Algorithme de Collatz : ( Lothar Collatz : Mathématicien allemand

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Devoir n° 19 maison
mardi 1 avril 2014
Exercice 1:
Cet exercice reprend et complète le troisième algorithme vu au mois de février
Algorithme de Collatz : ( Lothar Collatz : Mathématicien allemand (1910-1990) )
Algorithme écrit en langage courant :
Version Algobox
Variables
u est un nombre.
Entrées
Saisir u
Traitement
Tant que u > 1
| Si u est pair
| alors affecter u/2 à u
| sinon affecter 3u + 1 à u
| Afficher u
Fin de tant que
Fin
Vous avez déjà eu l’occasion de tester cet algorithme en classe.
Cet algorithme est à l’origine d’une conjecture, appelée conjecture de syracuse :
Quel que soit le nombre entier non nul choisi au départ, on finit toujours par obtenir 1 dans
la suite obtenue avec l’algorithme de Collatz.
Remarque :
• Actuellement cette conjecture n’est pas démontrée et aucun contre-exemple n’a été trouvé.
• Pourquoi syracuse ? Cette conjecture est appelée conjecture de Syracuse ou problème de Syracuse depuis que
Helmut Hasse, un ami de Collatz, la présenta à l’université de Syracuse (près de New York) dans les années 50.
Quelques définitions
• La suite de nombres obtenus est appelé le vol du nombre de départ.
• Les nombres de la suite sont appelés les étapes du vol.
• Le plus grand nombre obtenu est appelé l’altitude maximale du vol.
• Le nombre d’étapes avant d’obtenir 1 est appelé la durée du vol.
travail à effectuer
L’algorithme indiqué plus haut affiche, pour un nombre donné, les étapes du vol de ce nombre.
1.
a. Modifier cet algorithme pour qu’il affiche la durée du vol.
b. Vérifier, à l’aide de ce programme que la durée du vol du nombre 50 est égal à 24.
2.
a. Modifier de nouveau l’algorithme pour qu’il affiche la durée du vol et l’altitude maximale de ce vol.
b. Vérifier, à l’aide de ce programme que l’altitude maximale du vol du nombre 50 est égal à 88.
3. À l’aide de ce programme, donner les durées et les altitudes maximales des vols des nombres 18 et 31.
Remarque : Les algorithmes et programmes devront être recopiés sur le devoir selon la présentation habituelle dans
un tableau à deux colonnes : algorithme côté gauche, programme pour calculatrice côté droit.
Les programmes pourront être écrits avec le logiciel algobox que l’on télécharge facilement sur Internet. Dans ce cas
vous pourrez m’envoyer la version numérique du programme via la messagerie E-Lyco.
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré
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Devoir n° 19 maison
mardi 1 avril 2014
Exercice 2:
Deux sources lumineuses sont placées aux extrémités d’une rampe de 5 mètres de longueur.
la source placée en A possède une puissance de 8 W et celle placée en B un puissance de 27 W.
Un point M de la rampe reçoit un éclairement proportionnel à la puissance de la lampe et inversement proportionnel
au carré de la distance qui le sépare de la lampe.
On souhaite déterminer la position de M de façon à ce que son éclairement soit minimum.
On pose AM = x.
1. Montrer que l’éclairement du point M est proportionnel à f (x) =
8
27
+
.
x2 (5 − x)2
2. À l’aide du logiciel Xcas, nous avons obtenu le résultat suivant :
Justifier le résultat obtenu par le logiciel en calculant la fonction dérivée de f puis en montrant que cette dérivée
est bien égale à l’expression donnée.
3. Déterminer le signe de f 0 (x) sur R puis dresser le tableau de variation de f sur R.
4. En déduire la position du point M pour lequel l’éclairement est minimum.
Exercice 3:
→
− →
−
Dans le plan muni d’un repère orthonormé O, ı ,  d’unité 2cm, placer les points A ( −2; 5 ), B ( 1; 1 ) et C ( 3; 7 ).
1. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
2. Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle ABC. Préciser les coordonnées de son centre K et son
rayon.
3. Déterminer une équation de la tangente en A au cercle circonscrit.
4. Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite (AC). Déterminer la longueur AH.
−−−→ −−→
5. Déterminer la nature de l’ensemble (E) des points M du plan tels que AM . AC = 5.
6. Représenter (E) sur la figure.
Exercice 4:
ABCD est un carré de centre H.
E est un point du segment [AC] différent de A et C qui se projette sur
(AB) en F et sur (BC) en G. Démontrer que le triangle FGH est rectangle
et isocèle.
D
C
H
E
A
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré
2
G
F
B