences : DES 17
4.9.1 Masque jetable ....................................................................................... 17
5 NOMBRES PREMIERS 18
5.1 Définition 18
5.2 L’ensemble des nombres premiers est infini 18
5.3 Crible d’Eratosthène 18
5.4 Décomposition en facteurs premiers 19
5.5 Diviseurs d’un entier 20
5.6 Corps
p
20
6 ENTIERS PREMIERS ENTRE EUX 21
6.1 PGCD 21
6.2 Entiers premiers entre eux 21

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1
6.3 Algorithme d’Euclide 22
6.4 Identité de Bezout 23
6.4.1 Conséquences de l’identité de Bezout .................................................... 23
6.5 Eléments inversibles dans
n
24
7 THEOREMES POUR LA CRYPTOGRAPHIE 26
7.1 Théorème (des restes) chinois 26
7.2 Théorème de Fermat 27
7.2.1 Démonstration du théorème (cf. une démonstration utilisant l’ordre
d’un sous-groupe sur les fiches d’exercices.) ..................................................... 27
7.2.2 Recherche « statistique » de nombres premiers ..................................... 28
7.3 RSA 28
7.4 Technique d’utilisation de RSA 30
8 SECURITE DES SYSTEMES D’INFORMATION 32
8.1 Définitions 32
8.2 Techniques 33
8.3 Exemple : assurer la confidentialité 33
8.4 Exemple : assurer l’authenticité 33
8.5 Exemple : assurer l’intégrité par une fonction de hachage 34
8.6 Exemple de signature numérique 34
8.7 Sécurité et mathématiques 35
8.7.1 Grands nombres premiers ...................................................................... 35
8.8 Attaques de RSA 37
8.8.1 Factorisation de RSA-640 ....................................................................... 37
8.9 La sécurité des cartes bancaires 39
9 EXERCICES 42
9.1 Structures 42
9.2 Congruences 43
9.3 Applications des congruences : NIR 44
9.4 Applications des congruences : Un code correcteur et le code de César 45
9.5 Nombres premiers 46
9.6 Entiers premiers entre eux 48
9.7 Théorème des Fermat / Théorème chinois 49
9.8 RSA 50
10 TEXTES D’EXAMENS 52
10.1 Racines carrées modulaires et chiffrement de Rabin, examen du 17 mai
2005, EURINSA approfondissement « Mathématiques discrètes » 52
10.2 : Groupes cycliques et chiffrement El Gamal, examen du 25 mai 2005,
OT « Mathématiques et Codages » 53
10.3 Matrices à coefficients dans
26
et chiffrement de Hill, examen du 18
janvier 2006, OT « Mathématiques et Codages » 55
10.4 RSA, théorème de Fermat et nombres pseudo-premiers, examen du 18
avril 2006, EURINSA approfondissement « Mathématiques discrètes » 57

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10.5 Sécurité, factorisation des entiers, examen du 24 janvier 2007, OT
« Mathématiques et Codages » 58
10.6 Groupes cycliques, protocole de Diffie-Helmann, examen du 5 juin 2007,
EURINSA approfondissement « Mathématiques discrètes » 60
10.7 RSA, RSA-CRT utilisé lors de la validation des cartes bancaires, examen
du 2 juin 2009, EURINSA approfondissement « Mathématiques et codages » 62
11 BIBLIOGRAPHIE 64